五育联盟-巅峰计划河南省2025届高三上学期第一次综合检测数学试题（解析版）

五育联盟——巅峰计划·河南省2024~2025学年高三年级秋季学期第一次综合检测数学试题*祝考试顺利*是符合题目要求的.a,b的可能取值为()【答案】B【解析】【分析】由乘法运算得出a2+b2=25，再由对称性结合复数的几何意义判断即可.A.充分非必要条件B.必要非充分条件【答案】A【解析】【分析】利用两直线垂直可求得m的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.23.已知向量=(sinα,2),=(2,sinβ),α>0,β>0,α+β=，则.的最大值为() A.6B.【答案】C【解析】【分析】先利用平面向量数量积的坐标表示与三角恒等变换化简，再根据整体角范围利用正弦函数图象求解最值即可.所以当时，取得最大值，且最大值为2.243【答案】C【解析】当且仅当时，即等号成立， 41A.B.C24e【答案】D【解析】【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解.设过原点的直线l分别与曲线y=ex,y=ln(x+a)相切于点A(x1,y1),B6.根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，若用Q表示产量，L表示劳动投A>0,K>0,L>0,α>1,β>1．当A不变，K与L均变为原来的2倍时，下列说法正确的是()A.存在α>2和β>2，使得Q不变B.存在1<α<2和1<β<2，使得Q变为原来的2倍C.若α.β=4，则Q最多可变为原来的2倍222D.若2(α2+β)=αβ,则Q222【答案】D【解析】【分析】由Q=AKαLβ,当A不变，K与L均变为原来的2倍时，Q=A(2K)α(2L)β=AKαLβ.2α+β,然后逐个分析判断即可.所以当A不变，K与L均变为原来的2倍时，Q=A(2K)α(2L)β=AKαLβ.2α+β,所以不存在α>2和β>2，使得Q不变，所以A错误，所以当α.β=4时，Q最少可变为原来的2倍，所以C错误，所以2+≤2，所以若2(α2+β2)=α2β2，则Q最多可变为原来的2倍，所以D正确.②若x≠y，则f(x)≠f(y)．下列说法不正确的是()A.f(x)在R上是严格增函数B.若f(25)=10，则f(5)=5C.函数G(x)=f(x+1)经过原点D.函数F的图象与x轴重合【答案】A【解析】2断C；由F(x)=0判断D.【详解】对于A：不妨设满足题设条件，但此时f(x)在R上是严格减函数，故A错 2【答案】B【解析】【分析】设A与B中较小角为θ,△ABC斜边为c，结合锥体体积公式可用θ与c表示各四面体体积，即可采用作商法结合三角函数的性质得到各体积大小关系.【详解】不妨设△ABC中斜边为c，θ=A≤B，则θ∈,对折叠后的四面体ABCD，有CD=ccosθ×sinθ=csinθcosθ,AD=ccosθ×cosθ=ccos2θ,BD=csinθ×sinθ=csin2θ,故BG=csinθ×cosθ=csinθcosθ,整理得，又BH=csinθ×cos2csinθ,即V3.【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助直角三角形的边与角，结合锥体体积公式表示出各四面体的体积，再借助作商法比较大小.D.将函数y=−tanx的图象向右平移个单位均可得到函数y=cotx的图象【答案】BCD【解析】【分析】根据正切函数的定义域判断A，由诱导公式结合商数关系判断B，根据正切函数的对称中了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p,p+2k).其中当k=1时，为“孪生素数”，k=2时，称(p,p+4)为“表兄弟素数”.在不超过40的素数中，任选两个不同的素数记事件A,B,C发生的概率分别为P(A),P(B),P(C)，则下列关系式不成立的是()【答案】ABC【解析】各事件定义写出对应样本点，并求出对应事件的概率，即可判断各项正误.【详解】由题设，不超过40的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，故选：ABC艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的2x2−y2)是双纽线，下列说法正确的是()【答案】ACD【解析】根据有界性结合两点间距离公式可判断；选项D，联立直线y＝kx与曲线C研究方程根的情况即可.