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文档简介
5.2平面向量的数量积及应用【题型解读】【知识必备】1.两个向量的夹角已知两个非零向量a和b,作=a,=b,∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角,记作<a,b>.当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,则称向量a与b垂直,记作a⊥b.2.平面向量的数量积已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,我们把|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.3.平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cosθ的乘积.注意:b在a方向上的投影为|b|cosθ=eq\f(a·b,|a|),而a在b方向上的投影为|a|cosθ=eq\f(a·b,|b|),投影是一个数量,它可以为正,可以为负,也可以为0.4.平面向量数量积的重要性质(1)a⊥b⇔a·b=0;(2)当a和b同向时,a·b=|a||b|;当a和b反向时,a·b=﹣|a||b|;特别地,a·a=|a|2,|a|=eq\r(a·a);(3)cosθ=eq\f(a·b,|a||b|);5.平面向量数量积的坐标运算设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)a·b=x1x2+y1y2,(2)|a|2=x12+y12或|a|=eq\r(x12+y12).(3)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(4)cosθ=eq\f(x1x2+y1y2,eq\r(x12+y12)·eq\r(x22+y22))【题型精讲】【题型一平面向量数量积的计算】必备技巧求平面向量数量积的方法(1)没有向量坐标时,计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角,条件是两向量的始点必须重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件.(2)有坐标时,a·b=x1x2+y1y2,.例1(2023·河南高三月考)(1)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和F分别在线段BC和DC上,且eq\o(BE,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→)),eq\o(DF,\s\up6(→))=eq\f(1,6)eq\o(DC,\s\up6(→)),则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为________.(2).已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值为__________;eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值为________.例2(2023·北京高考真题),,,则_______;_______.【跟踪精练】1.(2023·陕西·交大附中模拟预测)已知在平行四边形中,,则值为__________.2.(2023·云南玉溪·高三月考)已知中,,,点是线段的中点,则______.【题型二利用数量积求模长】必备技巧利用数量积求模长(1)没有向量坐标时,求解向量模的问题就是要灵活应用a2=|a|2,即|a|=eq\r(a2),勿忘记开方..(2)有向量坐标时,|a|2=x12+y12或|a|=eq\r(x12+y12).例3(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)已知平面向量,满足,,且与的夹角为,则(
)A. B. C. D.3例4(2023·福建泉州·模拟预测)已知向量,,若的夹角为,则=___________.【跟踪精练】1.(2023·全国·高三课时练习)已知,则()A. B. C.13 D.212.(2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考)已知非零向量,的夹角为,且,,则()A. B.1 C. D.2【题型三利用数量积求夹角】方法技巧利用数量积求夹角(1)向量有没有坐标时,主要是利用公式cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.(2)向量有坐标时,cosθ=eq\f(x1x2+y1y2,eq\r(x12+y12)·eq\r(x22+y22))例5(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测)已知非零向量,满足,,则与夹角为______.例6(2023·山东日照市·高三二模)已知,当时,向量与的夹角为()A. B. C. D.【题型精练】1.(2023·河北武强中学高三月考)已知非零向量,满足,且,则与的夹角为___________.2.(2023·全国福建省漳州市高三期末)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|;(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(BC,\s\up6(→))=b,求△ABC的面积.【题型四利用数量积求解垂直问题】方法技巧利用向量数量积求解垂直问题解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量)例7(2023·全国高三专题练习)已知,若,则x等于()A.8 B.10 C.11 D.12例8(2023·海南海口·二模)已知向量,的夹角为45°,,且a⋅b=2,若,则______.【题型精练】1.(2023•南通期末)在中,,,若是直角三角形,则的值可以是A. B. C. D.2.(2023·河南开封·模拟预测)已知两个单位向量与的夹角为,若,,且,则实数(
