高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)3.4.1导数的构造法、双变量问题(含极值点偏移)(题型战法)(原卷版+解析)

第三章导数3.4.1导数的构造法、双变量问题（含极值点偏移）（题型战法）知识梳理一导数的构造法加-乘不等号型构造（2）构造（3）构造（4）构造（注意对的符号进行讨论）（5）构造2、减-除不等号型（6）构造（7）构造（8）构造（9）构造（注意对的符号进行讨论）（10）构造二导数双变量问题（含极值点偏移）1、双变量问题解题步骤：统一变量-求变量范围-构造函数-求解新函数的单调性、极值、最值2、极值点偏移解题步骤：（1）求出函数的单调性；（2）构造一元差函数Fx（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定fx、f2a−x口诀为：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随。题型战法题型战法一导数的构造法-简单不等号型典例1．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为(

)A． B． C． D．变式1-1．函数的定义域为R，，对任意，，则的解集为（）A． B． C． D．变式1-2．定义在R上的函数其导函数恒成立且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．变式1-3．已知定义域为的函数满足，，其中为导函数，则满足不等式的解集为（

）A． B． C． D．变式1-4．定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（

）.A． B． C． D．题型战法二导数的构造法-加乘不等号型典例2．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x>0时，，且g（2）=0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是（

）A．（-2，0）∪（2，+∞） B．（-2，0）∪（0，2）C．（-∞，-2）∪（0，2） D．（-∞，-2）∪（2，+∞）变式2-1．已知定义在上的函数满足：，且，则解集为（

）A． B． C． D．变式2-2．已知是定义在R上的函数，是的导函数，满足：，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．变式2-3．函数是定义是在上的可导函数，其导函数满足，则的解集是（

）A． B． C． D．变式2-4．定义在R上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．题型战法三导数的构造法-减除不等号型典例3．已知定义在R上的可导函数的导函数为f（x），满足，且，则不等式的解集为（）A．（—∞，0） B．（—∞，1）C．（1，+∞） D．（0，+∞）变式3-1．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时,，且f（3）＝0，则不等式f（x）≥0的解集为（

）A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．[﹣3，3]C．（﹣∞，﹣3]∪[0，3] D．[﹣3，0]∪[3，+∞）变式3-2．设是奇函数，是的导函数，．当时，，则使得成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．变式3-3．定义在R上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．变式3-4．已知是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．题型战法四导数的构造法-带常数不等号型典例4．若函数的定义域是，，，则不等式的的解集为A． B．C． D．变式4-1．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（

）A． B． C． D．变式4-2．已知是函数的导函数，，若对任意，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．变式4-3．已知是定义域为的函数的导函数.若对任意实数都有，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．变式4-4．已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．题型战法五导数的双变量问题典例5．已知函数在处的切线与直线垂直，函数.(1)求实数的值；(2)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；(3)设是函数的两个极值点，证明：.变式5-1．已知函数在时取得极值且有两个零点.（1）求的值与实数的取值范围；（2）记函数两个相异零点，求证：.变式5-2．已知函数（）.（1）若是定义域上的增函数，求a的取值范围；（2）若，若函数有两个极值点，（），求的取值范围.变式5-3．已知.(1)若恒有两个极值点，（），求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明.变式5-4．已知函数，.(1)求证：，；(2)若存在、，且当时，使得成立，求证：.题型战法六导数的极值点偏移问题典例6．已知函数有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设是的两个零点，证明：．变式6-1．已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若函数有两个零点，且，证明：.变式6-2．已知函数（且）．(1)，求函数在处的切线方程．(2)讨论函数的单调性；(3)若函数有两个零点，且，证明：．变式6-3．已知函数．(1)若，证明：；(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．变式6-4．已知函数有两个不同的零点.(1)求实数的取值范围；(2)求证：.第三章导数3.4.1导数的构造法、双变量问题（含极值点偏移）（题型战法）知识梳理一导数的构造法加-乘不等号型构造（2）构造（3）构造（4）构造（注意对的符号进行讨论）（5）构造2、减-除不等号型（6）构造（7）构造（8）构造（9）构造（注意对的符号进行讨论）（10）构造二导数双变量问题（含极值点偏移）1、双变量问题解题步骤：统一变量-求变量范围-构造函数-求解新函数的单调性、极值、最值2、极值点偏移解题步骤：（1）求出函数的单调性；（2）构造一元差函数Fx（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定fx、f2a−x口诀为：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随。题型战法题型战法一导数的构造法-简单不等号型典例1．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，结合已知及导数与单调性关系即可求解．【详解】令，因为对任意，，所以，即在上单调递减，又因为，所以，由，可得，即，所以，即不等式的解集为．故选：A．【点睛】本题主要考查了利用单调性求解不等式，解题的关键是构造函数并利用导数知识求解单调性．变式1-1．函数的定义域为R，，对任意，，则的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】试题分析：设，所以为减函数，又所以根据单调性的解集是考点：利用导数解不等式变式1-2．定义在R上的函数其导函数恒成立且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】构造函数，由已知可确定在R上单调递减，可转化为，求解即可.【详解】令，∵恒成立，∴，∴在R上为减函数，∵，∴，∴，即，∴，故选：C变式1-3．已知定义域为的函数满足，，其中为导函数，则满足不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设则故在上单调增，且即可求解不等式.【详解】设，则，故在上单调增，又所以的解为，则不等式的解集故答案为：A变式1-4．定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】构造函数，然后依据导数判断函数在的单调性，最后进行判断即可.【详解】设，得由，得.故函数在上单调递增，又，故的解集为，即的解集为.故选：D题型战法二导数的构造法-加乘不等号型典例2．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x>0时，，且g（2）=0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是（

