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文档简介
第八章平面解析几何8.3.1双曲线(题型战法)知识梳理一定义及标准方程定义:平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫做焦距。符号表示:方程:(1)焦点在x轴上:(2)焦点在y轴上:二简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点顶点轴长实轴长2a虚轴长2b实轴长2a虚轴长2b离心率渐近线通径a,b,c关系题型战法题型战法一双曲线的定义及辨析典例1.已知,,若点满足,则P点的轨迹为(
)A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.一条射线变式1-1.设A,B是平面上距离为4的两个定点,若该平面上的动点P满足||PA|-|PB||=3,则P点的轨迹是(
)A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线变式1-2.已知双曲线的左、右焦点分别为,,双曲线上有一点,若,则(
)A. B. C.或 D.或变式1-3.如图,双曲线:的左焦点为,双曲线上的点与关于轴对称,则的值是(
)A.3 B.4 C.6 D.8变式1-4.P是双曲线的右支上一点,M、N分别是圆和上的点,则的最大值为A.6 B.7 C.8 D.9题型战法二双曲线中的焦点三角形典例2.设点在双曲线上,若、为双曲线的两个焦点,且,则的周长等于(
)A. B. C. D.变式2-1.已知为双曲线的左焦点,,为双曲线右支上的点,若的长等于虚轴长的2倍,点在线段上,则的周长为(
)A.28 B.36 C.44 D.48变式2-2.设,是双曲线的左,右焦点,点P在双曲线C的右支上,当时,面积为(
).A. B. C. D.变式2-3.设,是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于(
)A.24 B. C. D.30变式2-4.已知双曲线的左、右焦点分别为,P为双曲线C的右支上一点,且,则的面积为(
)A. B. C.2 D.4题型战法三双曲线上的点到焦点与定点距离的和、差最值典例3.已知是双曲线的左焦点,,是双曲线右支上的动点,则的最小值为(
)A.9 B.8 C.7 D.6变式3-1.已知分别是双曲线的左、右焦点,动点P在双曲线的左支上,点Q为圆上一动点,则的最小值为(
)A.6 B.7 C. D.5变式3-2.已知双曲线的一条渐近线方程为,左焦点为,当点在双曲线右支上,点在圆上运动时,则的最小值为(
).A.8 B.7 C.6 D.5变式3-3.已知双曲线的左焦点为,M为双曲线C右支上任意一点,D点的坐标为,则的最大值为(
)A.3 B.1 C. D.变式3-4.已知平面上定点和,又点为双曲线右支上的动点,则的最大值为(
).A.8 B.10 C.11 D.13题型战法四根据方程表示双曲线求参数的范围典例4.若方程表示双曲线,则m的取值范围是(
)A. B. C. D.变式4-1.已知曲线C的方程为,若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是(
).A. B. C. D.或5变式4-2.若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围为(
)A. B. C. D.且变式4-3.若方程表示双曲线,则实数m的取值范围为(
)A. B. C. D.变式4-4.已知方程表示双曲线,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.题型战法五双曲线的标准方程典例5.已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点,为坐标原点,点在双曲线上,,的面积为8,则双曲线的方程为(
)A. B. C. D.变式5-1.已知双曲线的虚轴长为,离心率为,则其方程是(
)A. B. C. D.变式5-2.已知,分别是双曲线的左、右焦点,点P是双曲线上一点,若,且的最小内角为,则双曲线的标准方程为(
)A. B. C. D.变式5-3.已知是双曲线:的右焦点,过作与轴垂直的直线与双曲线交于.两点,过作一条渐近线的垂线,垂足为,若,则的标准方程为(
)A. B. C. D.变式5-4.若圆与轴的两个交点都在双曲线上,且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为(
)A. B. C. D.题型战法六双曲线的轨迹方程典例6.设点,,为动点,已知直线与直线的斜率之积为定值,点的轨迹是(
)A. B.C. D.变式6-1.动圆M与圆:,圆:,都外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(