)A. B. C. D.【题型五利用数量积求投影】例9(2023·江西鹰潭·二模)已知向量,则在方向上的投影为_________例10(湖北高考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C.-eq\f(3\r(2),2)D.-eq\f(3\r(15),2)【题型精练】1.(2022·莆田第十五中学高三月考)已知,,,则在方向上的投影等于_______.2.(2023·新疆克拉玛依·三模)设,是两个非零向量,,,过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,则叫做向量在向量上的投影向量.如下图,已知扇形的半径为1,以为坐标原点建立平面直角坐标系,,,则弧的中点的坐标为________;向量在上的投影向量为________.5.2平面向量的数量积及应用【题型解读】【知识必备】1.两个向量的夹角已知两个非零向量a和b,作=a,=b,∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角,记作<a,b>.当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,则称向量a与b垂直,记作a⊥b.2.平面向量的数量积已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,我们把|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.3.平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cosθ的乘积.注意:b在a方向上的投影为|b|cosθ=eq\f(a·b,|a|),而a在b方向上的投影为|a|cosθ=eq\f(a·b,|b|),投影是一个数量,它可以为正,可以为负,也可以为0.4.平面向量数量积的重要性质(1)a⊥b⇔a·b=0;(2)当a和b同向时,a·b=|a||b|;当a和b反向时,a·b=﹣|a||b|;特别地,a·a=|a|2,|a|=eq\r(a·a);(3)cosθ=eq\f(a·b,|a||b|);5.平面向量数量积的坐标运算设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)a·b=x1x2+y1y2,(2)|a|2=x12+y12或|a|=eq\r(x12+y12).(3)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(4)cosθ=eq\f(x1x2+y1y2,eq\r(x12+y12)·eq\r(x22+y22))【题型精讲】【题型一平面向量数量积的计算】必备技巧求平面向量数量积的方法(1)没有向量坐标时,计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角,条件是两向量的始点必须重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件.(2)有坐标时,a·b=x1x2+y1y2,.例1(2023·河南高三月考)(1)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和F分别在线段BC和DC上,且eq\o(BE,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→)),eq\o(DF,\s\up6(→))=eq\f(1,6)eq\o(DC,\s\up6(→)),则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为________.(2).已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值为__________;eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值为________.答案::1.eq\f(29,18)2.11【解析】:1.法一取eq\o(BA,\s\up6(→)),eq\o(BC,\s\up6(→))为一组基底,则eq\o(AE,\s\up6(→))=eq\o(BE,\s\up6(→))-eq\o(BA,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))-eq\o(BA,\s\up6(→)),eq\o(AF,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CF,\s\up6(→))=-eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\f(5,12)eq\o(BA,\s\up6(→))=-eq\f(7,12)eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→)),∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))==eq\f(7,12)||-eq\f(25,18)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\f(2,3)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2=eq\f(7,12)×4-eq\f(25,18)×2×1×eq\f(1,2)+eq\f(2,3)=eq\f(29,18).法二CO⊥AB于O,建立如图所示的平面直角坐标系,则A,B,C,D,所以E,F,所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))==eq\f(10,9)+eq\f(1,2)=eq\f(29,18).2.法一如图,eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))=(eq\o(DA,\s\up6(→))+eq\o(AE,\s\up6(→)))·eq\o(CB,\s\up6(→))=eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))+eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))=eq\o(DA,\s\up6(→))2=1,eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))=(eq\o(DA,\s\up6(→))+eq\o(AE,\s\up6(→)))·eq\o(DC,\s\up6(→))=eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))+eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))=eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))=|eq\o(AE,\s\up6(→))|·|eq\o(DC,\s\up6(→))|≤|eq\o(DC,\s\up6(→))|2=1.