新高考数学二轮复习热点3-3 正弦定理与余弦定理（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）

热点3-3正弦定理与余弦定理“解三角形”是每年高考常考内容，在选择题、填空题中考查较多，有时也会出现在解答题中。对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；而是考查两个定理的综合应用，多与三角变换、平面向量等知识综合命题。以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为容易题、中档题。【题型1正、余弦定理解三角形边与角】满分技巧利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。【例1】（2024·全国·模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由余弦定理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A．【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A．【变式1-2】（2023·新疆·校联考一模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的对应边是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以由余弦定理可得SKIPIF1<0，利用正弦定理边化角得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B【变式1-3】（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：A.【变式1-4】（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0.由正弦定理，可得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.【题型2正弦定理判定三角形解的个数】满分技巧已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定；已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定。（1）从代数的角度分析：以已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，解三角形为例由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：=1\*GB3①若SKIPIF1<0，则满足条件的三角形的个数为0；=2\*GB3②若SKIPIF1<0，则满足条件的三角形的个数为1；=3\*GB3③若SKIPIF1<0，则满足条件的三角形的个数为1或者2；显然由若SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0有两个值，一个大于SKIPIF1<0，一个小于SKIPIF1<0，考虑“大边对大角”、“三角形内角和等于SKIPIF1<0”等，此时需进行分类讨论。（2）画图法：以已知角的对边为半径画圆弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：当A为锐角时：当A为钝角时【例2】（2023·山东临沂·高三校考阶段练习）（多选）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有两解B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有两解C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，只有一解D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，只有一解【答案】CD【解析】对于A，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；对于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，无解，B错误；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，有唯一解，C正确；对于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，有唯一解，D正确.故选：CD【变式2-1】（2022·河北张家口·高三校联考期中）（多选）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】对于A，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0只有一解；故A错误；对于B，因为SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有两解（SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0），故B正确；对于C，因为SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有两解（SKIPIF1<0，或，SKIPIF1<0），故C正确；对于D，因为SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0只有一解，故D错误；故选：BC【变式2-2】（2023·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足条件的SKIPIF1<0（）A．有无数多个B．有两个C．有一个D．不存在【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由正弦函数的性质可得SKIPIF1<0不存在，所以满足条件的SKIPIF1<0不存在.故选：D【变式2-3】（2023·浙江·模拟预测）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，且该三角形有两解，则SKIPIF1<0的范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,因为该三角形有两解，故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：B【变式2-4】（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）（多选）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若满足条件的三角形有两个，则SKIPIF1<0边的取值可能是（）A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8【答案】BC【解析】根据题意可得：满足条件的SKIPIF1<0有两个，可得SKIPIF1<0，故选:BC【题型3正、余弦定理判断三角形形状】满分技巧判定三角形形状的两种常用途径1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断【例3】（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0是等腰或直角三角形，故选：D.【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边，已知SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，则SKIPIF1<0是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．不确定【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，由诱导公式得SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，故选：B.【变式3-2】（2023·甘肃酒泉·统考三模）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．直角或钝角三角形D．钝角三角形【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为钝角三角形.故选：D.【变式3-3】（2022·内蒙古呼伦贝尔·高三海拉尔第一中学校考阶段练习）SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形或直角三角形【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由余弦定理可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是以∠C为直角的直角三角形．故选：B．【变式3-4】（2024·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市十二中校考阶段练习）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状是（）A．等腰三角形或直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】B【解析】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的形状为直角三角形，故选：B【题型4求三角形（四边形）的面积】满分技巧1、常用的三角形面积公式：在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为a，b，c，边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上的高分别记作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为内切圆半径，SKIPIF1<0为外接圆半径，SKIPIF1<0为内切圆心。（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<02、与三角形面积有关问题的解题策略（1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；（2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量。【例4】（2024·江西上饶·高三校考阶段练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：B【变式4-1】（2024·陕西渭南·统考一模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为.【答案】SKIPIF1<0【解析】由余弦定理可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.【变式4-2】（2023·湖南长沙·高三统考阶段练习）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（）A．3SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．12D．16【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0成等差数列，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，故选：B.【变式4-3】（2024·重庆长寿·高三统考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．3【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.【变式4-4】（2024·陕西西安·统考一模）在三角形SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：B【题型5三角形的外接圆问题】满分技巧正弦定理：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为外接圆半径）【例5】（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆的半径为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0，则由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B.