小学六年级数学培优专题训练

第1讲数的认识

一'夯实基础

1.数的意义

（4）百分数

百分数后面不带计量单位。

二'典型例题

数的认识课堂过关卷

一、细心填空

1.用3个0和3个6组成一个六位数，只读一个零的最大六位数是

（）;读两个零的六位数是（）；一个零也不读的最小六

位数是（）.

2.一个三位小数，四舍五入后得4.80,这个三位小数最大是（）,最小是（）o

3.若被减数、减数与差这三个数的和为36,那么被减数为（）。

314

4.把0.35,—,—,34%,—从大到小排序（）。

8311

5.某班男生人数是女生的2士，女生人数占全班人数的（）%

3

6.甲数比乙数多25%,则乙数比甲数少（）%。

7.一个分数的分子比分母少20,约分后是32,这个分数是（）»

7

21

8.写出三个比三小，而比上大的最简分数是（）、（）、（）.

33

9.m+—中有（）个，。

99

10.有一个最简真分数，分子和分母的积是36,这个分数最大是（）。

2,、/、

11.A+B=60,A+B=-,A=（）,B=（）。

3

12.（）+（（填两个分母小于12的分数）厂与+六=1（填两个不同的整

数）。

21

13.一个最简分数，若分子加上1,可以约简为一，若分子减去一，可化简成一，

32

这个分数是（

14.修一段600米长的路，甲队单独修8天完成，乙队单独修10天完成。两队合修

9

（）天完成它的—。

10

15.一种商品，先提价20%,又降价20%后售价为96元，原价为（）元。

16.甲、乙两个数的差是35.4,甲、乙两个数的比是5：2,这两个数的和是（）。

17.有甲、乙、丙三种，甲种盐水含盐量为4%,乙种盐水含盐量为5%,丙种盐水

含盐量为6%。现在要用这三种盐水中的一种来加水稀释，得到含盐量为2%的盐水

60千克。如果这项工作由你来做，你打算用（）种盐水，取（）千克，

加水（）千克。

18.[x]表示取数x的整数部分，比如[13.58]=13。若x=8.34,则[x]+[2x]+[3x]=

（）o

二、选择

1.最大的小数单位与最小的质数相差（）。

A.1.1B.1.9C.0.9D.0.1

2.3.999保留两位小数是（）。

A.3.99B,4.0C.4.00D.3.90

3.下列四个数中，最大的是（）o

•2008

A.101%B.0.9C.-----D.1

2009

4.平均每小时有36至45人乘坐游览车，那么3小时中有人乘坐游览车。

A.少于100B.100与150之间C.150与200之间D.200与250之间

5.小明所在班级的数学平均成绩是98分，小强所在班级的数学平均成绩是96分，

小明考试得分比小强的得分（）。

A.高B.低C.一样高D.无法确定

6.一次数学考试，5名同学的分数从小到大排列是74分、82分、a分、88分、92

分，他们的平均分可能是（）。

A.75B.84C.86D.93

3

1.一的分子加上6,如果要使这个分数的大小不变，分母应该（）

10

A.加上20B.加上6C.扩大2倍D.增加3倍

8.书店以50元卖出两套不同的书，一套赚10%,一套亏本10%,书店是（）

A.亏本B.赚钱C.不亏也不赚

9.把1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是（）。

A.1：99B.1：100C.1：101D.100：101

10.甲、乙两个仓库所存煤的数量相同，如果把甲仓煤的调入乙仓,，这时甲仓中

4

的煤的数量比乙仓少（）o

A.50%B.40%C.25%

三、星级挑战

★I.财会室会计结账时，发现财面多出32.13元钱，后来发现是把一笔钱的小数点

点错了一位，原来这笔钱是多少元？

★★2.暑假期间，明明和亮亮去敬老院照顾老人。7月13日他们都去了敬老院，

并约好明明每两天去一次，亮亮每3天去一次。

(1)7月份，他们最后一次同去敬老院的日子是()。

(2)从7月13日到8月31日，他们一起去敬老院的情况有()次。

第2讲数的整除

一'夯实基础

整数a除以整数b(bWO),除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被

b整除，也可以说b能整除a。如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b

就叫做a的因数。

能被2整除的数叫偶数。也就是个位上是0、2、4、6、8的数是偶数。不能被

2整除的数叫奇数。也就是个位上是1,3,5,7,9的数是奇数。

一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本

身，还有别的因数，这个数叫做合数。

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因

数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。公因数只有1的

两个数或几个数，叫做互质数。

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做最大公因

数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这个数的最