）A．（-2，0）∪（2，+∞） B．（-2，0）∪（0，2）C．（-∞，-2）∪（0，2） D．（-∞，-2）∪（2，+∞）【答案】A【解析】【分析】构造函数，结合已知条件求得的奇偶性、单调区间，由此解不等式求得正确答案.【详解】令，由于分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以，所以是上的奇函数，图象关于原点对称，.当时，所以在上递减，故在递减，所以的解集为.故选：A变式2-1．已知定义在上的函数满足：，且，则解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式.【详解】设，则，故为上的增函数，而可化为即，故即，所以不等式的解集为，故选：A.变式2-2．已知是定义在R上的函数，是的导函数，满足：，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数求得的单调性，由此求得不等式的解集.【详解】令，则，所以在R上单调递增，不等式可化为，而，则，即，所以，即不等式解集为.故选：D变式2-3．函数是定义是在上的可导函数，其导函数满足，则的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】令，利用导数说明其单调性，即可得到不等式的解集；【详解】解：令，则，因为，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值也就是最大值，，所以恒成立，又当时，所以，所以恒成立，即的解集是故选：D变式2-4．定义在R上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】构造函数，求出导函数，结合已知判断函数的单调性，从而可得出结论.【详解】解：令，则，因为，，所以，所以函数为减函数，所以，即，所以.故选：D.题型战法三导数的构造法-减除不等号型典例3．已知定义在R上的可导函数的导函数为f（x），满足，且，则不等式的解集为（）A．（—∞，0） B．（—∞，1）C．（1，+∞） D．（0，+∞）【答案】D【解析】【分析】首先设函数，利用导数判断函数的单调性，不等式等价于，利用函数的单调性，即可求解.【详解】设，，所以函数单调递减，且，不等式，所以.故选：D变式3-1．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时,，且f（3）＝0，则不等式f（x）≥0的解集为（

