第44讲 复数（八大题型）（讲义）（解析版）-2025数学一轮复习（含2024年高考真题+回归教材）

3/29第03讲复数目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：复数的概念 4知识点2：复数的四则运算 4解题方法总结 6题型一：复数的概念 6题型二：复数的运算 8题型三：复数的几何意义 10题型四：复数的相等与共轭复数 12题型五：复数的模 14题型六：复数的三角形式 16题型七：与复数有关的最值问题 19题型八：复数方程 2304真题练习·命题洞见 2505课本典例·高考素材 2606易错分析·答题模板 27易错点：复数运算法则的应用有误 27答题模板：复数式的计算 28

考点要求考题统计考情分析（1）复数的有关概念（2）复数的几何意义（3）复数的四则运算2024年I卷第2题，5分2024年II卷第1题，5分2023年I卷第2题，5分2023年II卷第1题，5分2022年I卷II卷第2题，5分2021年II卷第1题，5分2021年I卷第2题，5分高考对复数的考查相对稳定，每年必考题型，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主．复习目标：（1）通过方程的解，认识复数．（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．

知识点1：复数的概念（1）叫虚数单位，满足，当时，．（2）形如的数叫复数，记作．=1\*GB3①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．=2\*GB3②两个复数相等（两复数对应同一点）=3\*GB3③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．【诊断自测】（2024·湖南衡阳·模拟预测）若复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以的虚部为.故选：D.知识点2：复数的四则运算1、复数运算（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数．（3）．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．注意：复数加、减法的几何意义以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．2、复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．3、复数的三角形式（1）复数的三角表示式一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．（2）辐角的主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．（3）三角形式下的两个复数相等两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．（4）复数三角形式的乘法运算①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即．②复数乘法运算的三角表示的几何意义复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．（5）复数三角形式的除法运算两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．【诊断自测】（2024·河北衡水·模拟预测）若为纯虚数，，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】，因为为纯虚数，所以，所以，，所以.故选：A.解题方法总结复数的方程在复平面上表示的图形(1)表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)表示以为圆心，r为半径的圆．题型一：复数的概念【典例1-1】（2024·新疆·三模）复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设且，则，因为，所以,解得：，则的虚部为.故选：C【典例1-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）设复数,则的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】,则,虚部是.故选:A.【方法技巧】无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．【变式1-1】（2024·重庆·三模）设复数z满足，则z的虚部为（）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】设复数，因为复数z满足，可得，即，则，，解得，所以复数的虚部为.故选：A.【变式1-2】（2024·福建泉州·模拟预测）若，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以的虚部是.故选：C【变式1-3】若复数满足，且为纯虚数，则.【答案】/【解析】因为为纯虚数，设，且，则，因为，所以，所以，解得，所以.故答案为：.题型二：复数的运算【典例2-1】（2024·四川·模拟预测）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令复数，则，根据两个复数相等的条件有，解得，所以．故选：A【典例2-2】设i是虚数单位，则复数（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由.故选:C．【方法技巧】设，则（1）（2）（3）【变式2-1】（2024·青海海南·一模）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，则，故选：D.【变式2-2】（2024·江西景德镇·三模）下列有关复数，的等式中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，对于A，令，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，则，，因此，C正确；对于D，，D正确.故选：A【变式2-3】已知复数，的模长为1，且，则的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】设，，则，，所以，，因为，，所以，，因为，所以，所以，即，所以，所以，，所以.故选：.题型三：复数的几何意义【典例3-1】（2024·山西吕梁·三模）已知复数满足，则复数在复平面对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由复数满足，可得，则，则复数对应的点为位于第四象限.故选：D.【典例3-2】若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选：D．【方法技巧】复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．【变式3-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，所以，所以，其在复平面内的对应点为，位于第一象限．故选：A．【变式3-2】（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】设，则，则，即，所以，，解得，，故，对应的点在第四象限．故选：D．【变式3-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知复数的实部为的虚部为，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由复数，可得，所以，所以在复平面内的对应点为，位于第四象限．故选：D．【变式3-4】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所以旋转后的向量所对应的复数为，所以旋转后的向量，又因为，，所以向量在上的投影向量是，即对应复数是.故选：.题型四：复数的相等与共轭复数【典例4-1】（2024·天津武清·模拟预测）已知，且，则．【答案】1【解析】由题意可得：，所以.故答案为：1.【典例4-2】已知复数z的共轭复数是，若，则.【答案】【解析】设，则，因为，所以，整理得，所以，解得，所以.故答案为：【方法技巧】复数相等：共轭复数：．【变式4-1】（2024·山东聊城·二模）已知，且，则．【答案】1【解析】，所以，解得.故答案为：1【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为．【答案】【解析】解法一：设复数，则，由复数相等，得，解得，即复数，所以，所以的虚部为．解法二：由，得．因为是实数，所以也是实数，则有，所以的虚部为．故答案为：【变式4-3】已知，且满足（其中为虚数单位），则．【答案】2【解析】由题意，可得，所以，解得，所以.故答案为：2【变式4-4】已知a，，，则.【答案】6【解析】，故，，得，，所以.故答案为：6.题型五：复数的模【典例5-1】已知复数，且，则.【答案】或3【解析】复数，可得，则整理得，，即因为，所以且，又因，故，解得，或.故答案为：或3.【典例5-2】（2024·江西南昌·三模）已知复数满足，则.【答案】【解析】令，则有，即，，解得，即，.故答案为：.【方法技巧】【变式5-1】复数的模为.【答案】/【解析】故．故答案为：．【变式5-2】已知，则．【答案】5【解析】假设，则，，∵，∴①，②，③，∴③-①-②得，∴，∴，故答案为：5【变式5-3】（2024·福建厦门·三模）复数满足，，则.【答案】【解析】设，则，由，，得，解得，所以，故答案为：.【变式5-4】已知复数数列满足，则.【答案】【解析】因为，则，所以所以，所以.故答案为：题型六：复数的三角形式【典例6-1】一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.已知，，，其中，，则．(结果表示代数形式)【答案】【解析】因为，所以，又，，所以，所以.所以，，.故答案为：.【典例6-2】计算的结果是.【答案】【解析】，同理可得，原式．故答案为：【方法技巧】一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．【变式6-1】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因，则，对于A，，故A项正确；对于B，，故B项错误；对于C，，故C项错误；对于D，由B项知，，故D项错误.故选：A.【变式6-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则，所以，，即，所以故时，，故可取，故选：D【变式6-3】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】，在复平面内所对应的点为，在第二象限.故选：B.【变式6-4】（2024·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由题意可得，故，所以.故选：B题型七：与复数有关的最值问题【典例7-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）若复数，满足，，则的最大值是（

