大学自主招生数学讲义（上）

大学自主招生数学讲义（上）

第一讲函数的性质.............................................3

一、知识要点........................................................................3

二、热身练习........................................................................6

三、真题讲解........................................................................7

四、强化训练........................................................................9

第二讲导数...................................................14

一、知识方法拓展...................................................................14

二、热身练习.......................................................................16

三、真题精讲.......................................................................17

四、重点总结.......................................................................19

五、强化训练.......................................................................19

第三讲微积分初步............................................30

一、知识方法拓展...................................................................30

二、热身练习.......................................................................32

三、真题讲解.......................................................................34

四、重点总结.......................................................................37

五、强化训练.......................................................................37

六、参考答案.......................................................................41

第四讲方程与根..............................................44

一、知识方法拓展...................................................................44

二、热身训练.......................................................................46

三、真题精讲.......................................................................48

四、重点总结.......................................................................50

五、强化训练.......................................................................50

第五讲基本不等式及其应用...................................56

一、知识方法拓展...................................................................56

二、热身练习:..........................................................................................................................................57

三、精讲名题：.....................................................................58

四、强化训练.......................................................................60

第六讲不等式的证明与应用...................................64

一、知识方法拓展...................................................................64

二、热身练习：.....................................................................65

三、精解名题：.....................................................................66

四、强化训练.......................................................................69

第七讲递推数列..............................................71

1

一、知识方法拓展..................................................................71

二、热身练习.......................................................................73

三、真题精讲.......................................................................74

四、重点总结.......................................................................77

五、强化训练.......................................................................78

第八讲数列求和，极限和数学归纳法............................82

一、知识方法拓展...................................................................82

二、热身练习.......................................................................83

三、真题精讲.......................................................................84

四、重点总结.......................................................................88

五、强化训练.......................................................................89

2

第一讲函数的性质

一、知识要点

1、映射

对于任意两个集合A,B,依对应法则f,若对A中的任意一个元素X,在B中都有唯一

一个元素与之对应，则称f：AB为一个映射，记作f:AB,其中b称为像，a称为原

像。

如果f：AB是一个映射且对任意x,yA,xy,都有fxfy，则

f：AB是A到B上称之为单射.

如果f:AB是映射且对任意yB,都有一个xA使得fxy,则称

f：AB是A到B上的满射.

如果f：AB既是单射又是满射，则f:AB是A到B上叫做一一映射.

如果f：AB是从集合A到集合B上的一一映射，并且对于B中每一个元素b，使b

在A中的原像a和它对应，这样所得的映射叫做f：AB的逆映射，记作fi：BA.

2、函数方程问题

（1）代换法（或换元法）

把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发

生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数

、11

例.设ab0,ab,求一X-,xt带

22入）

afxbfex的解.（【解析】t

分利用

x

（2）待定系数法

当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.

例.已知fXfX是一次函数，且fXX

10231fXnffXn1101024

求fX.（【解析】设fxaxba0求解）

3、函数对称性以及周期性

1）已知函数yfx,若函数ygx图像与yx图像关于：

3

直线Xa对称，则gX2ax

直线yb对称，则gx2bfx

点a,b对称，则gx2bf2ax。

2）已知函数yfx图像关于：

直线xa对称，则fxf2ax

点a,b对称，则fx2bf2ax,即fxf2ax

2b°

3）常用：若函数ygx图像与yx图像关于：

y轴对称，则gxX

x轴对称，则gxfx

原点对称，则gxx。

1~a-b

4）若fxafbx则yfx对

x图像关于直线称；

-2~一

ab对称；

c

若fxafbxc,则y-fx图像

关于点，

22

<r.ba

若yf―x-a与yf-b-------x-------对

x关于直线称丁

2

5）若fxTfx,则函数yfx是以T为周期的函数。

6）若fxafx，则fx2aFxafx

fx，即T2a;

111,即T

fxa，贝ijfx2a2a;

fx

若

fx

fxa

1

fx

111,即T

fxafx2a2a。

fx

若，则

fx

fxa

1

fx

7）若fX关于直线Xa和Xbab咻，则fx为以2ba为周期的周期

函数；

若fx关于点a,0和xbab对称,则fx为以4ba为周期的周期函数：

4

若fx关于点ay和byab对称,则fx为以2ba为周期的周期函

数。

J9

00

4、抽象函数问题的解法

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号极其满足的条件

的函数，如给出定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等，它是高中函数

的难点，也是与高等数学函数部分的一个衔接点。

(1)函数性质法

函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性、周期性等)反映出来的，抽象函数也是

如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，才能够将抽象函数

问题化难为易。常用的方法有：①利用奇偶性整体思考；②利用单调性等价转化；③利用周

期性回归已知；④利用对称性数形结合；⑤借助特殊点列方程。

(2)特殊化方法

①在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，招X换成X或将X换成

其他字母等；

②在求函数值时，可用特殊值代入；

③研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或通过具体模型函数为

解答综合题提供思路和方法。

5、函数的迭代

一个函数的自复合，叫做迭代。我们用gX表示gX的k次迭代函数。

k

g°xx

即

gk1xggkx

p贝琳gx有迭代周期

gxxp.

