新高考数学二轮复习重难点3-2 解三角形的综合应用（8题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）

重难点3-2解三角形的综合应用解三角形一直是高考数学中的热门考点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。【题型1四边形中的解三角形问题】满分技巧四边形中的解三角形问题通常需将四边形分成多个三角形，观察各个三角形之间的关系，找出同角、共边的三角形，有时还需结合三角恒等变换。【例1】（2024·湖南娄底·高三统考期末）如图所示，在平面四边形SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0为钝角，且SKIPIF1<0.（1）求钝角SKIPIF1<0的大小；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的大小.【变式1-1】（2024·云南昆明·统考一模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的面积；（2）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【变式1-2】（2024·重庆·高三重庆八中校考开学考试）已知四边形SKIPIF1<0的外接圆面积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为钝角，（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积．【变式1-3】（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【题型2解三角形中的中线应用】满分技巧1、中线长定理：在∆ABC中，AD是边BC上的中线，则AB【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中2、向量法：AD【点睛】适用于已知中线求面积（已知BDCD【例2】（2024·广东广州·广州六中校考三模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对应的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.（1）求角SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长.【变式2-1】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对应的边分别为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．（1）求角SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0边的中线长．【变式2-2】（2024·浙江宁波·高三统考期末）在SKIPIF1<0中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，BC边上的中线SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【变式2-3】（2024·重庆·统考一模）在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为钝角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）设点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求SKIPIF1<0的长．【变式2-4】（2024·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的大小；（2）若SKIPIF1<0，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使SKIPIF1<0存在，求SKIPIF1<0边上中线的长．条件①：SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0；条件③：SKIPIF1<0．【题型3解三角形中的垂线应用】满分技巧1、分别为边上的高，则2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。【例3】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在SKIPIF1<0中，内角A，B，C满足SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0边上的高等于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【变式3-1】（2024·福建·高三校联考开学考试）在SKIPIF1<0中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．（1）求A；（2）过点A作SKIPIF1<0的垂线与SKIPIF1<0的延长线交于点D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长．【变式3-2】（2024·江苏常州·高三统考期末）记SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上的高为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【变式3-3】（2024·江西赣州·高三统考期末）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0；（2）记边AB和BC上的高分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0的形状．【变式3-4】（2024·全国·模拟预测）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且SKIPIF1<0，过点A作SKIPIF1<0，使得四边形ABCD满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求角SKIPIF1<0的大小；（2）若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积．【题型4解三角形中的角平分线应用】满分技巧如图，在∆ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，1、利用角度的倍数关系：∠2、内角平分线定理：AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线，则AB说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。3、等面积法：因为S∆ABD+S∆ACD整理的：AD=2bccos【例4】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长.【变式4-1】（2024·广东湛江·高三统考期末）在SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求角A；（2）作角A的平分线与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【变式4-2】（2024·山东济南·高三统考期末）记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求B，（2）SKIPIF1<0的平分线交边SKIPIF1<0于点D，且SKIPIF1<0，求b．【变式4-3】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的长；（2）若SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【变式4-4】（2023·安徽·高三校联考期末）如图,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0的平分线交SKIPIF1<0边于点SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.

（1）求SKIPIF1<0的大小;（2）若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的面积.【题型5解三角形中的等分点应用】满分技巧当所三角形问题不再是中线、角平分线、垂线这些特殊情况时，要注意结合补角的三角函数关系以及同角不同三角形，利用正余弦定理建立方程解出未知量。【例5】（2024·山西太原·高三统考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为内角SKIPIF1<0的对边，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.（1）当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的周长.【变式5-1】（2024·江苏苏州·高三统考期末）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.（1）求证：SKIPIF1<0；（2）若点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.【变式5-2】（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）如图，在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上的一点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【变式5-3】（2023·安徽·校联考模拟预测）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0.（1）求证：SKIPIF1<0；（2）如图：点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【变式5-4】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0三个内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【题型6与三角值有关的最值范围】满分技巧三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式求最值-化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。2、转为三角函数求最值-化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。【例6】（2024·全国·模拟预测）记SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0所对边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的最小值．【变式6-1】（2024·河北邢台·高三统考期末）在锐角SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的取值范围．【变式6-2】（2024·山东枣庄·高三统考期末）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0为锐角三角形，求SKIPIF1<0的取值范围.【变式6-3】（2023·湖南永州·统考二模）记SKIPIF1<0三个内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0为锐角，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的最小值．【变式6-4】（2023·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）在SKIPIF1<0中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且SKIPIF1<0.（1）求角SKIPIF1<0的大小；（2）求SKIPIF1<0的取值范围.【题型7与边或周长有关的最值范围】【例7】（2022·河南·高三专题练习）已知SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式7-1】（2022·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式7-2】（2024·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，__________，且SKIPIF1<0.求：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0周长的取值范围.【变式7-3】（2024·青海西宁·高三统考期末）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【变式7-4】（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0周长的最小值.【题型8与面积有关的最值范围】【例8】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知该三角形的面积SKIPIF1<0．（1）求角SKIPIF1<0的大小；（2）若SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0面积的最大值．【变式8-1】（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在锐角SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对应的边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的取值范围．【变式8-2】（2024·上海普陀·高三校考期末）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的对边，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0满足的表达式（2）如果SKIPIF1<0，求出此时SKIPIF1<0面积的最大值.【变式8-3】（2024·江西·高三校联考期末）如图，在△ABC中，SKIPIF1<0，D为△ABC外一点，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【变式8-4】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）SKIPIF1<0的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为SKIPIF1<0的内心，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0中选一个作为条件，判断SKIPIF1<0是否存在，若存在，求出SKIPIF1<0的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）（2）若SKIPIF1<0为锐角三角形，求SKIPIF1<0面积的取值范围.（建议用时：60分钟）1．（2023·广东深圳·高三校考期末）在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对角线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<02．（2024·浙江·校联考一模）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对的边分别是SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）求角SKIPIF1<0；（2）设边SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．3．（2023·湖南长沙·高三统考阶段练习）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0的平分线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．4．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内部，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．5．（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0边上的高设为SKIP