新高考数学二轮复习热点7-3 双曲线及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）

热点7-3双曲线及其应用双曲线及其应用是高考数学的重点与难点，在近几年高考数学试卷中，双曲线的相关题型几乎年年都会考到，属于热点问题。题型比较丰富，选择题、填空题、解答题都出现过，主要通过双曲线的定义、方程及性质考查数学运算能力及转化思想，难度中等偏难。【题型1双曲线的定义及概念辨析】满分技巧（1）在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数SKIPIF1<0满足约束条件：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点SKIPIF1<0的一支；若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点SKIPIF1<0的一支；（2）若常数SKIPIF1<0满足约束条件：SKIPIF1<0，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；（3）若常数SKIPIF1<0满足约束条件：SKIPIF1<0，则动点轨迹不存在；（4）若常数SKIPIF1<0，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是（）A．射线B．直线C．椭圆D．双曲线的一支【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，由题意知动点M满足SKIPIF1<0|，故动点M的轨迹是射线.故选：A.【变式1-1】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）双曲线C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的一条渐近线过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是C的左右焦点，且SKIPIF1<0，若双曲线上一点M满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），又因为双曲线的渐近线过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在左支上，SKIPIF1<0，符合要求，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在右支上，SKIPIF1<0，不符合要求，所以SKIPIF1<0，故选：B.【变式1-2】（2023·河北·模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0的上、下焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一条渐近线过点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】11【解析】由SKIPIF1<0得双曲线的标准方程为：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以双曲线的渐近线方程为：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的一条渐近线过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线的上、下焦点，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0、圆SKIPIF1<0外切，则圆心SKIPIF1<0的轨迹方程为．【答案】SKIPIF1<0【解析】设圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0、圆SKIPIF1<0外切，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的双曲线的右支，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以其轨迹方程为SKIPIF1<0．【变式1-4】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）（多选）已知复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A．方程SKIPIF1<0表示的SKIPIF1<0在复平面内对应点的轨迹是圆B．方程SKIPIF1<0表示的SKIPIF1<0在复平面内对应点的轨迹是椭圆C．方程SKIPIF1<0表示的SKIPIF1<0在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支D．方程SKIPIF1<0表示的SKIPIF1<0在复平面内对应点的轨迹是抛物线【答案】AC【解析】由复数模的几何意义知，SKIPIF1<0表示复平面内点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0之间的距离为定值2，则SKIPIF1<0在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；由复数模的几何意义知，SKIPIF1<0表示复平面内点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距离之和为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，不满足椭圆的定义SKIPIF1<0，故B不正确；由复数模的几何意义知，SKIPIF1<0表示复平面内点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距离之差为1，又SKIPIF1<0，满足双曲线的定义SKIPIF1<0，故C正确；对于D，SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，表示复平面内点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距离相等，轨迹是直线，故D不正确，故选：AC.【题型2利用定义求距离和差最值】满分技巧利用定义||PF1|-|PF2||＝2a转化或变形，借助三角形性质及基本不等式求最值【例2】（2023·天津南开·统考一模）已知拋物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到准线的距离为SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左焦点，SKIPIF1<0是双曲线右支上的一动点，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．12B．11C．10D．9【答案】D【解析】拋物线SKIPIF1<0的准线为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到准线的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的右焦点，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0三点共线时取等号，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D.【变式2-1】（2023·江西赣州·统考一模）已知点SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的右支上运动.当SKIPIF1<0的周长最小时，SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由双曲线SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，左焦点SKIPIF1<0，设右焦点SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0的周长最小时，SKIPIF1<0取到最小值，所以只需求出SKIPIF1<0的最小值即可.SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.故选：C.【变式2-2】（2023·四川南充·校考模拟预测）已知SKIPIF1<0是离心率为SKIPIF1<0的双曲线SKIPIF1<0的右支上一点，则SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离与SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离之和的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】已知双曲线SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的左、右焦点，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：A.【变式2-3】（2022·天津南开·高三统考阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．8D．10【答案】A【解析】由双曲线SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,设双曲线左焦点为SKIPIF1<0，不妨设一条渐近线为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足为E，即SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0,垂足为H，则SKIPIF1<0，因为点P为C左支上的动点，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由图可知，当SKIPIF1<0三点共线时，即E和H点重合时，SKIPIF1<0取得最小值，最小值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故选：A．【变式2-4】（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线SKIPIF1<0，其一条渐近线方程为SKIPIF1<0，右顶点为A，左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P在其右支上，点SKIPIF1<0，三角形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取得最大值时点P的坐标为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，则由三角形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又双曲线一条渐近线方程为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0.