)A. B. C. D.变式6-2.在中,已知,且,则的轨迹方程是()A. B. C. D.变式6-3.已知为圆:上任意一点,,若线段的垂直平分线交直线于点,则点的轨迹方程为A.B.C.()D.()变式6-4.已知点和圆:,是圆上的动点,直线与线段的垂直平分线交于点,则点所满足的轨迹方程为()A. B. C. D.题型战法七双曲线的渐近线典例7.已知O是坐标原点,F是双曲线的右焦点,过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点,若以F为圆心的圆经过点A,O,则双曲线C的渐近线方程为(
)A. B. C. D.变式7-1.已知中心在坐标原点,焦点在轴上的双曲线的离心率为,则其渐近线方程为(
)A. B. C. D.变式7-2.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作圆的切线,交双曲线右支于,若,则的渐近线方程为(
)A. B.C. D.变式7-3.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为(
)A. B. C. D.变式7-4.过点,且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是(
)A. B. C. D.题型战法八双曲线的离心率典例8.已知双曲线的一个焦点到的一条渐近线的距离为,则的离心率为(
)A. B. C. D.变式8-1.设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上一点,且,若的面积为4,则双曲线C的离心率为(
)A. B.2 C.3 D.变式8-2.已知双曲线的两个顶点分别为,,点为双曲线上除,外任意一点,且点与点,连线的斜率为,,若,则双曲线的离心率为(
)A. B. C.2 D.3变式8-3.如图,双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点,直线与圆相切于点,,则双曲线的离心率为(
)A. B. C. D.变式8-4.已知双曲线,其左、右焦点分别为,.点到的一条渐近线的距离为1,若双曲线的焦点在轴上且与具有相同的渐近线,则双曲线的离心率为(
)A. B.2 C. D.题型战法九双曲线的离心率的取值范围典例9.、分别为双曲线:的左、右焦点,存在过的一条直线与双曲线的左支分别交于、两点且满足,则该双曲线的离心率的取值范围为(
)A. B. C. D.变式9-1.已知为双曲线的左焦点,若双曲线右支上存在一点,使直线与圆相切,则双曲线离心率的取值范围是(
)A. B. C. D.变式9-2.设分别是双曲线左、右焦点,是双曲线右支上一点,且,则双曲线离心率的取值范围是(
)A. B. C. D.变式9-3.已知是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左支交于点,若,则双曲线的离心率的取值范围为(
)A. B. C. D.变式9-4.已知双曲线的右焦点为,右顶点为,,两点在双曲线的右支上,为中点,为轴上一点,且.若,则双曲线的离心率的取值范围是(
)A. B. C. D.第八章平面解析几何8.3.1双曲线(题型战法)知识梳理一定义及标准方程定义:平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫做焦距。符号表示:方程:(1)焦点在x轴上:(2)焦点在y轴上:二简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点顶点轴长实轴长2a虚轴长2b实轴长2a虚轴长2b离心率渐近线通径a,b,c关系题型战法题型战法一双曲线的定义及辨析典例1.已知,,若点满足,则P点的轨迹为(
)A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.一条射线【答案】D【分析】利用|PF1【详解】已知,,点满足,且,即|PF1|−|PF2|=|F1故P的轨迹方程为一条射线.故选:D.变式1-1.设A,B是平面上距离为4的两个定点,若该平面上的动点P满足||PA|-|PB||=3,则P点的轨迹是(
)A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】C【分析】根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解:因为,所以P点的轨迹是双曲线.故选:C.变式1-2.已知双曲线的左、右焦点分别为,,双曲线上有一点,若,则(
)A. B. C.或 D.或【答案】B【分析】由双曲线定义可直接构造方程求得结果.【详解】由双曲线方程知:;根据双曲线定义知:,解得:(舍)或.故选:B.变式1-3.如图,双曲线:的左焦点为,双曲线上的点与关于轴对称,则的值是(
