高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)8.3.1双曲线(题型战法)(原卷版+解析)

第八章平面解析几何8.3.1双曲线（题型战法）知识梳理一定义及标准方程定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。符号表示：方程：（1）焦点在x轴上：（2）焦点在y轴上：二简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点顶点轴长实轴长2a虚轴长2b实轴长2a虚轴长2b离心率渐近线通径a,b,c关系题型战法题型战法一双曲线的定义及辨析典例1．已知，，若点满足，则P点的轨迹为（

）A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．一条射线变式1-1．设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PA|-|PB||=3，则P点的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线变式1-2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（

）A． B． C．或 D．或变式1-3．如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（

）A．3 B．4 C．6 D．8变式1-4．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为A．6 B．7 C．8 D．9题型战法二双曲线中的焦点三角形典例2．设点在双曲线上，若､为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于（

）A． B． C． D．变式2-1．已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（

）A．28 B．36 C．44 D．48变式2-2．设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（

）．A． B． C． D．变式2-3．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B． C． D．30变式2-4．已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C的右支上一点，且，则的面积为（

）A． B． C．2 D．4题型战法三双曲线上的点到焦点与定点距离的和、差最值典例3．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（

）A．9 B．8 C．7 D．6变式3-1．已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（

）A．6 B．7 C． D．5变式3-2．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（

）．A．8 B．7 C．6 D．5变式3-3．已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（

）A．3 B．1 C． D．变式3-4．已知平面上定点和，又点为双曲线右支上的动点，则的最大值为（

）.A．8 B．10 C．11 D．13题型战法四根据方程表示双曲线求参数的范围典例4．若方程表示双曲线，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．变式4-1．已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（

）．A． B． C． D．或5变式4-2．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．且变式4-3．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．变式4-4．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型战法五双曲线的标准方程典例5．已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．变式5-1．已知双曲线的虚轴长为，离心率为，则其方程是（

）A． B． C． D．变式5-2．已知，分别是双曲线的左､右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．变式5-3．已知是双曲线：的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于.两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的标准方程为（

）A． B． C． D．变式5-4．若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．题型战法六双曲线的轨迹方程典例6．设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（

）A． B．C． D．变式6-1．动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．变式6-2．在中，已知，且，则的轨迹方程是（）A． B． C． D．变式6-3．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为A．B．C．（）D．（）变式6-4．已知点和圆：，是圆上的动点，直线与线段的垂直平分线交于点，则点所满足的轨迹方程为（）A． B． C． D．题型战法七双曲线的渐近线典例7．已知O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．变式7-1．已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（

）A． B． C． D．变式7-2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于，若，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．变式7-3．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（

）A． B． C． D．变式7-4．过点，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（

）A． B． C． D．题型战法八双曲线的离心率典例8．已知双曲线的一个焦点到的一条渐近线的距离为，则的离心率为（

）A． B． C． D．变式8-1．设双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为（

）A． B．2 C．3 D．变式8-2．已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3变式8-3．如图，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．变式8-4．已知双曲线，其左、右焦点分别为，．点到的一条渐近线的距离为1，若双曲线的焦点在轴上且与具有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．题型战法九双曲线的离心率的取值范围典例9．、分别为双曲线：的左、右焦点，存在过的一条直线与双曲线的左支分别交于、两点且满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．变式9-1．已知为双曲线的左焦点，若双曲线右支上存在一点，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．变式9-2．设分别是双曲线左、右焦点，是双曲线右支上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．变式9-3．已知是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．变式9-4．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，，两点在双曲线的右支上，为中点，为轴上一点，且.若，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．第八章平面解析几何8.3.1双曲线（题型战法）知识梳理一定义及标准方程定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。符号表示：方程：（1）焦点在x轴上：（2）焦点在y轴上：二简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点顶点轴长实轴长2a虚轴长2b实轴长2a虚轴长2b离心率渐近线通径a,b,c关系题型战法题型战法一双曲线的定义及辨析典例1．已知，，若点满足，则P点的轨迹为（

