高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.2平面向量的数量积及应用(精讲)(原卷版+解析)

5.2平面向量的数量积及应用【题型解读】【知识必备】1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，记作<a，b>．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.2．平面向量的数量积已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.3．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cosθ的乘积．注意：b在a方向上的投影为|b|cosθ＝eq\f(a·b,|a|)，而a在b方向上的投影为|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.4．平面向量数量积的重要性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a和b同向时，a·b＝|a||b|；当a和b反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a＝|a|2，|a|＝eq\r(a·a)；(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；5．平面向量数量积的坐标运算设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)a·b＝x1x2＋y1y2，(2)|a|2＝x12＋y12或|a|＝eq\r(x12＋y12).(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,eq\r(x12＋y12)·eq\r(x22＋y22))【题型精讲】【题型一平面向量数量积的计算】必备技巧求平面向量数量积的方法（1）没有向量坐标时，计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.（2）有坐标时，a·b＝x1x2＋y1y2，.例1(2023·河南高三月考）（1）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为________．（2）．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值为__________；eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值为________．例2（2023·北京高考真题），，，则_______；_______．【跟踪精练】1.(2023·陕西·交大附中模拟预测）已知在平行四边形中，，则值为__________．2.(2023·云南玉溪·高三月考）已知中，，，点是线段的中点，则______．【题型二利用数量积求模长】必备技巧利用数量积求模长(1)没有向量坐标时，求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝eq\r(a2)，勿忘记开方.．(2)有向量坐标时，|a|2＝x12＋y12或|a|＝eq\r(x12＋y12)．例3(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（

）A． B． C． D．3例4(2023·福建泉州·模拟预测）已知向量,，若的夹角为，则=___________.【跟踪精练】1.(2023·全国·高三课时练习）已知，则（）A． B． C．13 D．212.(2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）已知非零向量，的夹角为，且，，则（）A． B．1 C． D．2【题型三利用数量积求夹角】方法技巧利用数量积求夹角(1)向量有没有坐标时，主要是利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.(2)向量有坐标时，cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,eq\r(x12＋y12)·eq\r(x22＋y22))例5(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测）已知非零向量，满足，，则与夹角为______．例6(2023·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（）A． B． C． D．【题型精练】1．(2023·河北武强中学高三月考）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为___________.2.(2023·全国福建省漳州市高三期末)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．【题型四利用数量积求解垂直问题】方法技巧利用向量数量积求解垂直问题解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)例7(2023·全国高三专题练习）已知，若，则x等于（）A．8 B．10 C．11 D．12例8(2023·海南海口·二模）已知向量，的夹角为45°，，且a⋅b=2，若，则______．【题型精练】1.(2023•南通期末）在中，，，若是直角三角形，则的值可以是A． B． C． D．2.(2023·河南开封·模拟预测）已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（