小公倍数。

二、典型例题

例3.同学们在操场上列队做体操，要求每行站的人数相等，当他们站成10行、15

行、18行、24行时，都能刚好站成一个长方形队伍，操场上同学最少是多少人？

分析：题目要求的是“最少”为多少人，可知操场上的同学数量正好是10、15、

18、和24的最小公倍数。

解：

210151824

3515912

55534

1134

10、15、18和24的最小公倍数是:2x3x5xlxlx3x4=360

答：操场上的同学最少是360人。

数的整除课堂过关卷

一、填空

1.在1至20的自然数中，（）既是偶数又是质数；（）既是奇数又是合数。

2.一个数，如果用2、3、5去除，正好都能整除，这个数最小是（）,用一个

数去除30、40、60正好都能整除，这个数最大是（）。

3.8（）5（）同时是2,3,5的倍数，则这个四位数为（）。

4.一个五位数7口354,如果这个数能同时被2、3、5整除，那么口代表的数字是

（）,△代表的数字是（）。

5.从0、5、8、7中选择三个数字组成一个同时能被2、3、5整除的最大三位数，

这个三位数是（）,把它分解质因数是：（）。

6.把84分解质因数：84=（）o72和54的最大公约数是（）。

7.12的约数有（），从中选出4个数组成一个比

例是（）。

8.公因数只有（）的两个数，叫做互质数，自然数a和（）一定是互质数。

9.a、b都是非零自然数，且a+b=c,c是自然数，（）是（）的因

数，a、b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

10.A、B分解质因数后分别是：A=2x3x7,B=2x5x7»A、B最大公因数是（）,

最小公倍数是（）。

11.A=2x2x3,B=2xCx5,已知A、B两数的最大公约数是6,那么C是（）,

A、B的最小公倍数是（）。

12.在括号里填上合适的质数：（）+（）=21=（）x（

13.两个质数的和是2001,这两个质数和积是（）。

14.45与某数的最大公因数是15,最小公倍数是180,某数是（）。

15.已知两个互质数的最小公倍数是153,这两个互质数是（）和（

二'解决问题

1.有两根绳子，第一根长18米，第二根长24米，要把它们剪成同样长短的跳绳，

而且不能有剩余，每根跳绳最长多少米？一共可剪成几根跳绳？

2.一块长方形木板长20分米，宽16分米。要锯成相同的正方形木板，要求正方形

木板的面积尽量大，而且原来木板没有剩余，可以锯成多少块？每块正方形木板的

面积是多少平方分米？

3.汽车站有开住甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15分钟开出一辆；到

乙地的汽车每隔27分钟开出-一辆；到丙地的汽车每隔36分钟开出一辆。三路汽车

在同一时刻发车以后，至少需要经过多少时间，才能又在同一时刻发车？

三、星级挑战

★1.有一行数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……，从第三个数开始，每个

数都是前两个数的和，在前100个数中，偶数有多少个？

★★2.有一堆苹果，如果3个3个的数，最后余2个，如果5个5个的数，最后余

4个，如果7个7个的数，最后余6个，这堆苹果最少有多少个？

第3讲简便运算(1)

一'夯实基础

所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一

些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。

简便运算中常用的技巧有“拆”与“凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一

个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千……

的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。

让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：

乘法结合律：axbxc=ax(bxc)=(axe)xb

乘法分配律：ax(b+c)=axb+axcax(b——c)=axb——axc

二'典型例题

例1.(1)9999x7778+3333x6666(2)765x64x0.5x2.5x0,125

分析(一)：通过观察发现这道题中9999是3333的3倍,因此我们可以把3333

和6666分解后重组，即3333x3x2222=9999x2222这样再利用乘法分配律进行简算。

解(一)：原式=9999x7778+3333x3x2222

=9999x7778+9999x2222

=(7778+2222)x9999

=99990000

分析(二)：我们知道0.5x2,2.5x4,0.125x8均可得到整数或整十数，从而使

问题得以简化，故可将64分解成2x4x8,再运用乘法交换律、结合律等进行计算。

解(二)：原式=765x(2x4x8)xO.5x2.5xO.125

=765x(2x0.5)x(4x2.5)x(8x0.125)