【变式5-1】（2023·河北石家庄·高三校联考阶段练习）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆的半径为（）.A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．3【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A【变式5-2】（2022·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）在SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆的半径为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0，故选：A.【变式5-3】（2022·河南南阳·高三统考期中）在SKIPIF1<0中,角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的外接圆面积为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由正弦定理可知,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据正弦定理可知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的外接圆面积SKIPIF1<0，故选：D【变式5-4】（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）在SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的外接圆的面积为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0的外接圆的半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圆的面积为SKIPIF1<0，故选：B.【题型6证明三角形中恒等式或不等式】【例6】（2024上·江西赣州·高三统考期末）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0；（2）记边AB和BC上的高分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0的形状．【答案】（1）证明见解析；（2）直角三角形.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，由正弦定理得，SKIPIF1<0，整理可得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0；（2）根据等面积法可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0及正弦定理可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直角三角形.【变式6-1】（2024·湖南长沙·统考一模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.（1）证明：SKIPIF1<0；（2）如图，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的延长线上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0运动时，探究SKIPIF1<0是否为定值？【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0为定值.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，再由余弦定得得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0互补，所以SKIPIF1<0，结合余弦定理可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为定值.【变式6-2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）记SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内角，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0.【变式6-3】（2024·河南焦作·高三统考期末）已知SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）证明：由正弦定理及条件可得SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．【变式6-4】（2024上·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为SKIPIF1<0﹐已知SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求B；（2）证明：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析【解析】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，再由正弦定理可得SKIPIF1<0，然后根据余弦定理可知，SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，故原等式成立．【题型7距离、高度、角度的测量】满分技巧解三角形的实际应用问题的类型及解题策略1、求距离、高度问题（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．2、求角度问题（1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．【例7】（2023·江苏南通·高三海门中学校考阶段练习）如图，某人为测量塔高SKIPIF1<0，在河对岸相距SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处分别测得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与塔底SKIPIF1<0在同一水平面内），则塔高SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.故选：A【变式7-1】（2023·福建厦门·高三湖滨中学校考阶段练习）如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据：SKIPIF1<0≈1.414，SKIPIF1<0≈1.732，SKIPIF1<0≈2.236，SKIPIF1<0≈2.646)（）A．53B．55C．57D．60【答案】A【解析】如图，连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0（米）.故选：A【变式7-2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得SKIPIF1<0，沿土坡向坡顶前进SKIPIF1<0后到达D处，测得SKIPIF1<0．已知旗杆SKIPIF1<0，土坡对于地平面的坡角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，易知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0整理可得SKIPIF1<0，故选：D【变式7-3】（2022·吉林·统考模拟预测）位于灯塔A处正西方向相距SKIPIF1<0nmile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距SKIPIF1<0nmile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（）A．30°B．60°C．75°D．45°【答案】B【解析】依题意，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的延长线交于点SKIPIF1<0，如图，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60°，故选：B.【变式7-4】（2024·全国·高三专题练习）鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0处分别测塔顶的仰角为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0m，则文星塔高为m.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图所示，设建筑物的高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.【题型8正余弦定理与三角函数综合】【例8】（2024·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.（1）求函数SKIPIF1<0的最值及取得最值时SKIPIF1<0的取值集合；（2）设SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【答案】（1）答案见解析；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，综上当SKIPIF1<0时，取到最小值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，取到最大值SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中，结合SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(其它解舍去)，故由余弦定理得SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.【变式8-1】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的最小正周期；（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是角SKIPIF1<0的对边，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0外接圆的半径.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）2【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0外接圆的半径SKIPIF1<0.【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D是线段EF上靠近点F的三等分点，且SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0的最小值；（2）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求a的值．【答案】（1）3；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D是线段EF上靠近点F的三等分点，SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，为SKIPIF1<0．（2）由（1）及SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【变式8-3】（2023·福建泉州·高三德化第一中学校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最值，及取最值时对应的SKIPIF1<0的值；（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为锐角，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【答案】（1）SKIPIF1<0,SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0为锐角，