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文档简介

热点3-1同角三角函数基本关系、诱导公式与三角恒等变换基本关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础,是高考中的一个必考内容。一般以选择题、填空题的形式出现,难度中等或偏下;但在三角函数的解答题中有时也会涉及到合并化简。【题型1正、余弦齐次式的计算】满分技巧1、弦化切:把正弦、余弦化成切的结构形式,统一为“切”的表达式,进行求值.常见的结构有:(1)sinα,cosα的二次齐次式(如asin2α+bsinαcosα+ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解;(2)sinα,cosα的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形.2、切化弦:利用公式tanα=,把式子中的切化成弦.一般单独出现正切的时候,采用此技巧.【例1】(2024·四川攀枝花·统考二模)若角的终边经过点,则的值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】根据的终边经过点,则,则故选:A【变式1-1】(2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习)若,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】.故选:B【变式1-2】(2023·四川成都·统考一模)已知,且,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题设,所以,且,故,即,所以.故选:B【变式1-3】(2023·西藏林芝·高三统考期末)若,且,则.【答案】【解析】因为,,所以.【变式1-4】(2023·河北沧州·高三校联考阶段练习)已知,则.【答案】【解析】因为,所以,所以.【题型2sina±cosa与sina·cosa关系】满分技巧对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三个式子,知一可求二,若令sinα+cosα=t(t∈[-,]),则sinαcosα=,sinα-cosα=±(注意根据α的范围选取正、负号),体现了方程思想的应用.【例2】(2023·安徽·高三校联考阶段练习)已知是三角形的一个内角,满足,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为,两边平方得,即,可得,因为是三角形的一个内角,且,所以,所以,得,又因为,,联立解得:,,故有:,从而有.故选:B.【变式2-1】(2023·云南·高三校联考阶段练习)已知,且,则下列结果正确的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为,所以,故A错误;因为,又,所以,所以,故B正确;,又,所以所以,故C错误;联立解得,所以,故D错误;故选:B.【变式2-2】(2023·山东德州·高三德州市第一中学校考开学考试)已知,A为第四象限角,则等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】可得,..又

A为第四象限角,又,所以,,所以.故选:C.【变式2-3】(2023·江苏连云港·高三东海县第二中学校考阶段练习)函数y=sinx+cosx-sinxcosx的值域为.【答案】[-,1]【解析】,令,则,,因为函数在上单调递增,上单调递减,所以当时取得最大值,,当时取得最小值,,所以函数的值域为.【变式2-4】(2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习)已知,是关于的一元二次方程的两根.(1)求的值;(2)若,求的值.【答案】(1);(2)【解析】(1)由已知得①,②,将①两边同时平方得,则,所以;(2)∵,,,∴,,∴,.【题型3诱导公式化简求值】满分技巧利用诱导公式化简求值的解题策略1、条件求值问题的策略(1)条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.2、给值求角问题,先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值,再结合特殊角的三角函数值逆向求角.3、观察互余、互补关系:如-α与+α,+α与-α,-α与+α等互余,+θ与-θ,+θ与-θ等互补,遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换来解决问题.【例3】(2023·宁夏银川·高三校联考阶段练习)在平面直角坐标系中,在在角终边上,则的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】依题意,,所以.故选:B【变式3-1】(2023·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习)下列化简正确的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】对于A,由诱导公式得,,故A错误;对于B,,故B正确;对于C,,故C错误;对于D,,故D错误.故选:B.【变式3-2】(2023·安徽·高三校联考期末)若,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为,得到,所以,故选:D.【变式3-3】(2024·全国·模拟预测)已知,则()A.B.2C.D.【答案】A【解析】令,则,从而.故选:A.【变式3-4】(2023·上海闵行·高三文来中学校考期中)若,则.【答案】【解析】因为,所以.【题型4同角关系与诱导公式综合应用】【例4】(2023·重庆永川·高三永川北山中学校校考期中)已知,,则()A.B.C.3D.【答案】B【解析】由,即,又,解得,.故选:B.【变式4-1】(2023·陕西西安·高三校考阶段练习)已知,则等于()A.1B.-C.D.-【答案】D【解析】因为,所以,又因为,故选:D.【变式4-2】(2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)若,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为,则,所以,,联立,解得,因此,,故选:B.【变式4-3】(2024·山西运城·高三校考期末)已知角的终边经过点,则()A.B.C.D.1【答案】C【解析】因为角的终边经过点,则,则,故选:C.【变式4-4】(2023·甘肃兰州·高三校考阶段练习)已知,且为第三象限角.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2)【解析】(1)因为,且为第三象限角,结合可知.(2)由诱导公式可知,,,,因此由题意有.【题型5三角恒等变换之给角求值】满分技巧给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角,从表面上看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解。【例5】(2022·江苏常州·高三校联考阶段练习)(多选)下列化简正确的是()A.B.C.D.【答案】AB【解析】对于选项A:,故A正确;对于选项B:,故B正确.对于选项C:,故C错误.对于选项D:,故D错误.故选:AB.【变式5-1】(2024·湖北·校联考模拟预测)在中,已知,则(