=765x1x10x1

=7650

例2.399.6x9-1998x0.8

分析：这道题我们仔细观察两个积的因数之间的关系，可以发现减数的因数

1998是被减数因数399.6的5倍，因此我们根据积不变的规律将399.6x9改写成

(399.6x5)x(9+5),即1998x1.8,这样再根据乘法分配律进行简算。

解：原式=(399.6x5)x(9+5)-1998x0.8

=1998x1.8—1998x0.8

=1998义(1.8-0.8)

=1998x1

=1998

例3.654321x123456-654322x123455

分析：这道题通过观察题中数的特点，可以看出被减数中的两个因数分别比减

数中的两个因数少1和多1,即654321比654322少1,123456比123455多1,我

们可以将被减数改写成(654321)x(123455+1),把减数改写成(654321+1)

xl23455,再利用乘法分配律进行简算。

解:原式=654321x(123455+1)一(654321+1)x123455

=654321x123455+654321—654321x123455-123455

=654321-123455

=530866

三'熟能生巧

1.(1)888x667+444x666(2)9999x1222—3333x666

2.(1)400.6x7-2003x0.4(2)239x7.2+956x8.2

3.(1)1989x1999—1988x2000(2)8642x2468-8644x2466

四、拓展演练

1.1234x4326+2468x2837

2.275x12+1650x23-3300x7.5

3.7654321x1234567-7654322x1234566

六、星级挑战

★1.31+5+32+5+33+5+34+5

★★★2.3333x4+5555x5+7777x7

★★★3.99+99x99+99x99x99

★★★4.48.67x67+3.2x486.7+973.4x0.05

第4讲简便运算(2)

一'夯实基础

在进行分数的运算时，可以利用约分法将分数形式中分子与分母同时扩大或缩

小若干倍，从而简化计算过程；还可以运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列

计算简便。同学们在进行分数简便运算式，要灵活、巧妙的运用简算方法。

让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：

乘法结合律：axbxc=ax(bxc)=(axe)xb

乘法分配律：ax(b+c)=axb+axcax(b—c)=axb—axe

111

拆分:—------——a_a

(n-l)nn-\n(n-k)nkn-kn

三'熟能生巧

362+548x361

(1)(2)+(-+-+-)

')362x548-1861179

四、拓展演练

,、113314

1.(1)123—+41—(2)—X2.84+3—+(l-xl.42)xl-

13394525

204+584x1991__1_

(2)(96-4-36—)+(322+12包)

1992x584-380一百73257325

3,▲+二+++……+

1x33x5我+春

★★★3・+++...+

2x4--4x6--6x8--------48x50

J7,911,1315

★★★4.1———।———।———

31220304256

第5讲简便运算(3)

一'夯实基础

所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一

些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。

简便运算中常用的技巧有“拆”与“凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一

个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千……

的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。

让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：

等差数列的一些公式：

项数=(末项一首项)+公差+1

某项=首项+公差X(项数一1)

等差数列的求和公式：(首项+末项)X项数+2

二、典型例题

例1.2+4+6+8...+198+200

分析：这是一个公差为2的等差数列，数列的首项是2,末项是200。这个数列

的项数=(末项-首项)+公差+1=(200-2)+2+1=100项，如何求和呢？我们先

用求平均数的方法：首、末两项的平均数=(2+200)+2=101：第二项和倒数第二

项的平均数也是(4+98)+2=101……依次求平均数，共算了100次，把这100个

平均数加起来就是数列的和。即和=(首项+末项)+2x项数。

解:原式=(2+200)4-2x100=10100

彳列2.0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9

分析：通过观察我们可以发现题目中的6个加数都分别接近1、10、100、1000、

10000、100000这6个整数，都分别少0.1,因此我们可以把这6个加数分别看成1、

10、100、1000、10000、100000的整数，再从总和中减去6个0.1,使计算简便。

解：原式=1+10+100+1000+10000+100000-0.1x6

=111111-0.6=1111110.4

三'熟能生巧

1.1+3+5+7+...+65+67

2.9+99+999+9999+99999

3.1120x122112211221-1221x112011201120

四、拓展演练

1.(1)0.11+0.13+0.15+....+0,97+0.99

(2)8.9x0.2+8.8x0.2+8.7x0.2+……+8.1x0.2

2.(1)98+998+9998+99998+999998

(2)3.9+0.39+0.039+0.0039+0.00039

3.(1)1234x432143214321-4321x123412341234

(2)2002x60066006-3003x40044004

六、星级挑战

★1.(1)438.9x5(2)47.26:5(3)574.62x25(4)14.758:0.25

★★2.(44332-443.32);(88664—886.64)

