新高考数学二轮复习重难点2-3 原函数与导函数混合构造（10题型 满分技巧 限时检测）（解析版）

重难点2-3原函数与导函数混合构造10大题型导数中的构造函数常在高考题中以选择题或填空题的形式考查，难度较大。重点考查函数与方程思想、转化与化归思想。构造函数法是一种创造性思维的过程，具有较大的灵活性和技巧性，但一直受出题老师的青睐。考生在训练过程中，要有目的、有意识的进行构造，始终“盯住”要解决的目标。【题型1构造型函数】满分技巧对于不等式，构造对于不等式，构造对于不等式，构造【例1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知定义域为R的函数，对任意的都有，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，则在R上单调递增，，由可得，即，得，，故选：B．【变式1-1】（2024·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知函数在上的导函数为，且，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，即在上单调递减．由，得，则，得，所以，得，所以原不等式的解集为，故选：D.【变式1-2】（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】构造函数，因为是上的偶函数且也是上的偶函数，所以是上的偶函数，因为时，，所以在上单调递增，所以在上单调递减，又因为，所以且，所以，所以，解得或，故选：B.【变式1-3】（2023·山东枣庄·高三统考期中）设定义在上的函数满足，若，，则的最小值为．【答案】【解析】由可知，令，则，所以在上单调递增.因为，所以，因为所以，所以，又因为在上单调递增，所以【变式1-4】（2023·福建莆田·高三校考阶段练习）设函数在上存在导数是偶函数.在上.若，则实数的取值范围为.【答案】【解析】由题意得在上恒成立，故在上单调递增，又是偶函数，故在上单调递减，变形得到，即，所以，故，由于在上单调递增，所以，解得.【题型2构造或】满分技巧对于不等式，构造对于不等式，构造【例2】（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，，且，则不等式f(x)g(x)>0的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．由题意可知，当x<0时，，所以F(x)在上单调递增．又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，所以F(x)是定义在R上的奇函数，从而F(x)在上单调递增．而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以F(－3)＝－F(3)＝0，当时，f(x)g(x)>0的解为；当时，f(x)g(x)>0的解为；综上可知不等式f(x)g(x)>0的解集为，故选：A.【变式2-1】（2023·北京·高三北京四中校考期中）设，分别是定义域为的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集为.【答案】【解析】设，，因为是定义域为的奇函数，所以，即当时，，单调递增，由已知得为奇函数，且在，上均为增函数，因为，所以的解集为.【变式2-2】（2023·广东湛江·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数都存在，若，且为整数，则的可能取值的最大值为.【答案】14【解析】因为，设函数，则，所以在上单调递减，则，即，整理得，又因为为整数，所以的可能取值的最大值为14.【变式2-3】（2023·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）设在上的导函数均存在，，且，当时，下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，不妨设，，则，所以在上单调递增，因为与1的大小不确定，所以无法比较的大小关系，故A、B无法判断；则，即，且，则，故D错误；由，即，且，则，C正确；故选：C．【变式2-4】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数、是定义域为的可导函数，且，都有，，若、满足，则当时下列选项一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意：，设，则，由得，因为，所以，又、是定义域为的恒大于0的可导函数，故，B错误，，A错误；，因为，不知道正负，所以C不一定成立；，即，D正确.故选：D.【题型3构造函数】满分技巧对于不等式，构造（注意的符号）特别的：对于不等式，构造【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，设，因为为奇函数，则，即函数为偶函数.当时，，则函数在上为减函数.，，，且，则有.故选：B．【变式3-1】（2023·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）设函数，是定义在R上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为.【答案】【解析】设，则，所以时，是增函数，时，，，即，所以，又是偶函数，所以时，，综上，不等式的解集结为．【变式3-2】（2024·全国·高三专题练习）若定义域为的函数满足，则不等式的解集为.【答案】【解析】由时，函数满足，可得，设，则，故在上单调递增，由，即，即，所以，解得，所以的解集为.【变式3-3】（2023·陕西安康·统考二模）函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，所以函数在上为增函数．由的定义域为可知，得，将不等式整理得，即，可得在上恒成立，即在上恒成立；令，其中，所以，令，得．当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以，即，故选：B．【变式3-4】（2023·江西·高三校联考阶段练习）若为R上的奇函数，为其导函数，当时，恒成立，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，由题意知当时，，故在上单调递增．因为为奇函数，所以，即为偶函数，所以原不等式变为，所以，所以，解得或，故原不等式的解集为，故选：D．【题型4构造函数】满分技巧对于不等式，构造（注意的符号）特别的：对于不等式，构造【例4】（2024·辽宁鞍山·高三校联考期末）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，设，则，若为奇函数，则，则有，即函数为偶函数，又由，则，则，，又由当时，，则在上为减函数，又由，则在上，，在上，，又由为偶函数，则在上，，在上，，，即，则有或，故或，即不等式的解集为，故B正确.故选：B.【变式4-1】（2024·江苏南通·高三统考期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】方法一：∵，∴,设则在上单调递减，所以，，即，故C正确．方法二：设又，C正确．故选：C【变式4-2】（2023·河南·高三实验中学校考阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是.