高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)1.1集合(精讲)(原卷版+解析)

1.1集合【题型解读】【知识储备】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B(或B⫌A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝{x|x∈U且x∉A}(2)三种运算的常见性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝A，A∩∅＝∅.③A∪A＝A，A∪∅＝A.④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.【题型精讲】【题型一集合的基本概念】必备技巧解决集合概念问题的关键一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．例1(2023·山东济南·二模）已知集合，，，则C中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2(2023·武汉校级月考）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．例3【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【题型精练】1.(2023·宁夏银川·一模）已知集合，，则B中所含元素的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．62．(2023·全国高三课时练习）设A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，B＝{|a－2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．3．(2023·全国高三课时练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则a＝_____．【题型二集合的基本关系】必备技巧集合的基本关系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．例4(2023·广东广州·一模）已知集合，，则的子集个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．6例5(2023·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测）已知集合，，则（

）A． B．C． D．例6(2023·广西·模拟预测）已知集合，或.（1）若，求；（2）若，求a的取值范围.【题型精练】1．(2023·湖北武汉摸底）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．42.(2023·陕西陕西·二模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3.(2023·全国·高三专题练习）集合，，则（

）A． B． C．D．【题型三集合的运算】必备技巧集合的运算(1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，能简化运算．例7(2023·江苏·苏州中学高三开学考试）已知集合A＝，则A∩B＝（

）A．(0，2] B．(0，2) C．(1，2] D．(0，＋∞)例8(2023·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．例9(2023·江苏·高三专题练习）已知集合，则_______________例10(2023·浙江·高三专题练习）已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________．例11(2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是___________.【题型精练】1．(2023·安徽·芜湖一中一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．2.(2023·全国·高三专题练习（理））若集合，则（

）A． B． C． D．3.(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图，已知集合，，，，，则图中的阴影部分表示的集合为（

）A．， B．，， C．， D．，，4.(2023·浙江绍兴·高三期末）已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．5.(2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【题型四集合的新定义问题】必备技巧解决集合新定义问题的关键(1)准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．(3)从新定义出发，结合集合的性质求解，提升逻辑推理核心素养．例12(2023·北京房山·一模）已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆①A1∩A2=0②A1A2=U③的元素个数不是中的元素.则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（

）A．5 B．6 C．10 D．15例13(2023·全国·高三专题练习）设是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：，如果，，则____________.【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.2.(2023·全国·高三专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（

）A．0 B．1 C．2 D．31.1集合【题型解读】【知识储备】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B(或B⫌A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝{x|x∈U且x∉A}(2)三种运算的常见性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝A，A∩∅＝∅.③A∪A＝A，A∪∅＝A.④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.【题型精讲】【题型一集合的基本概念】必备技巧解决集合概念问题的关键一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．例1(2023·山东济南·二模）已知集合，，，则C中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C【解析】由题意，当时，，当，时，，当，时，，即C中有三个元素，故选：C例2(2023·武汉校级月考）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．答案：－eq\f(3,2)【解析】由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－eq\f(3,2).当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－eq\f(3,2)时，m＋2＝eq\f(1,2)，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－eq\f(3,2).例3【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1答案：BCD【解析】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，当时，，所以，所以，满足要求；当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求.【题型精练】1.(2023·宁夏银川·一模）已知集合，，则B中所含元素的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．6答案：D【解析】时，，3，4，时，，3，时，，时，无满足条件的值；故共6个，故选：D．2．(2023·全国高三课时练习）设A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，B＝{|a－2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．答案：{4}【解析】因为4∈A，即4∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，所以a2－3a＝4或a＋eq\f(2,a)＋7＝4.若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4；若a＋eq\f(2,a)＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2.由a2－3a与a＋eq\f(2,a)＋7互异，得a≠－1.故a＝－2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a－2|,3}，所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6.综上所述，a的取值集合为{4}．3．(2023·全国高三课时练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则a＝_____．答案：0或【解析】因为集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，当a＝0时，ax2﹣3x+2＝0只有一个解x＝，当a≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，所以△＝9﹣8a＝0即a＝所以实数a＝0或．【题型二集合的基本关系】必备技巧集合的基本关系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．例4(2023·广东广州·一模）已知集合，，则的子集个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．6答案：C【解析】由题可知，所有，所有其子集分别是，所有共有4个子集，故选：C例5(2023·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测）已知集合，，则（

）A． B．C． D．答案：【解析】因为，，当时，是奇数，是整数，所以．例6(2023·广西·模拟预测）已知集合，或.（1）若，求；（2）若，求a的取值范围.答案：（1）；（2）或.【解析】（1）当时，易得，或，.（2）若，即时，，满足，若，即时，要使，只需或，解得或，综上所述a的取值范围为或.【题型精练】1．(2023·湖北武汉摸底）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：D【解析】求解一元二次方程，得A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{x|(x－1)(x－2)＝0，x∈R}＝{1,2}，易知B＝{x|0<x<5，x∈N}＝{1,2,3,4}．因为A⊆C⊆B，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个，故选D.2.(2023·陕西陕西·二模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，当时，，满足.当时，由于，所以.综上所述，的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习）集合，，则（

）A． B． C．D．答案：B【解析】由已知，，又表示整数，表示奇数，故.【题型三集合的运算】必备技巧集合的运算(1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，能简化运算．例7(2023·江苏·苏州中学高三开学考试）已知集合A＝，则A∩B＝（

）A．(0，2] B．(0，2) C．(1，2] D．(0，＋∞)答案：A【解析】∵由，即，解得，所以集合，由当时，，得，所以．故选：A.例8(2023·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】解可得，故，，所以.例9(2023·江苏·高三专题练习）已知集合，则_______________答案：【解析】由得，又，所以或2，，又，所以.故答案为：.例10(2023·浙江·高三专题练习）已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________．答案：【解析】由题意，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是．故答案为：.例11(2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是___________.答案：【解析】因为，，由可得，所以，所以实数的取值范围是，【题型精练】1．(2023·安徽·芜湖一中一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由，得或，所以，由，得，所以，所以.2.(2023·全国·高三专题练习（理））若集合，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为集合，则，3.(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图，已知集合，，，，，则图中的阴影部分表示的集合为（

）A．， B．，， C．， D．，，答案：B【解析】解不等式得，所以，因为，，，，所以所以，图中的阴影部分表示的集合为.故选：B4.(2023·浙江绍兴·高三期末）已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由，可得，即，则由，可得或，则或则，故故选：D5.(2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，因为，所以，当时，集合，满足；当时，集合，由，得或，解得或，综上，实数的取值集合为.故选：D.【题型四集合的新定义问题】必备技巧解决集合新定义问题的关键(1)准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．(3)从新定义