)A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为,连接,根据双曲线的对称性得到,结合双曲线的定义,即可求解.【详解】如图所示,设双曲线的右焦点为,连接,因为双曲线上的点与关于轴对称,根据双曲线的对称性,可得,所以.故选:C.变式1-4.P是双曲线的右支上一点,M、N分别是圆和上的点,则的最大值为A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【分析】可得双曲线的焦点分别为(-5,0),(5,0),由已知可得当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大,可得答案.【详解】解:易得双曲线的焦点分别为(-5,0),(5,0),且这两点刚好为两圆的圆心,由题意可得,当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大,此时==6+3=9【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用,判断P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大是解题的关键.题型战法二双曲线中的焦点三角形典例2.设点在双曲线上,若、为双曲线的两个焦点,且,则的周长等于(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】由双曲线方程求得焦距,然后由双曲线的定义和已知焦半径之比,求得,从而得三角形周长.【详解】解:由题意知,由双曲线定义知,又,的周长为:.故选:A.变式2-1.已知为双曲线的左焦点,,为双曲线右支上的点,若的长等于虚轴长的2倍,点在线段上,则的周长为(
)A.28 B.36 C.44 D.48【答案】C【分析】根据双曲线的定义求解即可.【详解】如图所示:∵双曲线的左焦点为,∴点是双曲线的右焦点,又,∴虚轴长为2b=8,∴.∵①,②,∴①+②得,∴的周长.故选:C变式2-2.设,是双曲线的左,右焦点,点P在双曲线C的右支上,当时,面积为(
).A. B. C. D.【答案】B【分析】利用双曲线的定义可得,又,进而即得.【详解】∵双曲线,∴,又点P在双曲线C的右支上,,所以,,即,又,∴面积为.故选:B.变式2-3.设,是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于(
)A.24 B. C. D.30【答案】A【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长,进而求得的面积【详解】由,可得又是是双曲线上的一点,则,则,,又则,则则的面积等于故选:A变式2-4.已知双曲线的左、右焦点分别为,P为双曲线C的右支上一点,且,则的面积为(
)A. B. C.2 D.4【答案】A【分析】根据双曲线的标准方程求出,再根据双曲线的定义求出,利用余弦定理求出,利用三角形的面积公式即可求解.【详解】∵在双曲线中,,∴.∵,∴.∴在中,,∴,∴的面积为.故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的定义、求焦点三角形面积,属于基础题.题型战法三双曲线上的点到焦点与定点距离的和、差最值典例3.已知是双曲线的左焦点,,是双曲线右支上的动点,则的最小值为(
)A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A【分析】由双曲线方程求出,再根据点在双曲线的两支之间,结合可求得答案【详解】由,得,则,所以左焦点为,右焦点,则由双曲线的定义得,因为点在双曲线的两支之间,所以,所以,当且仅当三点共线时取等号,所以的最小值为9,故选:A变式3-1.已知分别是双曲线的左、右焦点,动点P在双曲线的左支上,点Q为圆上一动点,则的最小值为(
)A.6 B.7 C. D.5【答案】A【分析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.【详解】如图,圆的圆心为,半径为1,,,当,,三点共线时,最小,最小值为,而,所以.故选:A变式3-2.已知双曲线的一条渐近线方程为,左焦点为,当点在双曲线右支上,点在圆上运动时,则的最小值为(
).A.8 B.7 C.6 D.5【答案】A【分析】求得双曲线的,可得双曲线方程,求得焦点坐标,运用双曲线的定义和三点共线取得最小值,连接,交双曲线于,圆于,计算可得所求最小值.【详解】解:由题意双曲线的一条渐近线方程为,可得,则,可得双曲线,焦点为,,由双曲线的定义可得,由圆可得圆心,半径,,连接,交双曲线于,圆于,可得取得最小值,且为,则的最小值为.故选:.变式3-3.已知双曲线的左焦点为,M为双曲线C右支上任意一点,D点的坐标为,则的最大值为(
)A.3 B.1 C. D.【答案】C【分析】由双曲线定义把转化为到右焦点的距离,然后由平面几何性质得结论.【详解】设双曲线C的实半轴长为,右焦点为,所以,当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号.故选:C.变式3-4.已知平面上定点和,又点为双曲线右支上的动点,则的最大值为(
).A.8 B.10 C.11 D.13【答案】D【分析】由题意可得点为双曲线的左焦点,设点为双曲线的右焦点,由双曲线的定义可得,然后求出的最大值即可.【详解】由题意可得点为双曲线的左焦点,设点为双曲线的右焦点,由双曲线的定义可得,所以,由图可得,当三点共线时,取得最大值,最大值为,所以的最大值为13,故选:D【点睛】本题主要考查的是双曲线定义的应用,属于常考题型.题型战法四根据方程表示双曲线求参数的范围典例4.若方程表示双曲线,则m的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据双曲线的定义可知与同号,从而可求出m的取值范围【详解】因为方程表示双曲线,所以,解得,故选:A变式4-1.已知曲线C的方程为,若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是(