【答案】【解析】令且，则，又当时，，所以当时，，所以在上递增，由为偶函数，则，故为奇函数，所以在上递增，且，作出函数g(x)的示意图：又等价于，等价于或，等价于或，所以或，故.【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，，当时，（是的导函数），则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，由得．当时，设，则．∵当时，，∴当时，，∴在上单调递增．∵是偶函数，∴，∴是奇函数，∴在上单调递增．∵，∴，作出的大致图象如图所示．由，得或，数形结合可知不等式的解集为．综上，不等式的解集为，故选：A．【题型5构造函数】满分技巧对于不等式，构造特别的：，构造【例5】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）已知定义在上的可导函数满足：，，则的解集为.【答案】【解析】记，则，因为，所以，在R上单调递增，又，所以，所以，所以，不等式的解集为.【变式5-1】（2023·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且有，则的解集为.【答案】【解析】设，则，，，在R上单调递增.又，则.∵等价于，即，∴，即所求不等式的解集为.【变式5-2】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为【答案】【解析】构造，所以，所以在上单调递增，且，不等式可化为，即，所以，所以原不等式的解集为.【变式5-3】（2024·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，，，在上单调递减，又，，不等式可化为，，故选：B.【题型6构造函数】满分技巧对于不等式，构造特别的：构造【例6】（2024·江苏扬州·高三统考期末）已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，可得，令，结合，则，所以在R上递减，故，则原不等式解集为，故选：A【变式6-1】（20244·江西宜春·高三宜丰中学校考阶段练习）已知定义在R上的连续可导函数及其导函数满足恒成立，且时，则下列式子不一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，因为，又，所以，即在R上为增函数，选项A：因为，即，化简得，故A成立；选项B：因为，即，化简得，故B成立；选项C：因为，即，化简得，故C成立；选项D：因为，即，化简得，而故D不一定成立；故选：D.【变式6-2】（2022·江西抚州·高三临川一中校考期中）已知定义在上的函数导函数为，若且当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令则由得，所以为奇函数，又，所以当时，单调递增，所以在上单调递增，又，所以，所以，解得，故选：A【变式6-3】（2022·广东广州·高三广州大学附属中学校考阶段练习）设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，则，因为，所以，所以函数在上为增函数，不等式即不等式，又，，所以不等式即为，即，解得，所以不等式的解集为，故选：C.【变式6-4】（2023·全国·高三课时练习）已知函数在R上的导函数为，若恒成立，且，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】构造新函数，因为恒成立，所以，因此函数单调递增，，由，故选：B【题型7构造与型函数】满分技巧对于不等式，，构【例7】（2024·云南楚雄·民族中学校考一模）已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得．令，则，所以在上单调递增，又，为奇函数，所以，，则．故选：B.【变式7-1】（2023·江西宜春·高三统考开学考试）已知函数是上的奇函数，对任意的均有成立.若，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，设，则，在上单调递增.又为奇函数，..故选：B.【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）函数的导函数为，对任意的，都有成立，则（）A．B．C．D．与大小关系不确定【答案】B【解析】构造函数，则，故函数是上的增函数，∴，即，则．故选：B【变式7-3】（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数的图象关于点对称，若对任意的有（是函数的导函数）成立，且，则关于x的不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数的图象关于点对称，所以函数是奇函数，因为，所以．令，则在R上单调递增．又，，所以，．因为，所以，即，所以，所以．故选：C．【题型8构造与型函数】满分技巧对于不等式，构造【例8】（2022·云南楚雄·高三校考期末）已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令函数，则，在上单调递增.又，所以，，即，的大小不确定，故选:A.【变式8-1】（2023·江苏扬州·高三扬州中学校考开学考试）若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，，则，当时，，故在上单调递减，则当时，，因为可导函数是定义在R上的奇函数，故，当时，所以，解得，又，故不等式的解集为.故选：B【变式8-2】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令函数，则，即当时，函数单调递减，因为，所以当时，，当时，.因为当时，，当时，，所以当时，.又，，所以当时，；又为奇函数，所以当时，，所以不等式可化为或，解得，所以不等式的解集为，故选：D.【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的导数为，且满足，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，，，故函数在递增，故，故，故选：B.【变式8-4】（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知可推得，.令，则，所以，所以，为偶函数.又，因为当时，，所以，，所以在上单调递增.又为偶函数，所以在上单调递减.由可得，.因为，所以，.因为在上单调递减，为偶函数，所以有，平方整理可得，，解得.故选：C.【题型9构造与三角型函数】满分技巧对于不等式，构造对于不等式，构造对于不等式，即，构造对于不等式，构造【例9】（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）设是函数的导函数，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，设在单调递增，，所以A错误；，所以，所以B正确；，所以C错误；，，所以D错误.故选：B【变式9-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令函数，，求导得，因此函数在上单调递减，不等式，即，解得，所以原不等式的解集为.