）A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．一条射线【答案】D【分析】利用|PF1【详解】已知，，点满足，且，即|PF1|−|PF2|=|F1故P的轨迹方程为一条射线．故选：D．变式1-1．设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PA|-|PB||=3，则P点的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】C【分析】根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：因为，所以P点的轨迹是双曲线.故选：C.变式1-2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】由双曲线定义可直接构造方程求得结果.【详解】由双曲线方程知：；根据双曲线定义知：，解得：（舍）或.故选：B.变式1-3．如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为，连接，根据双曲线的对称性得到，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，因为双曲线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得，所以.故选：C.变式1-4．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】可得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，由已知可得当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，可得答案.【详解】解：易得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，此时==6+3=9【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大是解题的关键.题型战法二双曲线中的焦点三角形典例2．设点在双曲线上，若､为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由双曲线方程求得焦距，然后由双曲线的定义和已知焦半径之比，求得，从而得三角形周长．【详解】解：由题意知，由双曲线定义知，又，的周长为：.故选：A.变式2-1．已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（

）A．28 B．36 C．44 D．48【答案】C【分析】根据双曲线的定义求解即可.【详解】如图所示：∵双曲线的左焦点为，∴点是双曲线的右焦点，又，∴虚轴长为2b＝8，∴．∵①，②，∴①+②得，∴的周长．故选：C变式2-2．设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用双曲线的定义可得，又，进而即得.【详解】∵双曲线，∴，又点P在双曲线C的右支上，，所以，，即，又，∴面积为.故选：B.变式2-3．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B． C． D．30【答案】A【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长，进而求得的面积【详解】由，可得又是是双曲线上的一点，则，则，，又则，则则的面积等于故选：A变式2-4．已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C的右支上一点，且，则的面积为（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】根据双曲线的标准方程求出，再根据双曲线的定义求出，利用余弦定理求出，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】∵在双曲线中，，∴.∵，∴.∴在中，，∴，∴的面积为.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的定义、求焦点三角形面积，属于基础题.题型战法三双曲线上的点到焦点与定点距离的和、差最值典例3．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案【详解】由，得，则，所以左焦点为，右焦点，则由双曲线的定义得，因为点在双曲线的两支之间，所以，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为9，故选：A变式3-1．已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（

）A．6 B．7 C． D．5【答案】A【分析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.【详解】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以．故选：A变式3-2．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（

）．A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【分析】求得双曲线的，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接，交双曲线于，圆于，计算可得所求最小值．【详解】解：由题意双曲线的一条渐近线方程为，可得，则，可得双曲线，焦点为，，由双曲线的定义可得，由圆可得圆心，半径，，连接，交双曲线于，圆于，可得取得最小值，且为，则的最小值为．故选：．变式3-3．已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【分析】由双曲线定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面几何性质得结论．【详解】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为，所以，当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号.故选：C．变式3-4．已知平面上定点和，又点为双曲线右支上的动点，则的最大值为（

）.A．8 B．10 C．11 D．13【答案】D【分析】由题意可得点为双曲线的左焦点，设点为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得，然后求出的最大值即可.【详解】由题意可得点为双曲线的左焦点，设点为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得，所以，由图可得，当三点共线时，取得最大值，最大值为，所以的最大值为13，故选：D【点睛】本题主要考查的是双曲线定义的应用，属于常考题型.题型战法四根据方程表示双曲线求参数的范围典例4．若方程表示双曲线，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义可知与同号，从而可求出m的取值范围【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得，故选：A变式4-1．已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（