【详解】A项，设曲线C上任意一点P(x,y)，则坐标满足曲线方程，y2即方程(x2y22222即点P关于原点的对称点P(−x,−y)也适合曲线方程，B项，方程(x+y2)x222(y28y2C项，设曲线C上任一点P(x,y)，当P不为原点时，x2+y2≠0，则由+y2D项，直线y=kx恒过原点(0,0)，且曲线C经过(0,0)，当1−k2=0时，方程x4=0仅一解x=0，满足题【点睛】方法点睛：已知直线与曲线交点个数求参数值(取值范围)问题，通常将直线方程代入曲线方程转化为一元方程根的情况研究，再结合方程类型变形建立不等式，通过解不等式确定参数范围，但也要变形过程中的等价处理.如复合方程通过整体换元转化为简单方程来研究时次方程因式分解转化为低次方程来研究时，要注意几个低次方程之间的重根讨论；分式不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有种.【解析】1对同色面，当只有2对同色面，当3对面均同色时三种情况，计算得到答案.【详解】5种颜色涂6个面，则至少有两个故答案为：780四点M,N,P,Q共圆，则圆心坐标为.【解析】【分析】由圆心在弦MN,PQ的中垂线上，利用对称性可得MN中垂线方程，再联立椭圆方程利用韦达定理求出PQ中点坐标，进而求得PQ中垂线方程，联立两中垂线方程可得圆心.【详解】由对称性可知，圆心在线段MN的中垂线y=−x上，也在线段PQ的中垂线上，设直线y=−x+1与椭圆C交点P(x1,y1),Q(x2,y2)，22联立解得所以所求圆的圆心D为.14.已知f的最小值为.【解析】【分析】由同角三角函数基本关系化简函数解析式，再利用换元法求函数最值即可.222 15.某公司举行年终联欢活动，每位员工可从下表所示两种方案中选择一种抽取红包.一4个红包内分别装有现金200元、400元二已知员工甲通过方案一抽取红包，员工乙通过方案二抽取红包，记甲、乙抽取的红包总金额分别为X,Y元.（1）求X,Y的分布列；（2）若E(X)=E(Y)，求a的值.（2）500【解析】【分析】（1）依题意可得X的可能取值为600,800,1000,1200,1400，求出所对应的概率，即可得到分布（2）记乙抽中a元红包的次数为ξ,则ξ~B(4,0.5)，根据二项分布的期望公式及期望的性质求出E(Y)，从而得到方程求解即可.甲通过方案一抽取红包，由题意得X的所有可能取值为600,800,1000,1200,1400.所以X的分布列为：XP 16 1613 16 16乙通过方案二抽取红包，由题意得Y的所有可能取值为0,a,2a,3a,4a，所以Y的分布列为：Y0aP 1438 14 乙通过方案二抽取红包，抽取4次，记抽中a元红包的次数为ξ,则Y=aξ,（2）设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC丄平面ABB1A1，求平面ABD与平面BCD夹角的正弦值.【解析】二面角的向量求法可求得结果.设点A到平面A1BC的距离为d，AA1=AB，:AE丄A1B，又平面A1BCAA:AE丄平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，:AE丄BC；三棱锥ABC−A1B1C1为直三棱柱，:AA1丄平面ABC，又BC⊂平面ABC，:AA1丄BC；BA1,AB以B为坐标原点，以BC,BA,BB1正方向为x,y,z轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系B−xyz，:A1B=3，AA1=AB=“S□A1BC=A1B.BC=×3BC=4，:BC=设平面ABD与平面BCD夹角为θ,则sinθ= 则平面ABD与平面BCD夹角的正弦值为. （2）27【解析】（2）设直线BC的方程，联立直线与抛物线的方程，可知□EBC的面积S=y1−y2，结合韦达定理及二所以曲线M的方程为y2=4x设B(x1,y1)，C(x2,y2)显然，过点A(2,1)的直线BC斜率不为0，设其方程为x=my+2−mm22所以0EBC的面积y1−y2y1− 所以0EBC的面积的最小值为27（1）若b=1，写出曲线y=f(x)与圆C的一条公切线的方程(无需证明)；（2）若曲线y=f(x)与圆C恰有三条公切线.【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义表示出f(x)的(2)(i)设曲线y=f(x)与圆C公切线l的方程为y=kx圆的切线方程的几何性质得到关于k的方程，问题转化为化为讨论函数有3个零点的问题.(ii)根据(i)中构造出的函数，结合图象即可证明.设f(x)的切线的切点为(x0,lnx0)，切线斜率为k=f′lnx0(i)设曲线y=f(x)与圆C公切线l的方程为y=kx+m(显然，l斜率存在)，2222,22,2又∵g22222∴存在x1,2,2(2,2(2,∴g(x)最多一个极值点，不可能有三个零22【点睛】本题属于导数的综合题，需要利用导数讨掌握利用导数分类讨论函数的单调性，判断函数的零点的个数.就称a为m的倍数，称m为a的约数.（1）当k≥3时，是否存在a1,a2,…,ak构成等比数列，若存在，请写出