泰勒公式与极值问题市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

§4泰勒公式与极值问题就本节本身而言，引入高阶偏导数是导出泰劳公式需要；而泰劳公式除了用于近似计算外,又为建立极值判别准则作好了准备.三、极值问题

一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式第1页一、高阶偏导数假如它们关于x与y偏导数也导数有以下四种形式:存在,说明含有二阶偏导数．二元函数二阶偏第2页类似地能够定义更高阶偏导数,比如三阶偏导数共有八种情形:第3页解因为例1

第4页所以有第5页数为例2

第6页注意在上面两个例子中都有第7页数为混合偏导数).不过这个结论并不对任何函数都成立，比如函数它一阶偏导数为数相等(称这种现有关于x,又有关于y高阶偏导第8页混合偏导数:第9页由此看到,这两个混合偏导数与求导次序相关.那么在什么条件下混合偏导数与求导次序无关呢?为此式.因为第10页所以有第11页类似地有这两个累次极限相等.下述定理给出了使(1)与(2)相等一个充分条件．连续，则第12页证令于是有(4)(3)第13页由(4)则有(5)假如令第14页则有用前面相同方法,又可得到(6)第15页在且相等，这就得到所要证实(3)式．合偏导数都与求导次序无关．注2

这个定理对n元函数混合偏导数也成立.例

由定理假设都在点连续,故当时,(7)式两边极限都存如三元函数以下六个三阶混合偏导数第16页若在某一点都连续，则它们在这一点都相等．今后在牵涉求导次序问题时,除尤其指出外,普通都假设对应阶数混合偏导数连续．复合函数高阶偏导数设数一样存在二阶连续第17页偏导数.详细计算以下:第18页第19页同理可得第20页例3

改写成以下形式:第21页由复合函数求导公式，有自变量复合函数．所以第22页第23页二、中值定理和泰勒公式二元函数中值公式和泰勒公式,与一元函数拉

也有相同公式，只是形式上更复杂一些．先介绍凸区域若区域D上任意两点连线都含于

D,则称D为凸区域(图17-6).这就是说,若D为一切恒有第24页上连续,在D全部内点都可微,则对D内任意两定理17.8

(

中值定理)

设在凸区域图17-6凸

非凸

第25页一元连续函数,且在(0,1)内可微.依据一元函数其中中值定理，，使得(10)第26页(9),(10)两式即得所要证实(8)式．注若

D为严格凸区域，即，都有第27页式成立(为何?)．公式(8)也称为二元函数(在凸域上)中值公式.它与定理17.3中值公式(12)相比较,差异在于这请读者作为练习自行证实此推论．第28页分析将上式改写成例4对应用微分中值定理，证实存在某个第29页之间应用微分中值定理．计算偏导数:证首先,当,有再第30页定理17.9(泰勒定理)若在点内任一点内有直到阶连续偏导数,则对第31页其中第32页证类似于定理17.8证实，先引入辅助函数(11)式称为

n阶泰勒公式,并称其中而首项也可看作情形.第33页件，于是有由假设，上满足一元函数泰勒公式条应用复合求导法则,可求得各阶导数以下:

(12)第34页公式(11)．将(13),(14)两式代入(12)式,就得到所求之泰勒时特殊情形.第35页此时n阶泰勒公式可写作则仅需内存在n阶连续偏导数即可,第36页将它们代入泰勒公式(15)，即有第37页与§1例7结果(1.32)相比较，这是更靠近于真微分近似相当于现在一阶泰勒公式．第38页三、极值问题多元函数极值问题是多元函数微分学主要应用,这里仍以二元函数为例进行讨论.有定义.若极大值点、极小值点统称极值点．极大

(或极小)

值点.极大值、极小值统称极值;极第39页注意这里讨论极值点只限于定义域内点．点,是g极大值点,但不是h极值点．这是因第40页同极值;

也取相同极值.于是

得到二元函数取极值必要条件以下:定理17.10(极值必要条件)

若函数在点

值(注由定义可见,若在点取极值,则当固存在偏导数,且在取得极值,则必有第41页稳定点.上述定理指出:偏导数存在时,极值点必是稳定点.

但要注意:稳定点并不都是极值点．在例6

中之所以只讨论原点,就是因为原点是那三个函数惟一稳定点；而对于函数h,原点虽为其稳定点,但却不是它极值点.与一元函数情形相同,多元函数在偏导数不存在原点没有偏导数,但第42页(17)定点,则有以下结论:第43页于是有证由在二阶泰勒公式，并注意到条件第44页二次型连续函数(仍为一正定二次型)首先证实:当正定时，在点取得极小值．这是因为，此时对任何恒使第45页极大值．因为所以在此有界闭域上存在最小值，于是有即在点取得极小值．第46页亦取

则沿着过任何直线最终证实:当为不定矩阵时,在点不第47页极小值,则将造成必须是正半定.也就是

或负半定，这与假设相矛盾．这表明必须是负半定.同理,倘若取系，定理17.11又可写成以下比较实用形式——依据对称矩阵定号性与其主子行列式之间关若如定理17.11所设，则有以下结论:第48页是否取得极值．解由方程组例7取得极小值;取得极大值;第49页例8

讨论是否存在极值．第50页得极值?因，故原点不是

极值点.又因处处可微，所以没有极值点.

解轻易验证原点是稳定点,且故由定理17.11无法判断在原点是否取得极值．但因为在原点任意小邻域内,当时

第51页由极值定义知道,极值只是函数一个局部性概念.想求出函数在有界闭域上最大值和最小值,方法与一元函数问题一样：需先求出在该区域上全部稳定点、无偏导数点处函数值,还有在区域边界上这类特殊值；然后比较这些值,其中最大(小)者即为问题所求最大(小)值．以f(0,0)=0

不是极值(参见图17-7)．第52页例10

证实:圆全部外切三角形中,以正三角形

面积为最小．证如图17-8所表示,设圆半径为a,任一外切三角图

17-8

图17-7

第53页式为其中.为求得稳定点,令形为ABC,三切点处半径相夹中心角分别为第54页在定义域内,上述方程组仅有惟一解:二阶偏导数:第55页此稳定点处取得极小值．因为,面积函数S在定义域中处处存在偏正三角形面积为最小．解(i)

求稳定点：解方程组导数，而详细问题存在最小值，故外切三角形中以第56页所以得稳定点(ii)

求极值：因为黑赛矩阵为(iii)

求在上特殊值:当第57页当，当，第58页算出单调增,算出两端值第59页图形,上面讨论都能在图中清楚地反应出来．一点与一元函数是不相同，务请读者注意！注本例中上即使只有惟一极值,且为极小值，但它并不所以成为上最小值．这第60页图17-9第61页例12(最小二乘法问题)设经过观察或试验得到一

上，即大致上可用直线方程来反应变量x与y之间对应关系(参见图17-10).现要确定一直线,使得与这n个点偏差平方之和为最小(最小二乘方)．图17-10第62页解设所求直线方程为为此令第63页把这组关于a,b线性方程加以整理并求解，得第64页第