又由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0共线且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中间时取得等号.此时直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中间可得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：B【题型3双曲线标准方程的求解】满分技巧1、由双曲线标准方程求参数范围（1）对于方程SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时表示双曲线；当SKIPIF1<0时表示焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线；当SKIPIF1<0时表示焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线.（2）对于方程SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时表示双曲线；当SKIPIF1<0时表示焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线；当SKIPIF1<0时表示焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线.（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。2、待定系数法求双曲线方程的五种类型（1）与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；（2）若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x或y＝－eq\f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；（3）与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)；（4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)；（5）与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)【例3】（2023·全国·高三对口高考）与SKIPIF1<0有相同渐近线，焦距SKIPIF1<0，则双曲线标准方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】（1）若焦点在SKIPIF1<0轴上，设所求双曲线方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有相同渐近线，所以SKIPIF1<0，设该双曲线的焦距为SKIPIF1<0，又因为焦距SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则双曲线方程为SKIPIF1<0；（2）若焦点在SKIPIF1<0轴上，设所求双曲线方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有相同渐近线，所以SKIPIF1<0，设该双曲线的焦距为SKIPIF1<0，又因为焦距SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则双曲线方程为SKIPIF1<0，所以双曲线的标准方程为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.综上，双曲线标准方程为SKIPIF1<0.故选：D【变式3-1】（2023·湖北荆州·高三松滋市第一中学校考阶段练习）双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0．过SKIPIF1<0作其中一条渐近线的垂线，垂足为SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则双曲线的方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图，因为SKIPIF1<0，不妨设渐近线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线的方程为SKIPIF1<0，故选：D【变式3-2】（2023·天津宁河·高三芦台第一中学校考期末）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点SKIPIF1<0，则双曲线的方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，因为双曲线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的焦点重合，可得双曲线的右焦点为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，抛物线的准线方程为SKIPIF1<0，因为抛物线准线与一条渐近线交于点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即交点为SKIPIF1<0，代入渐近线方程，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以双曲线的方程为SKIPIF1<0.故选：D.【变式3-3】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知双曲线C：SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若SKIPIF1<0的周长为36，则双曲线C的方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则双曲线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的周长为36，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以双曲线方程为SKIPIF1<0，故选：D【变式3-4】（2023·四川乐山·统考三模）设SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点．过SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的一条切线SKIPIF1<0，切点为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由圆SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由正弦定理，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴由双曲线定义，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0为直角，∴易知SKIPIF1<0为钝角，∴由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又∵SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入，解得SKIPIF1<0.∴双曲线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0.故选：D.【题型4双曲线的焦点三角形问题】满分技巧求双曲线中的焦点三角形SKIPIF1<0面积的方法（1）=1\*GB3①根据双曲线的定义求出SKIPIF1<0；=2\*GB3②利用余弦定理表示出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间满足的关系式；=3\*GB3③通过配方，利用整体的思想求出SKIPIF1<0的值；=4\*GB3④利用公式SKIPIF1<0求得面积。（2）利用公式SKIPIF1<0求得面积；（3）若双曲线中焦点三角形的顶角SKIPIF1<0，则面积SKIPIF1<0，结论适用于选择或填空题。【例4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交双曲线左支于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，若双曲线的实轴长为8，那么SKIPIF1<0的周长是（）A．5B．16C．21D．26【答案】D【解析】由题意可知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0.故选：D.【变式4-1】（2023·重庆·高三重庆八中校考期中）设双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右支上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（）A．2B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意得SKIPIF1<0，由双曲线定义可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C【变式4-2】（2023·四川成都·高三校考期中）设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右两个焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（）A．5B．10C．SKIPIF1<0D．20【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以原点为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆与双曲线SKIPIF1<0的交点，又SKIPIF1<0，即它们也在SKIPIF1<0点所在的圆上，且SKIPIF1<0为直径，所以SKIPIF1<0为直角三角形，SKIPIF1<0，如上图，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.故选：A.