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第三章导数3.4.1导数的构造法、双变量问题(含极值点偏移)(题型战法)知识梳理一导数的构造法加-乘不等号型构造(2)构造(3)构造(4)构造(注意对的符号进行讨论)(5)构造2、减-除不等号型(6)构造(7)构造(8)构造(9)构造(注意对的符号进行讨论)(10)构造二导数双变量问题(含极值点偏移)1、双变量问题解题步骤:统一变量-求变量范围-构造函数-求解新函数的单调性、极值、最值2、极值点偏移解题步骤:(1)求出函数的单调性;(2)构造一元差函数Fx(3)确定函数的单调性;(4)结合,判断的符号,从而确定fx、f2a−x口诀为:极值偏离对称轴,构造函数觅行踪;四个步骤环相扣,两次单调紧跟随。题型战法题型战法一导数的构造法-简单不等号型典例1.函数的定义域为,,对任意,,则的解集为(
)A. B. C. D.变式1-1.函数的定义域为R,,对任意,,则的解集为()A. B. C. D.变式1-2.定义在R上的函数其导函数恒成立且,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.变式1-3.已知定义域为的函数满足,,其中为导函数,则满足不等式的解集为(
)A. B. C. D.变式1-4.定义在上的函数满足,,则不等式的解集为(
).A. B. C. D.题型战法二导数的构造法-加乘不等号型典例2.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x>0时,,且g(2)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(
)A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-2,0)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)变式2-1.已知定义在上的函数满足:,且,则解集为(
)A. B. C. D.变式2-2.已知是定义在R上的函数,是的导函数,满足:,且,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.变式2-3.函数是定义是在上的可导函数,其导函数满足,则的解集是(
)A. B. C. D.变式2-4.定义在R上的函数满足,则下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.题型战法三导数的构造法-减除不等号型典例3.已知定义在R上的可导函数的导函数为f(x),满足,且,则不等式的解集为()A.(—∞,0) B.(—∞,1)C.(1,+∞) D.(0,+∞)变式3-1.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,,且f(3)=0,则不等式f(x)≥0的解集为(
)A.(﹣∞,﹣3]∪[3,+∞) B.[﹣3,3]C.(﹣∞,﹣3]∪[0,3] D.[﹣3,0]∪[3,+∞)变式3-2.设是奇函数,是的导函数,.当时,,则使得成立的x的取值范围是(
)A. B.C. D.变式3-3.定义在R上的函数的导函数为,若,,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.变式3-4.已知是定义在R上的偶函数,当时,,且,则不等式的解集是(
)A. B.C. D.题型战法四导数的构造法-带常数不等号型典例4.若函数的定义域是,,,则不等式的的解集为A. B.C. D.变式4-1.设是定义在上的函数,其导函数为,若,,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为(
)A. B. C. D.变式4-2.已知是函数的导函数,,若对任意,,则不等式的解集为(
)A. B.C. D.变式4-3.已知是定义域为的函数的导函数.若对任意实数都有,且,则不等式的解集为(
)A. B.C. D.变式4-4.已知函数的定义域为R,且,,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.题型战法五导数的双变量问题典例5.已知函数在处的切线与直线垂直,函数.(1)求实数的值;(2)若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围;(3)设是函数的两个极值点,证明:.变式5-1.已知函数在时取得极值且有两个零点.(1)求的值与实数的取值范围;(2)记函数两个相异零点,求证:.变式5-2.已知函数().(1)若是定义域上的增函数,求a的取值范围;(2)若,若函数有两个极值点,(),求的取值范围.变式5-3.已知.(1)若恒有两个极值点,(),求实数a的取值范围;(2)在(1)的条件下,证明.变式5-4.已知函数,.(1)求证:,;(2)若存在、,且当时,使得成立,求证:.题型战法六导数的极值点偏移问题典例6.已知函数有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设是的两个零点,证明:.变式6-1.已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若函数有两个零点,且,证明:.变式6-2.已知函数(且).(1),求函数在处的切线方程.(2)讨论函数的单调性;(3)若函数有两个零点,且,证明:.变式6-3.已知函数.(1)若,证明:;(2)若有两个不同的零点,求a的取值范围,并证明:.变式6-4.已知函数有两个不同的零点.(1)求实数的取值范围;(2)求证:.第三章导数3.4.1导数的构造法、双变量问题(含极值点偏移)(题型战法)知识梳理一导数的构造法加-乘不等号型构造(2)构造(3)构造(4)构造(注意对的符号进行讨论)(5)构造2、减-除不等号型(6)构造(7)构造(8)构造(9)构造(注意对的符号进行讨论)(10)构造二导数双变量问题(含极值点偏移)1、双变量问题解题步骤:统一变量-求变量范围-构造函数-求解新函数的单调性、极值、最值2、极值点偏移解题步骤:(1)求出函数的单调性;(2)构造一元差函数Fx(3)确定函数的单调性;(4)结合,判断的符号,从而确定fx、f2a−x口诀为:极值偏离对称轴,构造函数觅行踪;四个步骤环相扣,两次单调紧跟随。