)A.3B.2C.D.1【答案】A【解析】因为,所以,又,所以,得到,整理得,所以,故选:A.【变式5-2】(2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末)()A.1B.C.D.2【答案】C【解析】原式,故选:C.【变式5-3】(2023·重庆·统考模拟预测)式子化简的结果为()A.B.C.D.【答案】B【解析】原式.故选:B.【变式5-4】(2024·安徽合肥·高三合肥一中校考期末)求值:()A.B.C.1D.【答案】D【解析】,.故选:D.【题型6三角恒等变换之给值求值】满分技巧1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;②变换待求式,便于将已求得的函数值代入,从而达到解题的目的.2、“凑配角”:用已知角和特殊角将所求角表示出来,例如:等.【例6】(2024下·福建·高三校联考开学考试)已知,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】由,有.故选:B.【变式6-1】(2022·安徽安庆·安庆一中校考三模)已知,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】由得,,而,故,故选:B【变式6-2】(2023·河北邯郸·高三校考阶段练习)已知,满足,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】因,则,又,则,得.因,则.又,则,结合,则,得,则.又注意到,则.故选:B【变式6-3】(2024·江苏扬州·高三统考期末)已知,则()A.0B.C.D.1【答案】A【解析】已知,则,,,,则,,则.故选:A.【变式6-4】(2023·广西·模拟预测)已知,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】,故,又,故,,.故选:D.【题型7三角恒等变换之给值求角】满分技巧“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是:(1)求值:求出所求角的某种三角函数值.(2)界定范围:根据题设(隐含条件)确定所求角的取值范围.(3)求角:由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.【例7】(2023·贵州铜仁·高三思南中学校考阶段练习)已知,且和均为钝角,则的值为()A.B.C.或D.【答案】D【解析】∵和均为钝角,∴,.∴.由和均为钝角,得,∴.故选:D【变式7-1】(2024·山西太原·高三统考期末)已知,,且,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知,,∴.故选:C.【变式7-2】(2023·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习)已知、是方程的两个根,且,则等于()A.B.C.或D.或【答案】B【解析】方程中,,则,于是,显然,又,则有,,所以.故选:B【变式7-3】(2022·山东青岛·高三青岛二中校考期中)已知,,,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为,则,因为,则,可得,因为,则,,所以,,,所以,,所以,.故选:A.【变式7-4】(2023·全国·模拟预测)已知,均为锐角,且,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】法一:因为,所以,所以,则,整理得,所以,又,均为锐角,所以,所以.法二:因为,所以,所以,所以,即,即,所以,又,均为锐角,所以,所以,故选:D.【题型8三角函数化简求值综合】满分技巧三角函数式的化简遵循“三看”原则一看式中各角:通过把三角函数式中各角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;二看函数名称:看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;三看结构特征:分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”、“整式要因式分解”、“二次式配方”等。【例8】(2023·河南·高三阶段练习)已知.(1)求的值;(2)已知,求.【答案】(1);(2)【解析】(1)原式,(2)由可知即;.【变式8-1】(2023·河南·信阳高中校联考模拟预测)已知函数.(1)若,求的值;(2)设,求函数的最小值.【答案】(1);(2)【解析】(1)因为...(2)因为:,.所以:.设,则,且,所以:,当时,.所以的最小值为.【变式8-2】(2023·安徽·高三校联考阶段练习)已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;(2)若,且,求的值.【答案】(1),;(2)【解析】(1)由题意知.故函数的最小正周期.令.解得.所以的单调递增区间为,(2)因为.又.所以,所以,所以.【变式8-3】(2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)已知.(1)若,求的值;(2)若且,求的值.【答案】(1);(2)【解析】(1)由题意可得:,由已知,得,所以.(2)由,可知,则.因为,则,且,可得,则,所以.【变式8-4】(2023·山西太原·高三统考期中)已知函数.(1)求的单调递增区间和对称中心;(2)当时,,求的值.【答案】(1)递增区间为(),对称中心为();(2)【解析】(1),由()得,所以的单调递增区间为();由()得,所以的对称中心为();(2)由(1)可得,所以,因为,所以,所以,所以.(建议用时:60分钟)1.(2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模)若,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】,.故选:A2.(2024·甘肃·高三统考阶段练习)已知,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为,所以.故选:B3.(2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习)已知,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】.故选:B4.(2023·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习)已知,,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】已知,则,则,又,则,即,又,,则.故选:C.5.(2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习)若,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为,即,整理可得,解得,且有因此,.故选:A.6.(2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习)()A.B.1C.D.2【答案】B【解析】,故选:B.7.(2022·河南·高三专题练习)已知,且,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知得,即,解得或(舍去),又,得,故.(另解:由已知得,解得或(舍去),又,则,故.)故选:D.8.(2024·河北·高三校联考期末)设,若,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知得,故,因为,所以,故,解得,故选:C.9.(2024·陕西咸阳·校考模拟预测)若,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为,所以,对于A:若,则,故A错误;对于B:因为,,故B错误;对于C:因为,故C错误;对于D:因为,故D正确.故选:D.10.(2024·全国·模拟预测)若,则的值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知,得,.又,所以.所以.所以.故选:C.11.(2023·河北石家庄·高三校考阶段练习)(多选)已知,,则()A.B.C.D.【答案】BC【解析】由得,,则,因为,,所以,所以,由,解得,对于A,,故A错误;对于B,,故B正确;对于C,因为,所以,则,,即,解得或(舍去),故C正确;对于D,,故D错误,故选:BC.12.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)(多选)下列化简正确的是()A.B.C.D.【答案】BCD【解析】对于A,因为,所以,所以,故A错误;对于B,因为,所以,故B正确;对于C,设,因为,所以,因为,所以,所以,故C正确;对于D,,故D正确,故选:BCD.13.(2023·辽宁·高三校联考阶段练习)(多选)已知,下列说法正确的是()A.B.C.D.【答案】AC【解析】因为,所以,所以为第一象限角或第三象限角.当为第一象限角时,,;当为第三象限角时,,,所以,故A项正确;;故B项错误;,故C项正确;,当为第一象限角时,原式;当为第三象限角时,原式,故D项错误.故选:AC14.(2023·安徽安庆·高三安庆市第

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