）A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．[﹣3，3]C．（﹣∞，﹣3]∪[0，3] D．[﹣3，0]∪[3，+∞）【答案】D【解析】【分析】依题可设，（x＞0），由其导数可知在上为增函数，又由f（3）＝0可得g（3）＝0，分析可得g（x）的符号，进而分析f（x）在（0，+∞）上的符号规律，结合函数的奇偶性即可解出.【详解】设，（x＞0），则其导数，而当x＞0时，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数，又由f（3）＝0，则0，所以区间（0，3）上，g（x）＜0，在区间（3，+∞）上，g（x）＞0，则在区间（0，3）上，f（x）＜0，在区间（3，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，，且在区间（﹣∞，﹣3）上，f（x）＜0，在区间（﹣3，0）上，f（x）＞0，综合可得：不等式f（x）≥0的解集为[﹣3，0]∪[3，+∞）．故选：D.变式3-2．设是奇函数，是的导函数，．当时，，则使得成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】构造函数，利用导数可得函数的在的单调性，然后利用函数的奇偶性可得在的单调性，最后简单判断可得结果.【详解】令，所以当当时，，所以所以可知的在的单调递增，又是奇函数且，所以，则由，所以函数为的偶函数且在单调递减，当时，的解集为当时，的解集为综上所述：的解集为：故选：D变式3-3．定义在R上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，对函数求导判断出单调性，利用的单调性解出不等式即可．【详解】令，则，所以在R上单调递增．因为，所以不等式，可变形得，即，所以，解得．故选：D变式3-4．已知是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】直接构造函数，通过研究新函数在定义域内单调性并结合奇偶性解不等式．【详解】解：令，是定义在上的偶函数，∴函数为奇函数，当时，，函数在上为增函数，又函数为奇函数，函数在上为增函数，∵，∴，当时，由，得，当时，由，得，综上所述，不等式的解集是.故选：D.题型战法四导数的构造法-带常数不等号型典例4．若函数的定义域是，，，则不等式的的解集为A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，问题转化为，求导判断单调性即可.【详解】构造函数，则不等式可转化为，则，∵，∴，则函数在上单调递减，∵，∴，则的解集为，则不等式的解集为.故选：A.【点睛】本题主要考查不等式的解法，适当构造函数，利用导数求解是解题的关键.变式4-1．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】构造函数，用导数研究其单调性，再将不等式转化为，即求解.【详解】因为满足，，令，则，所以在R上是增函数，又，则，不等式可化为，即，所以，所不等式的解集是，故选：C变式4-2．已知是函数的导函数，，若对任意，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到不等式的解集；【详解】解：令，则，，，，即在上单调递减，又，，当时，即，即，的解集为．故选：A．变式4-3．已知是定义域为的函数的导函数.若对任意实数都有，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依题意原等价于不等式，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解；【详解】解：不等式，等价于不等式，构造函数，则，若对任意实数都有，则，在上单调递增，又，故即，故不等式的解集是，故选：B．变式4-4．已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设g（x）＝，根据已知条件可得函数在定义域上单调递减，从而将不等式转化为的解集，从而可得出答案.【详解】解：设＝，则＝，∵，∴，∴，∴y＝g（x）在定义域上单调递减，∵∴＝，又＝，∴，∴，∴的解集为．故选：A．题型战法五导数的双变量问题典例5．已知函数在处的切线与直线垂直，函数.(1)求实数的值；(2)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；(3)设是函数的两个极值点，证明：.【答案】(1)(2)(3)答案见详解【解析】【分析】（1）求出，利用切线与直线垂直可得切线的斜率，结合导数的几何意义即可求解；（2）由题意可知在在上有解，构造函数，列出不等式即可求解；（3）由极值点的定义可知，是的两个根从而由韦达定理可以表示出，将问题转化为，构造函数，利用导数证明即可.(1)函数的定义域为，，由已知得在处的切线的斜率为，则，即，解得；(2)由（1）得，则，∵函数存在单调递减区间，∴在上有解，∵，设，则，∴只需或，解得或，故实数的取值范围为；(3)证明：由题意可知，，∵有两个极值点，，∴，是的两个根，则，∴，∴要证，即证，即证，即证，即证，令，则证明，令，则，∴在上单调递增，则，即，所以原不等式成立．变式5-1．已知函数在时取得极值且有两个零点.（1）求的值与实数的取值范围；（2）记函数两个相异零点，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，根据极值点求出，得到函数解析式，再由有两个零点，得到方程有2个不同实根，令，根据导数的方法研究单调性与最值，即可求出的取值范围；（2）利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，进行转化即可证明不等式.【详解】（1）因为，所以，又在时取得极值，所以，即；所以，因为有两个零点，所以方程有2个不同实根，令，则，由得；由得；所以函数在上单调递增；在上单调递减，所以，又时，；时，；因此，要使方程有2个不同实根，只需与有两不同交点，所以；（2）因为函数两个相异零点，所以，①；即，即②；又等价于，即③；由①②③可得；不妨令，则，上式可化为；设，则在上恒成立；故函数在上单调递增；所以，即不等式成立；因此，所证不等式成立.