题型战法题型战法一导数的构造法-简单不等号型典例1.函数的定义域为,,对任意,,则的解集为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数,结合已知及导数与单调性关系即可求解.【详解】令,因为对任意,,所以,即在上单调递减,又因为,所以,由,可得,即,所以,即不等式的解集为.故选:A.【点睛】本题主要考查了利用单调性求解不等式,解题的关键是构造函数并利用导数知识求解单调性.变式1-1.函数的定义域为R,,对任意,,则的解集为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析:设,所以为减函数,又所以根据单调性的解集是考点:利用导数解不等式变式1-2.定义在R上的函数其导函数恒成立且,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数,由已知可确定在R上单调递减,可转化为,求解即可.【详解】令,∵恒成立,∴,∴在R上为减函数,∵,∴,∴,即,∴,故选:C变式1-3.已知定义域为的函数满足,,其中为导函数,则满足不等式的解集为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设则故在上单调增,且即可求解不等式.【详解】设,则,故在上单调增,又所以的解为,则不等式的解集故答案为:A变式1-4.定义在上的函数满足,,则不等式的解集为(
).A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数,然后依据导数判断函数在的单调性,最后进行判断即可.【详解】设,得由,得.故函数在上单调递增,又,故的解集为,即的解集为.故选:D题型战法二导数的构造法-加乘不等号型典例2.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x>0时,,且g(2)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(
)A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-2,0)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)【答案】A【解析】【分析】构造函数,结合已知条件求得的奇偶性、单调区间,由此解不等式求得正确答案.【详解】令,由于分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以,所以是上的奇函数,图象关于原点对称,.当时,所以在上递减,故在递减,所以的解集为.故选:A变式2-1.已知定义在上的函数满足:,且,则解集为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令,利用导数可判断其单调性,从而可解不等式.【详解】设,则,故为上的增函数,而可化为即,故即,所以不等式的解集为,故选:A.变式2-2.已知是定义在R上的函数,是的导函数,满足:,且,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数,利用导数求得的单调性,由此求得不等式的解集.【详解】令,则,所以在R上单调递增,不等式可化为,而,则,即,所以,即不等式解集为.故选:D变式2-3.函数是定义是在上的可导函数,其导函数满足,则的解集是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令,利用导数说明其单调性,即可得到不等式的解集;【详解】解:令,则,因为,所以当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减,所以在处取得极大值也就是最大值,,所以恒成立,又当时,所以,所以恒成立,即的解集是故选:D变式2-4.定义在R上的函数满足,则下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数,求出导函数,结合已知判断函数的单调性,从而可得出结论.【详解】解:令,则,因为,,所以,所以函数为减函数,所以,即,所以.故选:D.题型战法三导数的构造法-减除不等号型典例3.已知定义在R上的可导函数的导函数为f(x),满足,且,则不等式的解集为()A.(—∞,0) B.(—∞,1)C.(1,+∞) D.(0,+∞)【答案】D【解析】【分析】首先设函数,利用导数判断函数的单调性,不等式等价于,利用函数的单调性,即可求解.【详解】设,,所以函数单调递减,且,不等式,所以.故选:D变式3-1.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,,且f(3)=0,则不等式f(x)≥0的解集为(