★★3.1.8+2.8+3.8+....+50.8

★★★4.2002-1999+1996-1993+1990-1987+...+16-13+10-7+4

第6讲简易方程

一'夯实基础

含有未知数的等式叫做方程，求方程的解的过程叫做解方程。解方程是列方程

解应用题的基础，解方程通常采用以下策略：

①对方程进行观察，能够先计算的部分先进行计算或合并，使其化简。

②把含有未知数的式子看做一个数，根据加、减、乘、除各部分的关系进行化

简，转化成熟悉的方程。再求方程的解。

③将方程的两边同时加上(或减去)一个适当的数，同时乘上(或除以)一个

适当的数，使方程简化，从而求方程的解。

④重视检验，确保所求的未知数的值是方程的解。

二'典型例题

例1.解方程4(x-2)+15=7x—20

分析：先运用乘法分配律将其展开，再运用等式的基本性质合并求解。

4(x-2)+15=7x-20

解：4x-8+15=7x-20

3x=27

x=9

经检验x=9是原方程的解。

例2.解方程x+2=(3x-10)例

分析：根据等式的基本性质，将方程两边同乘2和5的最小公倍数，使方程转

化为xx5=(3x—10)x2再求解。

x-?2=(3x-10)4-5

解：x^2xl0=(3x-10)4-5x10

xx5=(3x—10)x2

5x=6x-20

x—20=0

x=20

经检验x=20是原方程的解。

例3.解方程360・x-36OM.5x=6

分析：根据等式性质，将方程左右两边同乘3x使方程转化后再求解。

3604-x—3607.5x=6

解：1080-720=18x

18x=360

x=20

经检验x=20是原方程的解。

三'熟能生巧

1.①12—2(x-1)=4②5x+19=3(x+4)+15

2.①(2x+4)+18=28②(5.3x-5)K=x-8

3.07(x-3)=3(x+5)+4②x+x+3+2x-30=180

四、拓展演练

八2

1.①一(x+10)=6@8-4.5x=3-

52

①x+L"33

2.②-x+7.4=-x+9.2

26525

36.5x15

3.①一：18%----②

20xZ4-0i

五、举一反三

六、星级挑战

★1.解方程：13x—4(2x+5)=17(x-2)~4(2x~l)

★2.解方程：17(2-3x)-5(12-x)=8(1—7x)

_x+1x-3

★3.解方程：---------=2

35

12

★★4.解方程：—（x—5）=3——（X—5）

33

第7讲定义新运算

一'夯实基础

同学们，我们都知道四则运算包括加、减、乘、除，我们接触到的运算符号也

无外乎“+”、“一”、“X”、“+而在升学考试中，经常会出现一些崭新的题目，

这种题目中又出现了新的运算符号，如：。、※、◎……并赋予它们一种新的运算

方法。这种运算符号本身并不重要，重要的是在题目中，各种运算符号规定了某种

运算以及运算顺序。这种运算非常有趣，同学们，你们想了解吗？这一节我们就来

学习定义新运算。

二'典型例题

例1.（1）a©b=a+b,求95的值。（2）定义新运算"，mOn=m-?nx2.5o

求：①60.4。0.4的值是多少？②351。0.3的值是多少？

分析（1）：本题中的新运算符号表示的是求前后两个数的和，

也就是求9与5的和是多少。

解（1）:9©5=9+5=14

分析(2)：本题中新运算的含义是求前后两个数的商的2.5倍

是多少。

解(2)：①60.400.4=60.4+0.4x2.5=151x2.5=377.5

②35100.3=351^03x2.5=1170x2.5=2925

例2.对于任意两个自然数，定义一种新运算“*”，a*b=(a—b)+2,求34*(52*48)

