新高考数学二轮复习热点5-1 等差数列的通项及前n项和（8题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）

热点5-1等差数列的通项及前n项和主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等差数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等比数列一般设置一道选择题和一道解答题。【题型1等差数列的基本量计算】满分技巧1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．【例1】（2023·四川乐山·统考一模）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．63B．51C．45D．27【变式1-1】（2023·全国·高三校联考期中）记等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的公差为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式1-2】（2023·广东广州·高三广雅中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0项和.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（）A．1B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式1-3】（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校联考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【题型2等差数列性质的应用】满分技巧1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq\f(am－an,m－n)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.【例2】（2023·全国·模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．60B．120C．180D．240【变式2-1】（2023·山东济宁·高三统考期中）设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）．A．32B．64C．80D．128【变式2-2】（2023·上海·高三校考期中）已知数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【变式2-3】（2023·河南·高三校联考期中）（多选）记等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则根据下列条件能够确定SKIPIF1<0的值的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【题型3等差数列的单调性及应用】满分技巧当公差SKIPIF1<0时，等差数列的通项公式SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的一次函数，且一次项系数为公差SKIPIF1<0.若公差SKIPIF1<0，则为递增数列，若公差SKIPIF1<0，则为递减数列．【例3】（2022·广东惠州·统考一模）设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，若SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式3-1】（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）若等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，对任意正整数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．2020B．2021C．2022D．2023【变式3-2】（2022·湖北襄阳·高二校考阶段练习）（多选）设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A．数列SKIPIF1<0是递减数列B．SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式3-3】（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）（多选）若数列SKIPIF1<0是等差数列，公差SKIPIF1<0，则下列对数列SKIPIF1<0的判断正确的是（）A．若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是递减数列B．若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是递增数列C．若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是公差为d的等差数列D．若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列【题型4等差数列前n项和性质应用】满分技巧1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列．3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).【例4】（2024·四川宜宾·南溪第一中学校校考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式4-1】（2023·湖北荆州·高三松滋市第一中学校考阶段练习）等差数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式4-2】（2023·海南·校联考模拟预测）等差数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【变式4-3】（2023·安徽安庆·高三安徽省太湖中学校考阶段练习）（多选）已知SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0和，下列说法正确的是（）A．若数列SKIPIF1<0为等差数列，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等差数列B．若SKIPIF1<0为等比数列，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等比数列C．若SKIPIF1<0为等差数列，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等差数列D．若SKIPIF1<0为等比数列，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等比数列【题型5等差数列前n项和的最值问题】满分技巧1、二次函数法：将Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．2、邻项变号法：当a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))时，Sn取得最小值．特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．【例5】（2023·贵州·高三贵阳一中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式5-1】（2023·黑龙江·高三省实验中学校考阶段练习）等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的最大值为（）A．60B．45C．30D．15【变式5-2】（2023·江苏无锡·高三江阴市第一中学校考阶段练习）（多选）递增等差数列SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0，下列选项正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0最小D．SKIPIF1<0时n的最小值为8【变式5-3】（2023·河北石家庄·高三新乐市第一中学校考开学考试）（多选）已知等差数列SKIPIF1<0，其前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0B．使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0C．公差SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0最大【题型6含绝对值的等差数列求和】【例6】（2023·上海·高三校考期中）在公差为SKIPIF1<0的等差数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【变式6-1】（2023·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式与前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【变式6-2】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项公式（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【变式6-3】（2023·重庆·万州第三中学校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【题型7等差数列的判定与证明】满分技巧1、定义法：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差数列；2、定义变形法：验证是否满足SKIPIF1<0；3、等差中项法：SKIPIF1<0为等差数列；4、通项公式法：通项公式形如SKIPIF1<0为常数SKIPIF1<0SKIPIF1<0为等差数列；5、前n项和公式法：SKIPIF1<0为常数SKIPIF1<0SKIPIF1<0为等差数列．注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．【例7】（2023·广东深圳·高三校考阶段练习）已知公比大于1的等比数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0是等差数列．【变式7-1】（2023·黑龙江·高三佳木斯一中校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0是等差数列；（2）若SKIPIF1<0成等比数列，求SKIPIF1<0的最小值及取到最小值时SKIPIF1<0的值．【变式7-2】（2023·辽宁·高三校联考期中）设数列SKIPIF1<0的各项都为正数，且SKIPIF1<0．（1）证明数列SKIPIF1<0为等差数列；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【变式7-3】（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.（1）证明：数列SKIPIF1<0为等差数列；（2）设数列SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0的值．【题型8等差数列的实际应用】【例8】（2023·海南海口·校联考一模）家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体．某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（）A．630万元B．350万元C．420万元D．520万元【变式8-1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）SKIPIF1<0基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月底，SKIPIF1<0地区已经累计开通SKIPIF1<0基站SKIPIF1<0个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进SKIPIF1<0网络建设．已知SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月该地区计划新建SKIPIF1<0个SKIPIF1<0基站，以后每个月比上一个月多建SKIPIF1<0个，则SKIPIF1<0地区到SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月底累计开通SKIPIF1<0基站的个数为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式8-2】（2023·江西·校联考模拟预测）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（）A．癸未年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年【变式8-3】（2022·江苏南通·高三统考期中）（多选）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（）A．驽马第七日行九十四里B．第七日良马先至齐C．第八日二马相逢D．二马相逢时良马行一千三百九十五里（建议用时：60分钟）1．（2023·四川乐山·统考一模）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．18B．27C．45D．632．（2023·重庆渝中·高三统考期中）已知数列SKIPIF1<0均为等差数列，且SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．84B．540C．780D．9203．（2023·全国·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0为等差数列，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．63B．72C．135D．1444．（2023·北京·高三顺义区第一中学校考阶段练习）若等差数列SKIPIF1<0和等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的公差为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．（2023·海南·高三海南中学校考阶段练习）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值等于（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2023D．20246．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．（2023·江西南昌·高三江西师大附中校考期中）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论中正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<08．（2023·黑龙江·高三大兴安岭实验中学校考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．45B．60C．160D．809．（2023·河南三门峡·高三陕州中学校考阶段练习）已知正项等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．8B．9C．10D．1210．（2023·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0为等比数列，SKIPIF1<0是它的前n项和，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等差中项为SKIPIF1<0，则S5等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<011．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）（多选）已知SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前n项和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列选项正确的是（）A．数列SKIPIF1<0为递减数列B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<012．（2023·河南·高三校联考阶段练习）（多选）已知各项都是实数的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A．若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是递减数列B．若SKIPIF1<0