).A. B. C. D.或5【答案】C【分析】根据题意可得,解之即可得解.【详解】解:若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则,解得.故选:C.变式4-2.若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围为(
)A. B. C. D.且【答案】A【分析】根据双曲线定义,且焦点在y轴上,则可直接列出相关不等式.【详解】若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则必有:,且解得:故选:变式4-3.若方程表示双曲线,则实数m的取值范围为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据双曲线的标准方程形式,直接列出不等关系即可解得答案.【详解】因为方程表示双曲线,所以,解得,即,故选:B.变式4-4.已知方程表示双曲线,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】根据双曲线的标准方程的特点列式可解得结果.【详解】因为方程表示双曲线,所以,即,所以且,故选:D.题型战法五双曲线的标准方程典例5.已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点,为坐标原点,点在双曲线上,,的面积为8,则双曲线的方程为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】由得,然后由三角形面积、双曲线的定义、勾股定理联立可求得得双曲线方程.【详解】,是的中点,所以,,则,,解得,所以双曲线方程为.故选:D.变式5-1.已知双曲线的虚轴长为,离心率为,则其方程是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据题意,得到,结合,求得的值,即可求解.【详解】由题意,双曲线的虚轴长为,离心率为,可得,即,因为,解得:.所以曲线的方程为.故选:C.变式5-2.已知,分别是双曲线的左、右焦点,点P是双曲线上一点,若,且的最小内角为,则双曲线的标准方程为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】设点为双曲线右支上一点,结合双曲线的定义与条件可得,,在中,根据大边对大角可知为最小角,进而根据余弦定理求得,再得到,即可得到答案.【详解】设点为双曲线右支上一点,则,因为,且,所以,,由题,因为,则,所以为最小角,故,所以在中,由余弦定理可得,,解得,所以,所以双曲线的标准方程为.故选:B变式5-3.已知是双曲线:的右焦点,过作与轴垂直的直线与双曲线交于.两点,过作一条渐近线的垂线,垂足为,若,则的标准方程为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】分别根据所给双曲线方程求出,,根据解出即可.【详解】设,代入双曲线方程可得,所以,不妨取一条渐近线,则到直线的距离,因为,所以,解得,所以双曲线的方程为,故选:A变式5-4.若圆与轴的两个交点都在双曲线上,且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用圆的方程解出两点坐标,利用双曲线的图像和性质计算即可.【详解】将代入解得点坐标分别为,因为两点都在双曲线上,且将此双曲线的焦距三等分,所以双曲线焦点在轴上且,解得,所以双曲线方程为:.故选:B.题型战法六双曲线的轨迹方程典例6.设点,,为动点,已知直线与直线的斜率之积为定值,点的轨迹是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】设动点,根据已知条件,结合斜率公式,即可求解.【详解】解:设动点,则,则,,,直线与直线的斜率之积为定值,,化简可得,,故点的轨迹方程为.故选:C.变式6-1.动圆M与圆:,圆:,都外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】首先设,半径为,根据动圆与圆,都外切得到,从而得到的轨迹为以为焦点,的双曲线左支,再求轨迹方程即可.【详解】圆:,圆心,半径.圆:,圆心,半径.设,半径为,因为动圆与圆,都外切,所以,所以的轨迹为以为焦点,的双曲线左支.所以,,解得,即的轨迹方程为:.故选:D变式6-2.在中,已知,且,则的轨迹方程是()A. B. C. D.【答案】B【分析】据正弦定理,将化为,判断出点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支,根据数据求出其方程即可.【详解】,由正弦定理得,即,由双曲线的定义可知:点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支,且,,.