值。

分析：新运算“”的含义表示：求“*”前后两数差的一半。本题在计算时，

要注意运算顺序，先计算括号内的“52*48"，再用34与“52*48”的结果在进行一

次这样的运算。

解：52*48=(52-48)+2=4+2=2

因此34*(52*48)=34*2=(34-2)+2=32+2=16。

例3.定义两种新运算和，对于任意两个数x、y,规定xOy=x+5y,

x*y=(x—y)x2,求506+3.5*2.5的值。

分析：本题包含两种新运算，第一种新运算表示求前面的数与后

面数的5倍的和是多少；第二种运算“*”表示“*”前面的数减去“*”后面数的差

的2倍是多少。所以可以根据他们各自的含义分别求值再作和。

解：506=5+5x6=35

3.5*2.5=(3.5—2.5)x2=2

506+3.5*2.5=35+2=37

三'熟能生巧

1.(1)a*b=a—b,求45.38.9的值。

(2)x、y是两个自然数，规定xG)y=(x+y)xlO,求3。8的值。

2.定义一种新运算，规定A©B=2x(A+B),求0.6©(5.4©5)的值。

3.定义两种新运算和“•”，已知a+b=a+2+4.1xb,a・b=8+3(a—b),求6^1

+4・2的值。

四、拓展演练

1.(1)定义一种新运算"※"，规定AXB=4A+3B—5,求(1)6X9(2)9X6。

(2)定义一种新运算规定a*b=(3x+y)+2+x,

求：①1()*15②15*10

2.(1)定义新运算"&",规定m&n=(m—n)+2,那么86(12&2)与12占

(882)是否相等？如果不相等，哪个大？

(2)定义一种新运算“新”，已知a㊉b=5a+10b,求3㊉7+5㊉8的值。

3.定义两种运算“(S)”和，对于任意两个整数a,b,a0b=a+b-l,

aG)b=axb—1。计算4。［(608)®(305)］。

五、举一反三

六、星级挑战

★1.定义新运算“X”，若2※3=2+3+4,5派4=5+6+7+8。

求(3X2)的值。

★★2.设a、b表示两个数如果a2b,规定：a©b=3xa-2xb；如果aVb,规定:

a©b=(a+b)x3。求：①9©6②8@8③2©7

★★3.设a、b表示两个数，aOb=axb—a+b,已知a07=37,求a的值。

★★★4.设a、b表示两个整数，规定：a©b=a+(a+1)+(a+2)+(a+3)

4——卜(a+b-1),求l@100的值。

第8讲巧求面积（1）

一'夯实基础

小学数学教材中学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等基

本图形面积的计算方法•常用的面积公式如下：

正方形边长X边长S=a2

长方形长X宽S=ab

平行四边形底X1同S=ah

三角形底x高:2S=ah4-2

梯形（上底+下底）X高+2S=(a+b)h：2

在实际应用过程中，我们除了掌握切分、割补、做差等一些基本的几何解题思

想外，还要掌握等量代换、妙用同底等一些有难度的解题方法。

二'典型例题

例I.两个相同的直角三角形如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的

面积。

分析：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而A

它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因

为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC\

后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形~

OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯Eb---------10-------

形OEFC的面积。

解：直角梯形OEFC的上底为：10—3=7（厘米），

直角梯形OEFC的面积为（7+10）x2+2=17（平方厘米）。

答：阴影部分的面积是17平方厘米。

例2.如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC

长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四

边形ABCD的面积。

分析：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘E

米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新/]

图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECBAi/A

的面积大10平方厘米。I

解：三角形EFG的面积为：10x8+2=40（平方厘米）。L/

平行四边形ABCD的面积为：40+10=50（平方厘米）。----------此

答：平行四边形的面积为50平方厘米。

例3.如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC

的中点.那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？

分析：由“E、F分别为AB和AC的中点”可知，AF=CF,AE=BE,所以三

角形ABF和三角形CBF是同底等高的三角形，面积相等；三角形AEF和三角形

BEF面积也相等，故有S.FT®EBF--S>S：MABF---SABC

2

解：S:用柩ABC=8X6+2=24（平方厘米）

S：角般ABF=—SABC=—x24=12（平方厘米）

=（平方厘米）

SMEBF=—S-MABF—X12=6h........*

DB

答：三角形EBF的面积是6平方厘米。

三、熟能生巧

1.如图，两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

2.如图，正方形ABC。边长是10厘米，长方形EFG”的长为8厘米，宽为5厘米。

阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米?

3.如图，在三角形ABC中，DC=2BD,CE=3AE,阴影部分的面积是20平方厘米,

求三角形ABC的面积。

四、拓展演练

1.如图，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13,35,49,那么图

中阴影部分的面积是多少？（单位：平方厘米）

2.如图，梯形的下底为8厘米，高为4厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米?