）A． B． C． D．【题型五利用数量积求投影】例9(2023·江西鹰潭·二模）已知向量，则在方向上的投影为_________例10(湖北高考)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C.－eq\f(3\r(2),2)D.－eq\f(3\r(15),2)【题型精练】1.(2022·莆田第十五中学高三月考)已知，，，则在方向上的投影等于_______.2．(2023·新疆克拉玛依·三模）设，是两个非零向量，，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则叫做向量在向量上的投影向量.如下图，已知扇形的半径为1，以为坐标原点建立平面直角坐标系，，，则弧的中点的坐标为________；向量在上的投影向量为________.5.2平面向量的数量积及应用【题型解读】【知识必备】1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，记作<a，b>．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.2．平面向量的数量积已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.3．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cosθ的乘积．注意：b在a方向上的投影为|b|cosθ＝eq\f(a·b,|a|)，而a在b方向上的投影为|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.4．平面向量数量积的重要性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a和b同向时，a·b＝|a||b|；当a和b反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a＝|a|2，|a|＝eq\r(a·a)；(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；5．平面向量数量积的坐标运算设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)a·b＝x1x2＋y1y2，(2)|a|2＝x12＋y12或|a|＝eq\r(x12＋y12).(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,eq\r(x12＋y12)·eq\r(x22＋y22))【题型精讲】【题型一平面向量数量积的计算】必备技巧求平面向量数量积的方法（1）没有向量坐标时，计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.（2）有坐标时，a·b＝x1x2＋y1y2，.例1(2023·河南高三月考）（1）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为________．（2）．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值为__________；eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值为________．答案：：1．eq\f(29,18)2．11【解析】：1．法一取eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))为一组基底，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(5,12)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(7,12)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝＝eq\f(7,12)||－eq\f(25,18)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\f(7,12)×4－eq\f(25,18)×2×1×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＝eq\f(29,18)．法二CO⊥AB于O，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，D，所以E，F，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝＝eq\f(10,9)＋eq\f(1,2)＝eq\f(29,18)．2．法一如图，eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))2＝1，eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|·|eq\o(DC,\s\up6(→))|≤|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＝1．法二以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t，0)，t∈[0，1]，则eq\o(DE,\s\up6(→))＝(t，－1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0，－1)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(t，－1)·(0，－1)＝1．因为eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，故eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值为1．法三由图知，无论E点在哪个位置，eq\o(DE,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影都是CB＝1，∴eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|·1＝1．当E运动到B点时，eq\o(DE,\s\up6(→))在eq\o(DC,\s\up6(→))方向上的投影最大即为DC＝1，∴(eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→)))max＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|·1＝1．例2（2023·北京高考真题），，，则_______；_______．答案：03【解析】，，，.故答案为：0；3.【跟踪精练】1.(2023·陕西·交大附中模拟预测）已知在平行四边形中，，则值为__________．答案：【解析】由题设可得如下图：，而，所以，又，所以，则，故，可得，即.故答案为：2.(2023·云南玉溪·高三月考）已知中，，，点是线段的中点，则______．答案：【解析】以底边的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图：由已知条件和图可知，，，，故，又因为点是线段的中点，所以，所以，从而，故答案为：.【题型二利用数量积求模长】必备技巧利用数量积求模长(1)没有向量坐标时，求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝eq\r(a2)，勿忘记开方.．(2)有向量坐标时，|a|2＝x12＋y12或|a|＝eq\r(x12＋y12)．例3(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（

）A． B． C． D．3答案：C【解析】解：因为，，且与的夹角为，所以，，故选：C例4(2023·福建泉州·模拟预测）已知向量,，若的夹角为，则=___________.答案：【解析】由,得,得.故答案为：.【跟踪精练】1.(2023·全国·高三课时练习）已知，则（）A． B． C．13 D．21答案：A【解析】依题意，，.所以.故选：A2.(2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）已知非零向量，的夹角为，且，，则（）A． B．1 C． D．2答案：A【解析】因为非零向量，的夹角为，且，所以，又因为，所以，即，所以整理可得：，因为，解得：，故选：A.【题型三利用数量积求夹角】方法技巧利用数量积求夹角(1)向量有没有坐标时，主要是利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.(2)向量有坐标时，cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,eq\r(x12＋y12)·eq\r(x22＋y22))例5(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测）已知非零向量，满足，，则与夹角为______．答案：【解析】因为，所以.因为，所以，所以.设与夹角为，所以.因为，所以.例6(2023·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（）A． B． C． D．答案：B【解析】，，，即，，，所以向量与的夹角为，故选：B.【题型精练】1．(2023·河北武强中学高三月考）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为___________.答案：【解析】由题意，设，又，设与的夹角为，所以，所以.故答案为：.2.(2023·全国福建省漳州市高三期末)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．【解析】：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6．∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2)．又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3)．(2)可先平方转化为向量的数量积．|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝eq\r(13)．(3)∵eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角θ＝eq\f(2π,3)，∴∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3)．又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)．【题型四利用数量积求解垂直问题】方法技巧利用向量数量积求解垂直问题解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)例7(2023·全国高三专题练习）已知，若，则x等于（）A．8 B．10 C．11 D．12答案：D【解析】∵，∴，又，∴，可得x=12.故选：D例8(2023·海南海口·二模）已知向量，的夹角为45°，，且a⋅b=2，若，则______．答案：-2【解析】因为得，又因为，所以，所以．故答案为：-2.【题型精练】1.(2023•南通期末）在中，，，若是直角三角形，则的值可以是A． B． C． D．答案：．【解析】中，，，①当时，，即，解得；②当时，，且；即，解得；③当时，，即，整理得，解得或；综上知，的取值为或或．2.(2023·河南开封·模拟预测）已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，