法二以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t∈[0,1],则eq\o(DE,\s\up6(→))=(t,-1),eq\o(CB,\s\up6(→))=(0,-1),所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))=(t,-1)·(0,-1)=1.因为eq\o(DC,\s\up6(→))=(1,0),所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))=(t,-1)·(1,0)=t≤1,故eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值为1.法三由图知,无论E点在哪个位置,eq\o(DE,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影都是CB=1,∴eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))=|eq\o(CB,\s\up6(→))|·1=1.当E运动到B点时,eq\o(DE,\s\up6(→))在eq\o(DC,\s\up6(→))方向上的投影最大即为DC=1,∴(eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→)))max=|eq\o(DC,\s\up6(→))|·1=1.例2(2023·北京高考真题),,,则_______;_______.答案:03【解析】,,,.故答案为:0;3.【跟踪精练】1.(2023·陕西·交大附中模拟预测)已知在平行四边形中,,则值为__________.答案:【解析】由题设可得如下图:,而,所以,又,所以,则,故,可得,即.故答案为:2.(2023·云南玉溪·高三月考)已知中,,,点是线段的中点,则______.答案:【解析】以底边的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系,如下图:由已知条件和图可知,,,,故,又因为点是线段的中点,所以,所以,从而,故答案为:.【题型二利用数量积求模长】必备技巧利用数量积求模长(1)没有向量坐标时,求解向量模的问题就是要灵活应用a2=|a|2,即|a|=eq\r(a2),勿忘记开方..(2)有向量坐标时,|a|2=x12+y12或|a|=eq\r(x12+y12).例3(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)已知平面向量,满足,,且与的夹角为,则(
)A. B. C. D.3答案:C【解析】解:因为,,且与的夹角为,所以,,故选:C例4(2023·福建泉州·模拟预测)已知向量,,若的夹角为,则=___________.答案:【解析】由,得,得.故答案为:.【跟踪精练】1.(2023·全国·高三课时练习)已知,则()A. B. C.13 D.21答案:A【解析】依题意,,.所以.故选:A2.(2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考)已知非零向量,的夹角为,且,,则()A. B.1 C. D.2答案:A【解析】因为非零向量,的夹角为,且,所以,又因为,所以,即,所以整理可得:,因为,解得:,故选:A.【题型三利用数量积求夹角】方法技巧利用数量积求夹角(1)向量有没有坐标时,主要是利用公式cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.(2)向量有坐标时,cosθ=eq\f(x1x2+y1y2,eq\r(x12+y12)·eq\r(x22+y22))例5(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测)已知非零向量,满足,,则与夹角为______.答案:【解析】因为,所以.因为,所以,所以.设与夹角为,所以.因为,所以.例6(2023·山东日照市·高三二模)已知,当时,向量与的夹角为()A. B. C. D.答案:B【解析】,,,即,,,所以向量与的夹角为,故选:B.【题型精练】1.(2023·河北武强中学高三月考)已知非零向量,满足,且,则与的夹角为___________.答案:【解析】由题意,设,又,设与的夹角为,所以,所以.故答案为:.2.(2023·全国福建省漳州市高三期末)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|;(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(BC,\s\up6(→))=b,求△ABC的面积.【解析】:(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,∴64-4a·b-27=61,∴a·b=-6.∴cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(-6,4×3)=-eq\f(1,2).又0≤θ≤π,∴θ=eq\f(2π,3).(2)可先平方转化为向量的数量积.|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,∴|a+b|=eq\r(13).(3)∵eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角θ=eq\f(2π,3),∴∠ABC=π-eq\f(2π,3)=eq\f(π,3).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|=|a|=4,|eq\o(BC,\s\up6(→))|=|b|=3,∴S△ABC=eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|sin∠ABC=eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)=3eq\r(3).【题型四利用数量积求解垂直问题】方法技巧利用向量数量积求解垂直问题解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量)例7(2023·全国高三专题练习)已知,若,则x等于()A.8 B.10 C.11 D.12答案:D【解析】∵,∴,又,∴,可得x=12.故选:D例8(2023·海南海口·二模)已知向量,的夹角为45°,,且a⋅b=2,若,则______.答案:-2【解析】因为得,又因为,所以,所以.故答案为:-2.【题型精练】1.(2023•南通期末)在中,,,若是直角三角形,则的值可以是A. B. C. D.答案:.【解析】中,,,①当时,,即,解得;②当时,,且;即,解得;③当时,,即,整理得,解得或;综上知,的取值为或或.2.(2023·河南开封·模拟预测)已知两个单位向量与的夹角为,若,,且,
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