顶点的轨迹方程为,故选B【点睛】本题考查双曲线轨迹方程的求解,同时也考查三角形正弦定理边角互化思想的应用,属于基础题.变式6-3.已知为圆:上任意一点,,若线段的垂直平分线交直线于点,则点的轨迹方程为A. B.C.() D.()【答案】B【解析】如图所示:连接,根据垂直平分线知,,故轨迹为双曲线,计算得到答案.【详解】如图所示:连接,根据垂直平分线知,故,故轨迹为双曲线,,,,故,故轨迹方程为.故选:.【点睛】本题考查了轨迹方程,确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.变式6-4.已知点和圆:,是圆上的动点,直线与线段的垂直平分线交于点,则点所满足的轨迹方程为()A. B. C. D.【答案】C【分析】根据已知条件判断出点满足双曲线的定义,由此求得点的轨迹方程.【详解】画出去向如下图所示,根据线段垂直平分线的性质可知,故,所以点满足双曲线的定义,即,故点的轨迹方程为,故选C.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义以及双曲线标准方程的求法,考查垂直平分线的几何性质,属于基础题.题型战法七双曲线的渐近线典例7.已知O是坐标原点,F是双曲线的右焦点,过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点,若以F为圆心的圆经过点A,O,则双曲线C的渐近线方程为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据题意,求得,即可求得,从而写出渐近线方程.【详解】由已知,点的坐标为,故,因为以F为圆心的圆经过点A,O,所以,则△为等边三角形,所以,则,所以双曲线C的渐近线方程为.故选:变式7-1.已知中心在坐标原点,焦点在轴上的双曲线的离心率为,则其渐近线方程为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据离心率求出的值,再根据渐近线方程求解即可.【详解】因为双曲线焦点在轴上,所以渐近线方程为:,又因为双曲线离心率为,且,所以,解得,即渐近线方程为:.故选:A.变式7-2.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作圆的切线,交双曲线右支于,若,则的渐近线方程为(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根据直线与圆相切及三角形的性质,结合双曲线的定义可得,进而得解.【详解】如图所示,设与圆相切于点,过作,故,,又,则,则,,由双曲线定义得,即,故渐近线方程为,故选:B.变式7-3.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为,代入点的坐标,求出的值,即可的解.【详解】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为,代入点,得,解得,所以所求双曲线方程为,即故选:C.变式7-4.过点,且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据有相同的渐近线可设所求双曲线方程为,把点代入即可求解.【详解】设所求双曲线方程为,则.故所求双曲线方程是,即.故选:D.题型战法八双曲线的离心率典例8.已知双曲线的一个焦点到的一条渐近线的距离为,则的离心率为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】由题意可求出,两边平方得结合,代入即可得出答案.【详解】因为的一个焦点到的一条渐近线的距离为,不妨取渐近线方程为,即,所以,,两边平方得.又,所以,化简得,所以.故选:C.变式8-1.设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上一点,且,若的面积为4,则双曲线C的离心率为(
)A. B.2 C.3 D.【答案】D【分析】利用双曲线的定义和三角形的面积公式,列出方程组求得的值,结合离心率的定义,即可求解.【详解】由题意,双曲线,可知,设,可得,又因为,若的面积为,所以,且,联立方程组,可得,所以双曲线的离心率为.故选:D.变式8-2.已知双曲线的两个顶点分别为,,点为双曲线上除,外任意一点,且点与点,连线的斜率为,,若,则双曲线的离心率为(
)A. B. C.2 D.3【答案】D【分析】设,,,根据直线的斜率,以及,可得,再根据,即可求出.【详解】解:设,,,,,,,.故选:D.变式8-3.如图,双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点,直线与圆相切于点,,则双曲线的离心率为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】由已知结合双曲线定义可得,在中利用勾股定理即可求出.【详解】由题可得,因为,所以,则在中,,即,即.故选:A.变式8-4.已知双曲线,其左、
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