）．A． B． C． D．或5【答案】C【分析】根据题意可得，解之即可得解.【详解】解：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，解得．故选：C.变式4-2．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．且【答案】A【分析】根据双曲线定义，且焦点在y轴上，则可直接列出相关不等式.【详解】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则必有：，且解得：故选：变式4-3．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的标准方程形式，直接列出不等关系即可解得答案.【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得，即，故选：B.变式4-4．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的标准方程的特点列式可解得结果.【详解】因为方程表示双曲线，所以，即，所以且，故选：D.题型战法五双曲线的标准方程典例5．已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得，然后由三角形面积、双曲线的定义、勾股定理联立可求得得双曲线方程．【详解】，是的中点，所以，，则，，解得，所以双曲线方程为．故选：D．变式5-1．已知双曲线的虚轴长为，离心率为，则其方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，得到，结合，求得的值，即可求解.【详解】由题意，双曲线的虚轴长为，离心率为，可得，即，因为，解得：.所以曲线的方程为.故选：C.变式5-2．已知，分别是双曲线的左､右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设点为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得，，在中，根据大边对大角可知为最小角，进而根据余弦定理求得，再得到，即可得到答案.【详解】设点为双曲线右支上一点，则，因为，且，所以，，由题，因为，则，所以为最小角，故，所以在中，由余弦定理可得，，解得，所以，所以双曲线的标准方程为.故选：B变式5-3．已知是双曲线：的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于.两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别根据所给双曲线方程求出，，根据解出即可.【详解】设，代入双曲线方程可得，所以，不妨取一条渐近线，则到直线的距离，因为，所以，解得,所以双曲线的方程为，故选：A变式5-4．若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圆的方程解出两点坐标，利用双曲线的图像和性质计算即可.【详解】将代入解得点坐标分别为，因为两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，所以双曲线焦点在轴上且，解得，所以双曲线方程为：.故选：B.题型战法六双曲线的轨迹方程典例6．设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设动点，根据已知条件，结合斜率公式，即可求解.【详解】解：设动点，则，则，，，直线与直线的斜率之积为定值，，化简可得，，故点的轨迹方程为.故选：C.变式6-1．动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先设，半径为，根据动圆与圆，都外切得到，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可.【详解】圆：，圆心，半径.圆：，圆心，半径.设，半径为，因为动圆与圆，都外切，所以，所以的轨迹为以为焦点，的双曲线左支.所以，，解得，即的轨迹方程为：.故选：D变式6-2．在中，已知，且，则的轨迹方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】据正弦定理，将化为，判断出点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，根据数据求出其方程即可．【详解】，由正弦定理得，即，由双曲线的定义可知：点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且，，.顶点的轨迹方程为，故选B【点睛】本题考查双曲线轨迹方程的求解，同时也考查三角形正弦定理边角互化思想的应用，属于基础题.变式6-3．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为A． B．C．（） D．（）【答案】B【解析】如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案.【详解】如图所示：连接，根据垂直平分线知，故，故轨迹为双曲线，，，，故，故轨迹方程为.故选：.【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.变式6-4．已知点和圆：，是圆上的动点，直线与线段的垂直平分线交于点，则点所满足的轨迹方程为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件判断出点满足双曲线的定义，由此求得点的轨迹方程.【详解】画出去向如下图所示，根据线段垂直平分线的性质可知,故，所以点满足双曲线的定义，即，故点的轨迹方程为，故选C.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义以及双曲线标准方程的求法，考查垂直平分线的几何性质，属于基础题.题型战法七双曲线的渐近线典例7．已知O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得，即可求得，从而写出渐近线方程.【详解】由已知，点的坐标为，故，因为以F为圆心的圆经过点A，O，所以，则△为等边三角形，所以，则，所以双曲线C的渐近线方程为.故选：变式7-1．已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据离心率求出的值，再根据渐近线方程求解即可.【详解】因为双曲线焦点在轴上，所以渐近线方程为：，又因为双曲线离心率为，且，所以，解得，即渐近线方程为：.故选：A.变式7-2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于，若，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线与圆相切及三角形的性质，结合双曲线的定义可得，进而得解.【详解】如图所示，设与圆相切于点，过作，故，，又，则，则，，由双曲线定义得，即，故渐近线方程为，故选：B.变式7-3．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可的解.【详解】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点，得，解得，所以所求双曲线方程为，即故选：C.变式7-4．过点，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据有相同的渐近线可设所求双曲线方程为，把点代入即可求解.【详解】设所求双曲线方程为，则.故所求双曲线方程是，即.故选:D.题型战法八双曲线的离心率典例8．已知双曲线的一个焦点到的一条渐近线的距离为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可求出，两边平方得结合，代入即可得出答案.【详解】因为的一个焦点到的一条渐近线的距离为，不妨取渐近线方程为，即，所以，，两边平方得.又，所以，化简得，所以.故选：C.变式8-1．设双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为（

）A． B．2 C．3 D．【答案】D【分析】利用双曲线的定义和三角形的面积公式，列出方程组求得的值，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可知，设，可得，又因为，若的面积为，所以，且，联立方程组，可得，所以双曲线的离心率为.故选：D.变式8-2．已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】设，，，根据直线的斜率，以及，可得，再根据，即可求出．【详解】解：设，，，，，，，．故选：D．变式8-3．如图，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知结合双曲线定义可得，在中利用勾股定理即可求出.【详解】由题可得，因为，所以，则在中，，即，即.故选：A.变式8-4．已知双曲线，其左、