新高考数学二轮复习解答题培优练习专题01 利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练) 解析版

专题01利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：在型求切线方程 2题型二：过型求切线方程 4题型三：已知切线斜率求参数 6题型四：确定过一点可以做切线条数 8题型五：已知切线条数求参数 9题型六：距离问题转化为相切问题 13题型七：公切线问题 14三、专项训练 18一、必备秘籍1、切线的斜率：函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的导数的几何意义，就是曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的斜率SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.2、曲线的切线问题（基础题）（1）在型求切线方程已知：函数SKIPIF1<0的解析式.计算：函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标SKIPIF1<0（方法：把SKIPIF1<0代入原函数SKIPIF1<0中），切点SKIPIF1<0.第二步：计算切线斜率SKIPIF1<0.第三步：计算切线方程.切线过切点SKIPIF1<0，切线斜率SKIPIF1<0。根据直线的点斜式方程得到切线方程：SKIPIF1<0.（2）过型求切线方程已知：函数SKIPIF1<0的解析式.计算：过点SKIPIF1<0（无论该点是否在SKIPIF1<0上）的切线方程.步骤：第一步：设切点SKIPIF1<0第二步：计算切线斜率SKIPIF1<0；计算切线斜率SKIPIF1<0；第三步：令：SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0求斜率第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：SKIPIF1<0.3、已知SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0，可作曲线的SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）条切线问题第一步：设切点SKIPIF1<0第二步：计算切线斜率SKIPIF1<0；第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：SKIPIF1<0.第四步：将SKIPIF1<0代入切线方程，得：SKIPIF1<0，整理成关于SKIPIF1<0得分方程；第五步：题意已知能作几条切线，关于SKIPIF1<0的方程就有几个实数解；4、已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）条公切线问题第一步设SKIPIF1<0的切点SKIPIF1<0设SKIPIF1<0的切点SKIPIF1<0求公切线的斜率SKIPIF1<0SKIPIF1<0写出并整理切线SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0联立已知条件SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得到关于SKIPIF1<0的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；消去SKIPIF1<0得到关于SKIPIF1<0的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；二、典型题型题型一：在型求切线方程1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）已知曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0垂直，则实数SKIPIF1<0.【答案】-2【详解】因为SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，因为曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0垂直，所以SKIPIF1<0不符合题意，所以直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.2．（2023上·山东德州·高三统考期中）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为．（结果写成一般式）【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.3．（2023上·上海闵行·高三校考期中）曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为．【答案】SKIPIF1<0【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴切线斜率为SKIPIF1<0，∴切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.4．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）在SKIPIF1<0处的切线为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0过定点的坐标为.【答案】SKIPIF1<0【详解】根据题意：函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有切线，SKIPIF1<0切点为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故切线斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0该直线过定点的坐标为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<05．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与曲线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又切线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，设切点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以切线斜率为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为；SKIPIF1<0.题型二：过型求切线方程1．（2022·四川广安·广安二中校考二模）函数SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0的切线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题设SKIPIF1<0，若切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，又切线过SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，切线为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，切线为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.故选：C2．（2022下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0过坐标原点的切线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则切线斜率为SKIPIF1<0，所以，所求切线方程为SKIPIF1<0，将原点坐标代入所求切线方程可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，所求切线方程为SKIPIF1<0.故选：C.3．（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线SKIPIF1<0相切的一条切线的方程为.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(写出其中一条即可)【详解】解：设曲线SKIPIF1<0表示抛物线的一部分，设其切线方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，均符合题意，所以切线方程SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0的切线的切点为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得切线方程为SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0的坐标代入切线方程，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(写出其中一条即可)4．（2023下·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处切线的斜率为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的切线方程.【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0是切点时，切线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0不是切点时，设切点坐标为SKIPIF1<0，则在点SKIPIF1<0处的切线方程为：SKIPIF1<0，代入点SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0切点为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0重合，不合题意；综上所述：切线方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.5．（2023下·四川绵阳·高二期末）过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的切线，则切线方程为．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为点SKIPIF1<0不在曲线上，设切点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①又SKIPIF1<0，则切线斜率为SKIPIF1<0，②由①②解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，切线的斜率为SKIPIF1<0，切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型三：已知切线斜率求参数1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，则实数a的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设直线l与曲线SKIPIF1<0的切点SKIPIF1<0，则直线l的斜率SKIPIF1<0，由于直线SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即切点为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：A.2．（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）已知直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故斜率为SKIPIF1<0，则切线方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B3．（2023上·辽宁·高三校考阶段练习）函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0）在点SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，“SKIPIF1<0”成立，∴SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：C．4．（2023上·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0．故选：A5．（2023上·天津·高三统考期中）已知函数SKIPIF1<0，若曲线SKIPIF1<0的一条切线的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】3【详解】设切点坐标为SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由切线方程为SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即切点坐标为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入切线方程可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：3题型四：确定过一点可以做切线条数1．（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的奇函数，过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的切线，可作切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．不确定【答案】A【详解】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故切线方程为SKIPIF1<0，故选：A2．（2021下·北京·高二校考期中）已知函数SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0的切线有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】C【详解】设切点为ASKIPIF1<0，直线AP的斜率为k,则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴

SKIPIF1<0又方程SKIPIF1<0的判别式为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴

方程SKIPIF1<0有两个不同的解，∴

曲线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0的切线有两条，故选：C.3．（2021下·湖南·高二校联考阶段练习）经过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时，切点为SKIPIF1<0；或SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0有两个不同的根，且根不为0，所以方程SKIPIF1<0共有3个不同的根，即经过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的切线有3条.故选：C.4．（2019上·四川内江·高三统考阶段练习）已知曲线SKIPIF1<0，则过点SKIPIF1<0可向SKIPIF1<0引切线，其切线条数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设在曲线SKIPIF1<0上的切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0的坐标代入切线方程得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因此，过点SKIPIF1<0可向SKIPIF1<0引切线，有三条.故选：C.题型五：已知切线条数求参数1．（2023·湖南·校联考二模）若经过点SKIPIF1<0可以且仅可以作曲线SKIPIF1<0的一条切线，则下列选项正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【详解】设切点SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，又因为切线经过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有且仅有1个交点，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0单调递增，显然SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，于是符合题意；当SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．综上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选：D2．（2023下·陕西汉中·高二校联考期中）过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0切线有且只有两条，则b的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设切点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以过SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0有且仅有两根，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0单调递减，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图象如下：故SKIPIF1<0有且仅有两根，则b的取值范围为SKIPIF1<0．故选：A．3．（2023·全国·校联考二模）若曲线SKIPIF1<0有三条过点SKIPIF1<0的切线，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设该切线的切点为SKIPIF1<0，则切线的斜率为SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，又切线过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.要使过点SKIPIF1<0的切线有3条，需方程SKIPIF1<0有3个不同的解，即函数SKIPIF1<0图象与直线SKIPIF1<0在R上有3个交点，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递减，且极小值、极大值分别为SKIPIF1<0，如图，由图可知，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0图象与直线SKIPIF1<0在R上有3个交点，即过点SKIPIF1<0的切线有3条.所以实数a的取值范围为SKIPIF1<0.故选：B.4．（2022上·山西运城·高三校考阶段练习）若过点SKIPIF1<0可以作曲线SKIPIF1<0的两条切线，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入直线SKIPIF1<0可得关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0具有两个不相等的正数解，构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；故为了使方程SKIPIF1<0有两个不相等的正数解，则须使SKIPIF1<0.故选：B.5．（2022上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若过点SKIPIF1<0能作三条直线与SKIPIF1<0的图像相切，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由已知：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0根据导数的几何意义，知切线斜率为SKIPIF1<0，切线方程为SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0点坐标代入切线方程可得SKIPIF1<0化简可得SKIPIF1<0即函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0有三个不同的交点.故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减.则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有极小值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有极大值SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D.题型六：距离问题转化为相切问题1．（2022上·四川成都·高三校联考阶段练习）曲线SKIPIF1<0上的点到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【详解】设与已知直线平行且与曲线相切的直线为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以切点为SKIPIF1<0，代入切线方程，可得SKIPIF1<0，即切线为SKIPIF1<0，由两平行线间的距离SKIPIF1<0，所以最小值为SKIPIF1<0，故选：C．2．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图像如下图：

则SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的距离的平方，显然，当过M点的SKIPIF1<0的切线与SKIPIF1<0平行时，SKIPIF1<0最小，设SKIPIF1<0上与SKIPIF1<0平行的切线的切点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以切点为SKIPIF1<0，切点到SKIPIF1<0的距离的平方为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为8；故选：A.3．（2023下·广西河池·高二校联考期中）若点P是曲线SKIPIF1<0上任意一点，则点P到直线SKIPIF1<0的最小距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0点SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上的任意一点，设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<01或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，∴曲线上与直线SKIPIF1<0平行的切线的切点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的最小距离SKIPIF1<0.故选：A.题型七：公切线问题1．（2023上·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有公切线，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设公切线与函数SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以公切线的斜率为SKIPIF1<0，所以公切线方程为SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，设公切线与函数SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则公切线的斜率为SKIPIF1<0，所以公切线方程为SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，所以SKIPIF1<0，所以由题意得SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：A2．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的一条公切线方程.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（写出一个即可）【详解】设公切线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，与曲线SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时切线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时切线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.综上可知，切线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，写出任意一个即可.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，写出任意一个即可.3．（湖北省武汉市部分学校2023-2024学年高三上学期11月调研考试数学试题）写出曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的一条公切线方程：.【答案】SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）（答案不唯一）【详解】设公切线与曲线SKIPIF1<0相切的切点为SKIPIF1<0，与曲线SKIPIF1<0相切的切点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，公切线方程为SKIPIF1<0，显然该切线过点SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，公切线方程为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，公切线方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<04．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0存在公切线，则正实数a的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【详解】由题可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设与曲线SKIPIF1<0相切的切点为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0相切的切点为SKIPIF1<0，则有公共切线斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0处SKIPIF1<0取得极大值，且为最大值SKIPIF1<0，则正实数a的取值范围SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<05．（2023上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的极值；(2)若曲线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0存在2条公切线，求a的取值范围.【答案】(1)极大值为SKIPIF1<0，无极小值；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0取得极大值SKIPIF1<0，无极小值.（2）设曲线SKIPIF1<0上切点SKIPIF1<0，则切线斜率为SKIPIF1<0，方程为SKIPIF1<0，依题意，切线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，于是方程SKIPIF1<0有两个相等的正实根，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，由公切线有两条，得关于SKIPIF1<0的方程:SKIPIF1<0有两个不同的实数解，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有两个交点，由SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，因此SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的图象如图，观察图象知，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个交点，所以a的取值范围是SKIPIF1<0.三、专项训练1．（2024上·广东广州·高三统考阶段练习）已知曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．-2 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意知SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的斜率为SKIPIF1<0.又因为曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处切线的倾斜角为SKIPIF1<0，所以切线的斜率为1.故而SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B2．（2024上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）函数SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴所求的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D3．（2023下·高二课时练习）若曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0不存在【答案】A【详解】由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，即SKIPIF1<0故选：A4．（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）若直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的一条切线，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0ln2 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切的切点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0递增，因此当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：B5．（2023·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0可作曲线SKIPIF1<0的切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解法一

由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．设切点坐标为SKIPIF1<0，则切线方程为SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条．解法二

由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0的下方，数形结合可知，过点SKIPIF1<0可作曲线SKIPIF1<0的2条切线．故选：B6．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】由题意知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0