如果

k不恒等于

gXXk1,2,,

P1

迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。一般来说，若ygx的图像关于直线yx

对称，则一定有ggxx.它的迭代周期就是2.下面是几个常见函数的迭代周期。

2x

g7，迭代周期是3；

X

x1

1

X'迭代周期是4；

g

Xx1

6、凹凸函数

设f为定义在区间I上的函数，若对I上任意两点X、X和实数

0,1，总有

fXXfXfX则称f为I上的凸函数：有

时也称下凸函

112112,

fX11x2fXi1fX2,则

称则称f为I数）。驻如舄国有格式

上的凹函数（有时也称上凸函数）。

S

1XXfXfx（凸函）或

特别地，

一时，

有

2

12

2

22

XXfx（凹函数）。

fX

2

12

22

如何判断一个函数是凸函数（凹函数）？除了定义以外，还有下面的定理：

设f为I上二阶可导函数，则f为I上的凸（凹）函数的充要条件是fx0

fx0.

凸函数更一般的情形是下面的琴生不等式：若f为a,b上的凸函数，则对任意

n

xabin,且贝ij

《，，012,

i1

nn

fXfX

二、热身练习

91

。。复旦）若要求关于的函数的定义域是

I'09X|g|og2axbX，则a、

b的取

0.5

值范围是（）

ABa0Cb24aoDab0

21212

【解析】选A.由

ax

lglog2axbx002bx1axbx10对

0.5

a0这样的a,b不存在。

x,恒成立

b4a0

2

2、。010复旦）某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，

变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中正确

的是（）

Ay是x的函数Bz是y的函数Cw是z的函数Dw是x的函数

【解析】按照函数的定义，由于班上可能会有相同的姓名，故A不E确。而任意一个学生

的学号是唯一的，也对应了一个唯一的身高，故选项B正确；同理，C,D均不正确。

3、Q007复旦）设fX是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。已知当

x2,3时,fxx,则当x2,0时，fx的表达式为（）

6

A3|x1|B2|x1|C3|x1|D2|x

1|

【解析】选A可以考虑特殊值。f2f22:f1f1f

33.

ff。符合条件的只有选项A了。

022

4、（2006复旦）设有三个函数，第一个是yfX.它的反函球是第二个函数，而第三

个函数的图像与第二个函数的图像关于直线xy。对称，则第三个函数是（）

AyfxByfxCyf1x

Dyf1x

【解析】选B。第二个函数是yf1x,第三个函数为xf1y,即yfx

三、真题讲解

1、0005交大）函数yax8x的最大值为9,最小值为1,求实数a、

bb.

2

X1

2

【解析】yx2yax28xb,即280

ayxxby

显然，这个关于x的方程必有实数根，从而有644ayby0

-根据题意，

2160o1y9y910

yabyab

O---

ab,所以解得ab

C105.

r10y90,故

o-

9

X下列不等式中成立的是

、复旦)设(

2Q006）

X1,X20.12,

2

1XX

112

tanxtanxtan

12

22

1X

x

2tanxtanxtan12

12

22

1X

x

3sinxsinxsin12•

12

22

1X

x

4sinxsinxsin12•

12

22

AB®@CD②④

7

的

【解析】选B这是一道和凸函数有关的问题，分别画出ytanx,ysinx,

x0,

2

草图。由图像可知ytanx是下凸函数，ysinx是上凸函数，故选B

1

3、2009清华）ab1.

♦nn2

a0,b0,ab1,nN,求证：22n1

【解析】本题考查的是前文中证明函数是凸函数的充要条件。首先构造函数yX2n,nN・

先证明它是凸函数。事实上y2nxn,y2n2n1xn0,故yx2n,nN*

是

2122

2n2n2n,证毕！

上的凸函数abaI

从而

ab

?n2n

2222

2n1

2x1

4、Q007交大）已知函数［对于n1,2,，定义fx

z\I

X

fX1.

1若

n

f35Xf5X，则

fX

28

解析】本题考查迭代周期问题。计算得

X1

x1

ffX2f1

Xx'2x1x1X

2X3

X4

1X

fxfXX故fx以6为周期.注：条件

fXfX可以不

用。5'6'35-5

2x

5、Q007北大）fXX253x196|X253x1961,求f12

f50.

fxX253x196|X253x196|x4x49

x4x49|,［解析］

50

故f4f5f48f490所以

f1f2f3

f502881889292660.

ab

6、Q002交大）函数fX|lgx|,有0ab且2

fafb

2

1求a,b满足的关系；

2证明：存在这样的b,使3b4.

ab所以ab

1.