故选：B【变式9-2】（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得函数为偶函数，构造函数，所以，易知当时，，所以函数在上单调递减．因为，则，由，则，且，因为函数在上单调递减，且，所以，即，故选：C．【变式9-3】（2023·青海海东·统考模拟预测）已知是奇函数的导函数，且当时，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，则由，得；当时，，则由，得．令，则，故g（x）在上单调递增，在上单调递减．又f（x）是奇函数，所以是偶函数，故，即，，即．与和的大小关系不确定．故选：A．【变式9-4】（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，因为，则，且，可知，且仅当时，则在上单调递增，又因为为偶函数，，可得令，可得，注意到，不等式，等价于，可得，解得，所以不等式的解集为，故选：D.【题型10其他综合型函数构造】【例10】（2024·四川·高三校联考期末）若函数，的导函数都存在，恒成立，且，则必有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，设函数，则，所以单调递增，所以，即，因为，所以，即.故选：D.【变式10-1】（2023·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，满足，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，因为是定义在上的奇函数，所以，则，所以函数是上的奇函数，当时，，即，则，所以函数在上单调递增，又因为函数是上的奇函数，所以函数在上是增函数，则不等式，等价于，所以，解得，所以不等式的解集为，故选：C.【变式10-2】（2023·陕西安康·高三校联考阶段练习）定义在R上的连续函数满足为偶函数，当时，，其中是的导数.若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】记，则,由题意，知当时，，即，则在上单调递增，所以,因为是偶函数，所以是奇函数，所以在R上单调递增,又，即，所以，即对任意恒成立.令，则，由，得；当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，所以，所以，即实数a的取值范围为，故选：D.【变式10-3】（2023·湖南·高三南县第一中学校联考阶段练习）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，即，在上单调递减，又，∴不等式,即原不等式的解集为，故选:B．【变式10-4】（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，，不等式恒成立，可知，设，，则，，且，于是在上单调递增，注意到，不等式，等价于，即，得，解出，故选：A．（建议用时：60分钟）1．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则恒成立，故函数在上单调递增.，则，即，故.，即，即，故，解得.故选：D2．（2023·河北保定·高三唐县第一中学校考阶段练习）若定义在上的可导函数满足，，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以构造函数，所以，则在上单调递减，又，所以，即，故A错误；，即，故B正确；，即，故C错误；，即，故D错误.故选：.3．（2024·湖北·高二期末）函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，，则导函数，函数在区间上，满足，则有，所以，即函数在区间上为增函数，，所以，则有，解得，即此不等式的解集为.故选：D4．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知是函数的导函数，且对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，①则，，，即，，②由①②知，，，又，，即，，不等式，即不等式的解集为，故选：C．5．（2023·四川内江·高三期末）已知是函数的导函数，，其中是自然对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，令函数，，求导得，则函数在R上单调递增，，而，则，因此有，解得，所以原不等式的解集为，故选：C6．（2023·吉林长春·高三长春市第十七中学校考开学考试）已知偶函数满足对恒成立，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为为偶函数，则，令，则，所以为偶函数，又，则当时，所以在上单调递增，则，所以，即，故A正确；，即，则，即，故B错误；，即，则，即，故C错误；，即，则，即，故D错误；故选：A7．（2023·福建莆田·高三校考开学考试）已知函数对于任意的x∈满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，则在上单调递增，对于A，，化简得，故A错误；对于B，，化简得，故B错误；对于C，，化简得，故C正确；对于D，，化简得，故D错误.故选：C.8．（2023·安徽合肥·高三校考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，则，所以在上单调递减.又因为偶函数，所以，所以.又，所以不等式等价于，根据函数的单调性可知，解得，所以不等式的解集为.故选：A.9．（2023·四川内江·高三期末）记定义在上的可导函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，因为，所以，所以，所以在上单调递增，因为，所以，不等式等价于，即，因为在上单调递增，所以，即不等式的解集为.故选：D10．（2023·辽宁大连·高三大连市第二十高级中学校考开学考试）已知是可导函数，且对于恒成立，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】设，则，由已知得，所以是上的减函数，∴，即，即，，故选：D．11．（2023·全国·高三专题练习）函数的导函数，对任意，，则（）A．B．C．D．与的大小不确定【答案】C【解析】∵，∴，∴，令，则，∴在上单调递增，∴，即，∴，故选：C.12．（2023·广东广州·统考三模）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，由题设条件，得，故函数在上单调递减.由为奇函数，得，得，所以，不等式等价于，即，又函数在上单调递减，所以，故不等式的解集是．故选：D．13．（2023·全国·高三对口高考）已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数a、b，若，则必有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由.若不是常函数，则在上单调递减，又，则；若为常函数，则.综上，，故选：A14．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数的定义域为为函数的导函数，当时，，且，则下列说法一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】