）A． B． C．7 D．8【答案】D【解析】设，，，，因为，，所以，，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，又表示点与的距离，所以的最大值是，故选：D.【典例7-2】（2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】若复数z满足，则由复数的几何意义可知复数对应的点集是线段的垂直平分线，其中，所以的最小值为.故选：B.【方法技巧】利用几何意义进行转化【变式7-1】（2024·高三·河北沧州·期中）已知复数，复数满足，则的最大值为（

）A．7 B．6 C． D．【答案】A【解析】，又，即在复平面内，复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，又点到坐标原点的距离为，所以的最大值为.故选：A.【变式7-2】（2024·湖南长沙·三模）已知复数z满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】表示对应的点是单位圆上的点，的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离，的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，所以最大距离为，最小距离为，所以的取值范围为.故选：B【变式7-3】（2024·江苏·模拟预测）若复数，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知在复平面中对应的点为以原点为圆心的单位圆上一点，而在复平面中对应的点不妨设为，所以，易知.故选：B【变式7-4】（2024·湖北鄂州·一模）已知复数，满足，（其中i是虚数单位），则的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【解析】设复数在复平面内对应的点分别为，由题意可知：，可知点的轨迹表示为焦点分别为的椭圆，则长半轴长为，半焦距，短半轴长为，且该椭圆的长轴所在直线为，短轴所在直线为．因为点在上，且，若使得最小，则需取得最小值，即点为第一象限内的短轴端点，此时．故选：D.【变式7-5】（2024·山东·模拟预测）复数满足，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】设复数在复平面上的对应点为，则可表示为复平面上点到的距离，可表示为复平面上点到的距离，由题意可知：点在线段的中垂线上，如下图：线段的中点为，直线的斜率，则的轨迹方程为，整理可得，由可表示为点到的距离，.故选：A.【变式7-6】已知复数满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】复数满足，则复数z对应的点的轨迹为以为焦点，长轴长的椭圆，则椭圆短半轴长为，椭圆方程为，表示椭圆上的点到原点的距离，当点位于椭圆长轴上的顶点时，取值大值2；当点位于椭圆短轴上的顶点时，取值小值；故的取值范围为，故选：D【变式7-7】（2024·安徽安庆·一模）设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为（

）A．+i B．+i C．i D．i【答案】A【解析】复数满足条件，它是复平面上的单位圆，那么表示单位圆上的点到的距离，要使此距离取最大值的复数，就是和连线和单位圆在第一象限的交点．点到原点距离是2．单位圆半径是1，又，所以．故对应的复数为．故选：A题型八：复数方程【典例8-1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数是关于的方程的一个根，则（

）A．25 B．5 C． D．41【答案】C【解析】因为复数是关于的方程的一个根，所以，所以，所以，所以，则，故选：C.【典例8-2】（2024·江苏·一模）已知是关于x的方程的根，则实数（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果.因为是关于x的方程的根，则另一根为由韦达定理得，所以故选：B【方法技巧】复数方程是包含复数的方程，其中复数具有实部和虚部。解复数方程时，通常将利用复数的代数形式及三角形式进行求解。【变式8-1】（2024·上海嘉定·三模）已知复数x满足方程，那么.【答案】【解析】因为，则.故答案为：.【变式8-2】已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝．【答案】19【解析】因为是关于x的方程的一个根，所以是方程的另一个根，所以，解得，所以，故答案为：19【变式8-3】若是关于的实系数方程的一个复数根，则.【答案】3【解析】∵实系数一元二次方程的一个虚根为，∴其共轭复数也是方程的根.由根与系数的关系知，，∴，.故答案为：【变式8-4】的平方根为【答案】【解析】设所求复数为，由题意有，即，则，解得或，即或，即的平方根为，故答案为.【变式8-5】（2024·高三·上海浦东新·开学考试）若实系数方程的一个根是，则．【答案】1【解析】因为关于的实系数方程的一个根是，所以另一个根为，根据韦达定理可得，所以.又，所以，所以故答案为：.1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】依题意得，，故.故选：D2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若，则（

）A． B． C．10 D．【答案】A【解析】由，则.故选：A4．（2024年北京高考数学真题）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得.故选：C.5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（

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