3.如图，长方形ABCD中，AB=24cm,BC=26cm,E是BC的中点，F、G分别是

AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分面积。

D

G

C

五、星级挑战

★1.如图，梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形

BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？

★★2.有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的

面积是36平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？

第9讲组合图形面积（2）

一'夯实基础

不规则图形常由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而

成的，计算时常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转，使之

转化为规则图形的和、差关系，有时要和“容斥原理”合并使用才能解决。

计算圆的周长与面积的主要公式有：

（1）圆的周长二冗x直径=2nx半径，即：C=nd=2nr

nTTY

（2）中心角为n的弧的长度=nxjix（半径）X80,即：仁——

180

（3）圆的面积二兀x（半径尸，即：s二na

n勿」I

（4）中心角为n的扇形的面积二二nx五x（半径）2：360,即：S=-----=1=—lr

3602

二'典型例题

例1.如下图（1）,在一个边长为4cm的正方形内，以正方形的三条边为直径

向内作三个半圆，求阴影部分的面积。

分析（一）：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到图

（2）。这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面

积相等。所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。

分析（二）：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边

上，如图（3）所示。阴影部分的面积是正方形面积的一半。

分析（三）：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，

如图（4）所示。阴影部分的面积是正方形的一半。

解：4x4+2=16（平方厘米）

例2.如下图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米

为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。

分析：阴影部分的面积等于两个扇形的面积之和减去正方形的面积。

解：S阴影二s扇形ACB+S扇形ACD—S正方形ABCD

71~r

=—XAB2X2-AB2

4

7T

=—x4*o-x2—42

4

314-2

«16x—......=9.12（平方厘米）。

2

例3.如下图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

分析：阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（I）

的面积之差。而图中（I）的面积等于边长为6的

正方形面积减去L的以6为半径的圆的面积。

4

解：S阴影=S通形ACD-（S正方形BCDE-s扇形EBD）

11

=—x（10+6）x6-（6x6——x%x6~?）

24

=40.26（平方厘米）°

三、熟能生巧

1.如下图，圆的直径为8cm,求阴影部分的面积。

2.如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm,

分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC

内画弧，求阴影部分的面积。

3.如下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20

厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方

厘米，求BC长。

四、拓展演练

1.如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10,求图中阴影

部分面积占大圆面积的百分之几？

2.如下图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面

积。A

3.如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是1：2：1,和为24厘米。图

中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？

甲

乙

五、星级挑战

★1.如下图，将直径AB为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60。，此时AB到达AC

的位置，求阴影部分的面积（取n=3.14）。

★★2.求图中的阴影部分的面积。（单位：厘米）

第10讲长方体的表面积和体积

一'夯实基础

长方体和正方体六个面的总面积，叫做它们的表面积。长方体的六个面分为上

下、左右、前后三组，每组对面的大小、形状完全相同；正方体的六个面是大小相

等的六个正方形。

长方体的表面积=（长X宽+宽x高+长x高）X2

正方体的表面积=棱长X棱长X6

物体占空间的大小，叫做物体的体积。容积是指所能容纳物体的体积。一个物

体的容积计算方法与体积计算方法相同，不过体积是从物体外面测量出长度再进行

计算，容积是从物体内部测量出长度再进行计算。通常物体的体积要大于容积，当

厚度忽略不计时，容积就等于体积。

长方体体积=长'宽'高

正方体体积=棱长X棱长X棱长

二'典型例题

例1.一块长方形铁皮长24厘米，四角剪去边长3厘米的正方形后，然后通过折叠、

焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是486立方厘米。求原来长方形铁

皮的面积。

分析：要求原来长方形铁皮的面积，关键要能求出原长

方形铁皮的宽。根据题意，画出示意图，结合空间相像，可

知做成的长方体铁盒的长是24—3x2=18(厘米)，高就是剪

下的小正方形的边长，也就是3厘米。又知铁盒的容积是

486厘米，这样就可以算出铁盒的宽。铁盒宽并不是原来长

方形铁皮的宽，再加上3x2=6(厘米)才是原铁皮的宽。

解：长方体铁盒的长：24—3x2=18(厘米)

长方体铁盒的宽：486+3+18=9(厘米)

长方形铁皮的宽：9+3x2=15(厘米)