)A.(﹣∞,﹣3]∪[3,+∞) B.[﹣3,3]C.(﹣∞,﹣3]∪[0,3] D.[﹣3,0]∪[3,+∞)【答案】D【解析】【分析】依题可设,(x>0),由其导数可知在上为增函数,又由f(3)=0可得g(3)=0,分析可得g(x)的符号,进而分析f(x)在(0,+∞)上的符号规律,结合函数的奇偶性即可解出.【详解】设,(x>0),则其导数,而当x>0时,所以g′(x)>0,即g(x)在(0,+∞)上为增函数,又由f(3)=0,则0,所以区间(0,3)上,g(x)<0,在区间(3,+∞)上,g(x)>0,则在区间(0,3)上,f(x)<0,在区间(3,+∞)上,f(x)>0,又由f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,,且在区间(﹣∞,﹣3)上,f(x)<0,在区间(﹣3,0)上,f(x)>0,综合可得:不等式f(x)≥0的解集为[﹣3,0]∪[3,+∞).故选:D.变式3-2.设是奇函数,是的导函数,.当时,,则使得成立的x的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】构造函数,利用导数可得函数的在的单调性,然后利用函数的奇偶性可得在的单调性,最后简单判断可得结果.【详解】令,所以当当时,,所以所以可知的在的单调递增,又是奇函数且,所以,则由,所以函数为的偶函数且在单调递减,当时,的解集为当时,的解集为综上所述:的解集为:故选:D变式3-3.定义在R上的函数的导函数为,若,,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】令,对函数求导判断出单调性,利用的单调性解出不等式即可.【详解】令,则,所以在R上单调递增.因为,所以不等式,可变形得,即,所以,解得.故选:D变式3-4.已知是定义在R上的偶函数,当时,,且,则不等式的解集是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接构造函数,通过研究新函数在定义域内单调性并结合奇偶性解不等式.【详解】解:令,是定义在上的偶函数,∴函数为奇函数,当时,,函数在上为增函数,又函数为奇函数,函数在上为增函数,∵,∴,当时,由,得,当时,由,得,综上所述,不等式的解集是.故选:D.题型战法四导数的构造法-带常数不等号型典例4.若函数的定义域是,,,则不等式的的解集为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数,问题转化为,求导判断单调性即可.【详解】构造函数,则不等式可转化为,则,∵,∴,则函数在上单调递减,∵,∴,则的解集为,则不等式的解集为.故选:A.【点睛】本题主要考查不等式的解法,适当构造函数,利用导数求解是解题的关键.变式4-1.设是定义在上的函数,其导函数为,若,,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】构造函数,用导数研究其单调性,再将不等式转化为,即求解.【详解】因为满足,,令,则,所以在R上是增函数,又,则,不等式可化为,即,所以,所不等式的解集是,故选:C变式4-2.已知是函数的导函数,,若对任意,,则不等式的解集为(
)A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令,利用导数说明函数的单调性,即可得到不等式的解集;【详解】解:令,则,,,,即在上单调递减,又,,当时,即,即,的解集为.故选:A.变式4-3.已知是定义域为的函数的导函数.若对任意实数都有,且,则不等式的解集为(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意原等价于不等式,构造函数,利用导数说明函数的单调性,即可得到,从而得解;【详解】解:不等式,等价于不等式,构造函数,则,若对任意实数都有,则,在上单调递增,又,故即,故不等式的解集是,故选:B.变式4-4.已知函数的定义域为R,且,,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设g(x)=,根据已知条件可得函数在定义域上单调递减,从而将不等式转化为的解集,从而可得出答案.【详解】解:设=,则=,∵,∴,∴,∴y=g(x)在定义域上单调递减,∵∴=,又=,∴,∴,∴的解集为.故选:A.题型战法五导数的双变量问题典例5.已知函数在处的切线与直线垂直,函数.(1)求实数的值;(2)若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围;(3)设是函数的两个极值点,证明:.【答案】(1)(2)(3)答案见详解【解析】【分析】(1)求出,利用切线与直线垂直可得切线的斜率,结合导数的几何意义即可求解;(2)由题意可知在在上有解,构造函数,列出不等式即可求解;(3)由极值点的定义可知,是的两个根从而由韦达定理可以表示出,将问题转化为,构造函数,利用导数证明即可.(1)函数的定义域为,,由已知得在处的切线的斜率为,则,即,解得;(2)由(1)得,则,∵函数存在单调递减区间,∴在上有解,∵,设,则,∴只需或,解得或,故实数的取值范围为;(3)证明:由题意可知,,∵有两个极值点,,∴,是的两个根,则,∴,∴要证,即证,即证,即证,即证,令,则证明,令,则,∴在上单调递增,则,即,所以原不等式成立.变式5-1.已知函数在时取得极值且有两个零点.(1)求的值与实数的取值范围;(2)记函数两个相异零点,求证:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)先对函数求导,根据极值点求出,得到函数解析式,再由有两个零点,得到方程有2个不同实根,令,根据导数的方法研究单调性与最值,即可求出的取值范围;(2)利用函数零点的性质,结合函数单调性和导数之间的关系,进行转化即可证明不等式.【详解】(1)因为,所以,又在时取得极值,所以,即;所以,因为有两个零点,所以方程有2个不同实根,令,则,由得;由得;所以函数在上单调递增;在上单调递减,所以,又时,;时,;因此,要使方程有2个不同实根,只需与有两不同交点,所以;(2)因为函数两个相异零点,所以,①;即,即②;又等价于,即③;由①②③可得;不妨令,则,上式可化为;设,则在上恒成立;故函数在上单调递增;所以,即不等式成立;因此,所证不等式成立.【点睛】本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数单调性、极值、最值等,属于常考题型.变式5-2.已知函数().(1)若是定义域上的增函数,求a的取值范围;(2)若,若函数有两个极值点,(),求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由题得,化为恒成立,即得解;(2)先求出,,再求出,令,则,得,求出即得解.【详解】(1)的定义域为,,∵在定义域内单调递增,∴,即对恒成立.则恒成立.∴,∵,∴.