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性、极值、最值等，属于常考题型.变式5-2．已知函数（）.（1）若是定义域上的增函数，求a的取值范围；（2）若，若函数有两个极值点，（），求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题得，化为恒成立，即得解；（2）先求出，，再求出，令，则，得，求出即得解.【详解】（1）的定义域为，，∵在定义域内单调递增，∴，即对恒成立.则恒成立.∴，∵，∴.所以，a的取值范围是.（2）设方程，即得两根为，，且.由且，得，∵，，∴，∴.，∵，∴代入得，令，则，得，，，∴而且上递减，从而，即，∴.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值和双变量问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.变式5-3．已知.(1)若恒有两个极值点，（），求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据极值点的定义可知方程有两个不等实根，即函数与图像有两个交点，利用导数研究函数的单调性求出的值域，结合图形即可得出结果；(2)构造函数，根据导数研究它的单调性进而得，有，构造函数（），利用导数证明，结合即可证明.(1)函数的定义域为，，则方程有两个不同的正根，即函数与图像有两个交点，，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，且当时，，当时，，如图，由图可知；(2)设，则，在单调递增，故，即.而，故，又，，在单调递减，故，即；由知；由(1)知，，为函数的极值点，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，时，函数单调递减，所以，故，令（）.，，令，故当时，单调递增，且，所以，故单调递减，由，得，即，即.【点睛】破解含双参不等式证明题的3个关键点：(1)转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.(2)巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.(3)回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.变式5-4．已知函数，.(1)求证：，；(2)若存在、，且当时，使得成立，求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，即可证得结论成立；（2）先证明对数平均不等式，其中，分析可知，不妨设，由已知条件推导出，再结合对数平均不等式可证得结论成立.(1)证明：构造函数，其中，则，因为，则，，即当时，，所以，函数在上单调递减，故当时，，即.(2)证明：先证明对数平均不等式，其中，即证，令，即证，令，其中，则，所以，函数在上为减函数，当时，，所以，当时，，本题中，若，则，此时函数在上单调递减，不合乎题意，所以，，由（1）可知，函数在上单调递减，不妨设，则，则，即，所以，，因为，则，所以，，所以，，所以，，所以，，由对数平均不等式可得，可得，所以，.【点睛】方法点睛：应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.题型战法六导数的极值点偏移问题典例6．已知函数有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设是的两个零点，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）等价于有两个零点，设，求出函数的最小值利用零点存在性定理分析即得解；（2）不妨设，等价于证明，再利用极值点偏移的方法证明.(1)解：由，得，设，则，，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．又因为，所以，，，所以a的取值范围是．(2)证明：不妨设，由（1）知，则，，，又在上单调递增，所以等价于，即．设，则．设，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又因为，，，所以存在，使得，当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．又因为，，所以当时，，当时，，所以当时，，单调递减，因为，所以，所以，即原命题得证．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是掌握极值点偏移的解题方法，对于这些典型题型，学生要理解并灵活掌握.变式6-1．已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若函数有两个零点，且，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)先求导函数，对参数a分类讨论，即可得单调区间.(2)将零点代入原方程并作差，可得，从而得，,再换元，问题转化为证明恒成立，即可证明.(1)解：函数的定义域为，.①当时，令，得，则在上单调递减；令，得，则在上单调递增.②当时，令，得，则在上单调递减；令，得，则在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)证明：因为为的两个零点，所以，，两式相减，可得，即，，因此，，.令，则，令，则，所以函数在上单调递增，所以，即.因为，所以，故得证.变式6-2．已知函数（且）．(1)，求函数在处的切线方程．(2)讨论函数的单调性；(3)若函数有两个零点，且，证明：．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；（2）求出导函数，对a分类讨论：a<0和a>0分别讨论单调性；（3）本题属于极值点偏移，利用分析法转化为只要证明f(2e-x2)>0，由构造函数，利用导数证明出g(t)在(e，2e)上是递增的，得到g(t)>g(e)=0即为f(2e-x2)>0.(1)当时，，所以.，所以.所以函数在处的切线方程为，