长方形铁皮的面积：24x15=360(平方厘米)

答：原长方形铁皮的面积是360平方厘米。

例2.如右图，用3条丝带捆扎一个礼盒，第一条丝带长235cm,第二条丝带长445cm,

第三条丝带长515cm,每条丝带的接头处的长度均为5cm,求礼盒的体积。

分析：从图中可以看出，在捆扎礼盒的丝带

中最长的一根去掉接头的5cm,剩余部分的长度

等于长方体长与宽和的2倍。

解：长+宽=(515-5)+2=255(cm)

长+高=(445—5)+2=220(cm)

宽+高=(235-5)+2=115(cm)

长+宽+高=(255+220+115)+2=295

长：295-115=180(cm)

宽：295-220=75(cm)

高：295—255=40(cm)

礼盒体积：180x75x40=540000(cm3)=540(dm3)

答：这个礼盒的体积是540立方分米。

例3.如图(1),一个密封的长方体玻璃缸长15厘米，水深3厘米。如果把玻璃

缸按图(2)放置，里面的水深是多少厘米？(玻璃的厚度忽略不计)

分析：长方体玻璃缸中的水的体积没有变化，长也没有变化，只是宽和水深相

应的变化了。

解：设容器侧放后水深是x厘米

15x8x3=15x4xx

x=6

答：如果把玻璃缸按图（2）放置，里面的水深是6厘米。

三'熟能生巧

1.在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这

个立体图形的表面积。

2.一个密闭的长方体水箱，长10分米，宽8分米，高6分米,

若将长方体的长边竖立起来，水深会是多少分米？

3.右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是

多少？

四、拓展演练

1.如图所示是一个棱长12厘米的正方体，从前住后,有一个“十”字型的洞。“十”

字最短边长都是2厘米，求它的表面积和体积？

2.如图，在一块平坦的水泥地上，用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池，墙厚为

10厘米（底面利用原有的水泥地）。这个水泥池的体积是多少？

2

3.图中的一些积木是由16块棱长为2厘米的正方体堆成的，它的表面积是多少平

方厘米?

五、星级挑战

★1.一个长方形水箱，从里面量长40厘米，宽30厘米，深35厘米。原来水深10

厘米，放进一个棱长20厘米的正方形铁块后，铁块的顶面仍然高于水面，这时水面

高多少厘米？

★★2.有一个棱长是5厘米的正方体木块，它的表面涂上红油漆。将这个大正方体

木块锯成棱长是1厘米的小正方体，散乱为一堆。在这些小正方体木块中，三面涂

红漆的有几块？两面涂红漆、一面涂红漆的各有几块？没有涂上红漆的有几块？

第11讲圆柱体的表面积

一'夯实基础

圆柱体是常见的立体图形.它的表面是由一个侧面（展开是长方形）和两个相

同的圆形底面组成。圆柱从中间竖切成两个半圆柱后，切面是一个长方形；从中间

横切成两个圆柱后，切面是一个圆形。

圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，即

S«=SM（+2S底,S&=2nrh+2nr2

二'典型例题

例1.把一段长20分米的圆柱形圆木沿底面直径剖成相同的两块,表面积增加了320

平方分米，原来这段圆柱形圆木的表面积是多少平方分米？

分析：按这种方法，截面是相同的两个长方形，长方形的长是圆柱的高，宽是

圆柱的底面直径。

解：长方形面积是320+2=160（平方分米）；

底面直径：160+20=8（分米）；

侧面积:3.14x8x20=502.4（平方分米）；

底面积：3.14x（8+2）2=50.24（平方分米）；

表面积：502.4+50.24=552.64（平方分米）

答：原来这段圆柱形圆木的表面积是552.64平方分米。

例2.有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆

柱形的直孔，如下图。圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空

气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？

分析：解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还

要注意到零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还

要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的底面

与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面。

解：3.14x（6+2）2x2+3.14x6x10+3.14x4x5

=3.14x（18+60+20）

=3.14x98

=307.72（平方厘米）.

答：涂油漆面积是307.72平方厘米。

例3.在一棱长为4厘米的正方体的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米,

深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后它的表面积是多少？

分析：因为正方体的棱长为4厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打

透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完

全一样的圆柱的侧面积。

解：4x4x6+2^x1x6=133.68（平方厘米）

答:打孔后它的表面积是133.68平方厘米。

三'熟能生巧

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