所以,a的取值范围是.(2)设方程,即得两根为,,且.由且,得,∵,,∴,∴.,∵,∴代入得,令,则,得,,,∴而且上递减,从而,即,∴.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数研究函数的极值和双变量问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.变式5-3.已知.(1)若恒有两个极值点,(),求实数a的取值范围;(2)在(1)的条件下,证明.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据极值点的定义可知方程有两个不等实根,即函数与图像有两个交点,利用导数研究函数的单调性求出的值域,结合图形即可得出结果;(2)构造函数,根据导数研究它的单调性进而得,有,构造函数(),利用导数证明,结合即可证明.(1)函数的定义域为,,则方程有两个不同的正根,即函数与图像有两个交点,,令,令,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以,且当时,,当时,,如图,由图可知;(2)设,则,在单调递增,故,即.而,故,又,,在单调递减,故,即;由知;由(1)知,,为函数的极值点,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,时,函数单调递减,所以,故,令().,,令,故当时,单调递增,且,所以,故单调递减,由,得,即,即.【点睛】破解含双参不等式证明题的3个关键点:(1)转化,即由已知条件入手,寻找双参所满足的关系式,并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.(2)巧构造函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值.(3)回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果.变式5-4.已知函数,.(1)求证:,;(2)若存在、,且当时,使得成立,求证:.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)构造函数,其中,利用导数分析函数在上的单调性,可得出,即可证得结论成立;(2)先证明对数平均不等式,其中,分析可知,不妨设,由已知条件推导出,再结合对数平均不等式可证得结论成立.(1)证明:构造函数,其中,则,因为,则,,即当时,,所以,函数在上单调递减,故当时,,即.(2)证明:先证明对数平均不等式,其中,即证,令,即证,令,其中,则,所以,函数在上为减函数,当时,,所以,当时,,本题中,若,则,此时函数在上单调递减,不合乎题意,所以,,由(1)可知,函数在上单调递减,不妨设,则,则,即,所以,,因为,则,所以,,所以,,所以,,所以,,由对数平均不等式可得,可得,所以,.【点睛】方法点睛:应用对数平均不等式证明极值点偏移:①由题中等式中产生对数;②将所得含对数的等式进行变形得到;③利用对数平均不等式来证明相应的问题.题型战法六导数的极值点偏移问题典例6.已知函数有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设是的两个零点,证明:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)等价于有两个零点,设,求出函数的最小值利用零点存在性定理分析即得解;(2)不妨设,等价于证明,再利用极值点偏移的方法证明.(1)解:由,得,设,则,,因为,所以当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.又因为,所以,,,所以a的取值范围是.(2)证明:不妨设,由(1)知,则,,,又在上单调递增,所以等价于,即.设,则.设,则,设,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增,又因为,,,所以存在,使得,当时,,即,当时,,即,所以在上单调递减,在上单调递增.又因为,,所以当时,,当时,,所以当时,,单调递减,因为,所以,所以,即原命题得证.【点睛】关键点睛:解答本题的关键是掌握极值点偏移的解题方法,对于这些典型题型,学生要理解并灵活掌握.变式6-1.已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若函数有两个零点,且,证明:.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)先求导函数,对参数a分类讨论,即可得单调区间.(2)将零点代入原方程并作差,可得,从而得,,再换元,问题转化为证明恒成立,即可证明.(1)解:函数的定义域为,.①当时,令,得,则在上单调递减;令,得,则在上单调递增.②当时,令,得,则在上单调递减;令,得,则在上单调递增.综上所述,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)证明:因为为的两个零点,所以,,两式相减,可得,即,,因此,,.令,则,令,则,所以函数在上单调递增,所以,即.因为,所以,故得证.变式6-2.已知函数(且).(1),求函数在处的切线方程.(2)讨论函数的单调性;(3)若函数有两个零点,且,证明:.【答案】(1);(2)答案见解析;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)利用导数求出切线的斜率,利用点斜式写出切线方程;(2)求出导函数,对a分类讨论:a<0和a>0分别讨论单调性;(3)本题属于极值点偏移,利用分析法转化为只要证明f(2e-x2)>0,由构造函数,利用导数证明出g(t)在(e,2e)上是递增的,得到g(t)>g(e)=0即为f(2e-x2)>0.(1)当时,,所以.,所以.所以函数在处的切线方程为,
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