新高考数学二轮复习重难点5-1 数列通项公式的求法（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）

重难点5-1数列通项公式的求法数列的通项公式求法是高考数学的必考考点，通常在选择题、填空题与解答题第一问中考查。难度中等，但有时在同一个题目中会涉及到多种方法综合性较强。【题型1观察法求通项】满分技巧已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．【例1】（2023·河北张家口·高三尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是这个数列的（）A．第21项B．第22项C．第23项D．第24项【答案】B【解析】由题意可得数列的通项公式为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是这个数列的第22项．故选：B．【变式1-1】（2023·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个通项公式是an=（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，而数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的每一项都是上面数列对应项的SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.故选：C.【变式1-2】（2023·河南·高三校联考期中）数列SKIPIF1<0的一个通项公式为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设该数列为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.选项A，SKIPIF1<0，不满足题意，故A错误；选项B，SKIPIF1<0，不满足题意，故B错误；选项C，SKIPIF1<0，不满足题意，故C错误；选项D，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，均满足题意.故选：D.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】对于A，当n为奇数时，SKIPIF1<0，当n为偶数时，SKIPIF1<0，故A中通项公式正确；对于B显然正确；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，显然不符合；对于D，当n为奇数时，SKIPIF1<0，当n为偶数时，SKIPIF1<0，故D中通项公式正确.故选：ABD．【变式1-4】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（）A．561B．595C．630D．666【答案】D【解析】由题意，第一层SKIPIF1<0个球，第二层SKIPIF1<0个，第三层SKIPIF1<0个，第四层SKIPIF1<0个，据此规律，第三十六层有小球SKIPIF1<0个.故选：D【题型2由Sn与an关系求通项】满分技巧若已知数列的前项和与SKIPIF1<0的关系，求数列SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0可用公式SKIPIF1<0构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即SKIPIF1<0和SKIPIF1<0合为一个表达，（要先分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．【例2】（2023·山东潍坊·高三校考期中）数列前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，则该数列的第4项为（）A．19B．20C．21D．22【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0该数列的第4项SKIPIF1<0.故选：B.【变式2-1】（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，两式相减得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0中SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0不适合上式.【变式2-2】（2023·黑龙江·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0是等比数列B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】依题意，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以3为首项，2为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D．【变式2-3】（2023·四川·校联考三模）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也满足，所以SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.故选：B.【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的最大值是．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），又SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然数列SKIPIF1<0是等差数列，若SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0.【题型3累加法求通项】满分技巧适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解【例3】（2023·福建·高三校联考期中）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则正整数SKIPIF1<0为（）A．13B．12C．11D．10【答案】B【解析】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B【变式3-1】（2023·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，两式相减得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0.相乘得：SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B【变式3-2】（2023·山西·高三校联考阶段练习）在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0也满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式3-3】（2023·上海普陀·统考一模）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0的最小值是.【答案】6【解析】由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0也满足上式，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，由对勾函数性质知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0递增，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时递减，在SKIPIF1<0时递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是6.【变式3-4】（2023·北京·高三汇文中学校考期中）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则集合SKIPIF1<0中元素的个数为.【答案】24【解析】由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时，令SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上可得集合SKIPIF1<0中元素的个数为SKIPIF1<0.【题型4累乘法求通项】满分技巧适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq\f(an＋1,an)＝f(n)要点：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求数列通项公式.【答案】SKIPIF1<0.【解析】数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也满足上式，所以数列SKIPIF1<0通项公式是SKIPIF1<0.【变式4-1】（2023·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则满足不等式SKIPIF1<0的最大正整数SKIPIF1<0为（）A．28B．29C．30D．31【答案】B【解析】依题意，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也符合，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是单调递增数列，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：B【变式4-2】（2023·河南·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．2023B．2024C．4045D．4047【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.【变式4-3】（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知正项数列SKIPIF1<0的前n项积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0的最小正整数n的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】由题，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相除可得SKIPIF1<0，上式两边取对数，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以满足题意的最小正整数SKIPIF1<0的值为6.故选：C.【变式4-4】（2023·河南·高三校联考开学考试）数列SKIPIF1<0的首项为2，等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为．【答案】2【解析】设等比数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0，利用等比数列定义可知SKIPIF1<0所以可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由累乘可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0.【题型5构造法求通项】满分技巧1、形如SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均为常数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）型设SKIPIF1<0，展开移项整理得SKIPIF1<0，与题设SKIPIF1<0比较系数（待定系数法）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列．2、形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型（1）当SKIPIF1<0为一次函数类型（即等差数列）时：设SKIPIF1<0，通过待定系数法确定SKIPIF1<0的值，转化成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设SKIPIF1<0，通过待定系数法确定SKIPIF1<0的值，转化成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列SKIPIF1<0，再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0法二：当SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0时，由递推式得：SKIPIF1<0—①，SKIPIF1<0，两边同时乘以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0—②，由①②两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，构造等比数列。法三：递推公式为SKIPIF1<0（其中p，q均为常数）或SKIPIF1<0（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，引入辅助数列SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），得：SKIPIF1<0。【例5】（2023·江苏淮安·盱眙中学校考模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是以2为首项，2为公比的等比数列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：A【变式5-1】（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0.故选：C【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则下列判断正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】由SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为2的等比数列，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，所以选项A错误，选项B、D正确.