【变式4-3】（2023·广东湛江·高三统考阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程是SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0轴的垂线在SKIPIF1<0轴上方交双曲线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意得：因为该双曲线的一条渐近线方程是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由过点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0轴的垂线在SKIPIF1<0轴上方交双曲线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，可知M的横坐标为SKIPIF1<0，代入椭圆方程即可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又有SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D【变式4-4】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与双曲线SKIPIF1<0的左支交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的内切圆周长为.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图所示：设内切圆半径为SKIPIF1<0，切点分别为SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由双曲线定义有SKIPIF1<0；又因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，从而直角三角形SKIPIF1<0的内切圆半径是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的内切圆周长为SKIPIF1<0.【题型5求双曲线的离心率与范围】满分技巧1、求双曲线的离心率或其范围的方法（1）求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.（2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．（4）通过特殊位置求出离心率．2、双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；当k<0时，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1).【例5】（2023·天津北辰·高三统考期中）双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆与SKIPIF1<0的左支的一个公共点为SKIPIF1<0，若原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离等于实半轴的长，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图：∵原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离等于实半轴的长，∴SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，又∵以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆与SKIPIF1<0的左支的一个公共点为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由双曲线定义的SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0.故选：A.【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是其右支上一点．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由双曲线的几何性质，可知点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B项正确.故选：B.【变式5-2】（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0为坐标原点，圆SKIPIF1<0交双曲线SKIPIF1<0的左支于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交双曲线SKIPIF1<0的右支于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，则由双曲线的定义可知SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0交双曲线SKIPIF1<0的左支于点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则化简可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则化简可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：D.【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P为双曲线C的右支上一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：B．【变式5-4】（2023·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知双曲线SKIPIF1<0的上下焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的下支上，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的一条渐近线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的离心率的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图，过点SKIPIF1<0作渐近线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到渐近线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.【题型6双曲线的中点弦问题】满分技巧解决中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过双曲线SKIPIF1<0上两点、，其中中点为，则有SKIPIF1<0.证明：设、，则有SKIPIF1<0，上式减下式得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.【例6】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线交双曲线E于A、B两点.若SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，则E的方程为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线的方程为：SKIPIF1<0.故选：D.【变式6-1】（2024·陕西宝鸡·校考一模）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0上两点，下列四个点中，可为线段SKIPIF1<0中点的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在双曲线上，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.对于选项A：可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，消去y得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，消去y得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，消去y得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确；对于选项D：可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由双曲线方程可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；故选：C.【变式6-2】（2023·陕西渭南·统考二模）已知直线SKIPIF1<0过双曲线SKIPIF1<0的左焦点SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0的左､右两支分别交于SKIPIF1<0两点，设SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为底边的等腰三角形，则直线SKIPIF1<0的斜率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0为锐角，∵SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为底边的等腰三角形，∴直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴由对称性知直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0.故选：D【变式6-3】（2023·上海·高三七宝中学校考二模）不与SKIPIF1<0轴重合的直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上存在两点A，B关于SKIPIF1<0对称，AB中点M的横坐标为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是AB垂直平分线，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【变式6-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，虚轴的上端点为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的两点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为坐标原点，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的两条浙近线的斜率之积为.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的两点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为坐标原点，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0③，SKIPIF1<0④，所以，②SKIPIF1<