【解析】1因为fx|lgx|,有0ab且

2,

fafb

2

8

且a0,1,b1,

111

bb2-

2+

bbb

2

Igbig（因为

b

24

1

故4bb22，即b1b3bb10

b44b32b210,32

b

令gxx33x2x1,而g30,g40,故gx。在3,4之间必有

一解，所以

存在b,是的3b4.

四、强化训练

--（A组）

1、Q004复旦）若存在M,使对任意XD（D为函数fx的定义域），部有

111上是否有界？

Ifx|M,则称函数fx有界。问函数sin

_在x0,

fXX

x

2

111

【解析】令t,则t

Xnsint

sint.

xx

若令2

tkkZ且k1,则当k时，sintsin2k1.t

22

111上无界.注:本题中的t有无穷买包值方式，如令

故sin

在x0,

xXX

2

2k,2k,事实上，只要使sint0均可。

35

2、Q007复旦）若al,b1且lgabIgaIgb,则lga1lgb1

AIg2B1C不是与a,b无关的常数D0

【解析】选D.由abab,得a1b1abb11.故Iga

1igb1

Igl0

x2002

3、Q005复旦）定义在R上的函数fXx1满足

fx2f

4015x

x1

则f2004

9

【解析】2005.令x222f20044013,令x2004f20042f

2

f22f2004f2004

4013,2005.

2011.

f20042f2

2011

4、设fx|X11lx2||x2013||x1||x2||x

2013|xR

f323a2a1,则a的值有

)且

A1个B2个C3个D无数个

【解析】因为fxX.故fX为偶函数.在1x1时，有

X|X1||x1||X2||x2||x2013||x

2013|

2a23a21且1a11

时，

A-5

2V

a3a2fa1a2.故选D!

恒有

2

5、Q000交大）求函数312312

XXXXXxR的反函数

【解析】由312312

XXXXX得

22

2

y32x33X1xx1X233x

1x2X1X2

32322x

3y

2x3x1XX1x

3yx3x

3

Xx

22

x4x17x26x在区间1,1上的值

6、（模拟题）求函数

106域.

fX432

x2x7

2

64

fXX1215,15

【解析】

2

,值域为

x2x7

2

3

7、（模拟题）已知fx是定义在R上的函数，且fx21fx1fx

（1）试证明fX是周期函数.

10

⑵若f1V23,试求f2013

1x

【解析】（1）又条件可知f11,故

iX

fX2.用x2换上式的X,得

1―

1

1x21x1

fx4

121x

XX

1

1

X

1

8

X

fxX,即X是以8为周期的周期函

数。所以

4

1

f2013f82515f514

32.⑵

1

8、（横诵1010241023

xfx是一次函XX

且fXX

求fx

【解析】设LXaxba—0则有

f2xxaaxbbxba1

2

xxaaxbabaxbaa

11

22

ba

1

10

依此类推有:

fXaxbaaa1axa=1

109810

10

时不成立

1a

10b1a

10

由题设可得：a1024且二1023,故解得a2,b1或a2,b3.

1a

所以fx2x1或fx2x3.

11

9、（模拟题）已知实数X满足

25,求

X3

X2x

2

【解析】记tX21

则

X

2

22

111

20xx1X23

322

2

XXX

1

t33t2200t2t25t

10o,t2,故23.

xx

2

11

10、2001交大）已知函数fxx22x2,xt,t1的最小值是gt,试着写出gt

的解析表达式。

2

fXX11淇对称轴为X

1•【解析】

当t1时,X在t,t1上单调递增，从而222

gtft

当t11即t2时，fx在t,t1上单调递减，从而

gtft1t4t5

2

当2t1时，gt11

t2tt

22.1,

gtt

故

1,2,

1

t4t5,t,2

（B组）

1、（2008交大）已知函数fxax2bxca0,且fxx没有实数根.那

么

ffXX是否有实数根？并证明你的结论.

【解析】法一：利用fXx0,得到0,故没有实数根（本方法计算量过大）

法二：若a0,则fxx,对一切xR恒成立.

故有ffxXX;

同理a0时则fxx,对一切xR恒成立.

故有ffxfxx;所以fXX没有实数根

fxax22bx4c

a,b,cR,a0.2、（模拟题）已知函数

(1)函数fx的图像与直线yx均无公共点，求证:4b216ac1

⑵若a0且ab1,又|x|2时，恒有|fx2,求fx的解析式.

【解析】(D函数fx与直线yx无公共点，ax22bx4cx无实数解.

2

故2b116ac0,即4b24b116ac0.

同理函数fx与直线yx无公共点，即有4b24b116ac0.

12

两式相加得8b2232ac0,即4b216ac1.

(2)ab1,又|x|2时，恒有|fx2

故有2fo4c4a4b4c4abf24242

故4c2.C-