因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0正确．故选：BCD．【变式5-3】（2023·山西太原·高三统考期中）（多选）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是递增数列C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BD【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0表示首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以A不正确；由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是递增数列，所以B正确；由SKIPIF1<0，所以C错误；由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D正确.故选：BD.【变式5-4】（2023·浙江·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0（1）试求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由题意SKIPIF1<0，两边同时除以SKIPIF1<0，将其变形为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由等差数列的定义可知SKIPIF1<0是以首项为SKIPIF1<0、公差为SKIPIF1<0的等差数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0，显然当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.而当SKIPIF1<0时，也有SKIPIF1<0，综上所述：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【题型6倒数法求通项】满分技巧形如an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常数)，可变形为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要点：①若p＝r，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为eq\f(q,p)，可用公式求通项；②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解【例6】（2022·重庆·高三西南大学附中校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以首项为2，公比为2的等比数列，从而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.【变式6-1】（2023·全国·高三课时练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前2017项和SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根据题意，有SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0.故选：C【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0各项均为正数，SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，与题意矛盾，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两边同时取倒数，得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等比数列，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：D.【变式6-3】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则n的最大值为．【答案】15【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列.可求得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0单调递增,SKIPIF1<0.则n的最大值为15.【题型7三项递推法求通项】满分技巧适用于形如SKIPIF1<0型的递推式用待定系数法，化为特殊数列SKIPIF1<0的形式求解．方法为：设SKIPIF1<0，比较系数得SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列，这样就化归为SKIPIF1<0型．【例7】（2023·四川成都·高三成都七中校考期中）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0以首项为SKIPIF1<0，公比为4的等比数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．18B．24C．30D．36【答案】A【解析】由SKIPIF1<0且数列不存在为0的项，得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是等差数列，且首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故选：A．【变式7-2】（2023·广东茂名·高三校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0为其前SKIPIF1<0项和，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）可得SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是一个以3为首项，2为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选B.【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求通项SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由等比数列定义知，数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，3为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，累加法可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0符合该式，故SKIPIF1<0.【变式7-4】（2023·全国·高三对口高考）数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【题型8不动点法求通项】满分技巧（1）定义：方程SKIPIF1<0的根称为函数SKIPIF1<0的不动点．利用函数SKIPIF1<0的不动点，可将某些递推关系SKIPIF1<0所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．（2）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0已知，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常数），=1\*GB3①当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0为等差数列；=2\*GB3②当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0为常数数列；=3\*GB3③当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0为等比数列；=4\*GB3④当SKIPIF1<0时，称SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的一阶特征方程，其根SKIPIF1<0叫做特征方程的特征根，这时数列SKIPIF1<0的通项公式为：SKIPIF1<0；（3）形如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项SKIPIF1<0，其特征方程为SKIPIF1<0（*）．（1）若方程（*）有二异根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则可令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是待定常数）；（2）若方程（*）有二重根SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则可令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是待定常数）．(其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求得)【例8】（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）求数列SKIPIF1<0的通项公式．【答案】SKIPIF1<0【解析】根据迭代数列SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0有唯一的不动点SKIPIF1<0，根据定理3可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0是以首项SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列．则对应的通项公式为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0也满足上式．∴SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足性质：对于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的通项公式.【答案】SKIPIF1<0【解析】依定理作特征方程SKIPIF1<0变形得SKIPIF1<0其根为SKIPIF1<0故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式SKIPIF1<0，且首项SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．【答案】SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0．先求出数列的不动点SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．将不动点SKIPIF1<0代入递推公式，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以1为公差的等差数列．∴SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）数列SKIPIF1<0满足下列关系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．【答案】SKIPIF1<0【解析】令函数SKIPIF1<0，解方程SKIPIF1<0求出不动点SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，公差为SKIPIF1<0的等差数列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求数列SKIPIF1<0的通项公式．【答案】SKIPIF1<0【解析】依题SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求出不动点SKIPIF1<0或3所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列．∴SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．（建议用时：60分钟）1．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…，则7是这个数列的（）A．第21项B．第23项C．第25项D．第27项【答案】C【解析】因为数列的第SKIPIF1<0项为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以7是题中数列的第25项．故选：C2．（2023·天津·高三天津市咸水沽第一中学校考期中）设SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．9B．27C．81D．101【答案】B【解析】SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,所以数列SKIPIF1<0从第二项起成等比数列，所以SKIPIF1<0.故选：B.3．（2023·陕西安康·安康中学校考模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0累加可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：B．4．（2023·陕西汉中·高三统考阶段练习）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前9项和为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题设，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C5．（2023·天津北辰·高三统考期中）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．16D．32【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0①，∴SKIPIF1<0②，②减去①得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，公比为SKIPIF1<0的等比数列，∴SKIPIF1<0.故选：B.6．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<