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1.1集合【题型解读】【知识储备】1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N+)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B(或B⫌A)集合相等集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集A=B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B={x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B={x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA={x|x∈U且x∉A}(2)三种运算的常见性质①A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.②A∩A=A,A∩∅=∅.③A∪A=A,A∪∅=A.④A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A.⑤A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.【题型精讲】【题型一集合的基本概念】必备技巧解决集合概念问题的关键一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.例1(2023·山东济南·二模)已知集合,,,则C中元素的个数为(
)A.1 B.2 C.3 D.4例2(2023·武汉校级月考)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.例3【多选】(2023·全国·高三专题练习)已知集合,若集合A有且仅有2个子集,则a的取值有(
)A.-2 B.-1 C.0 D.1【题型精练】1.(2023·宁夏银川·一模)已知集合,,则B中所含元素的个数为(
)A.2 B.3 C.4 D.62.(2023·全国高三课时练习)设A=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2,3,a2-3a,a+\f(2,a)+7)),B={|a-2|,3},已知4∈A且4∉B,则a的取值集合为________.3.(2023·全国高三课时练习)已知集合A={x|ax2﹣3x+2=0,x∈R,a∈R}只有一个元素,则a=_____.【题型二集合的基本关系】必备技巧集合的基本关系(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.例4(2023·广东广州·一模)已知集合,,则的子集个数为(
)A.2 B.3 C.4 D.6例5(2023·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测)已知集合,,则(
)A. B.C. D.例6(2023·广西·模拟预测)已知集合,或.(1)若,求;(2)若,求a的取值范围.【题型精练】1.(2023·湖北武汉摸底)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1 B.2C.3 D.42.(2023·陕西陕西·二模)已知集合,,若,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.3.(2023·全国·高三专题练习)集合,,则(
)A. B. C.D.【题型三集合的运算】必备技巧集合的运算(1)对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,能简化运算.例7(2023·江苏·苏州中学高三开学考试)已知集合A=,则A∩B=(
)A.(0,2] B.(0,2) C.(1,2] D.(0,+∞)例8(2023·山东·夏津第一中学高三阶段练习)已知集合,,则(
)A. B. C. D.例9(2023·江苏·高三专题练习)已知集合,则_______________例10(2023·浙江·高三专题练习)已知全集,集合,,则下列Venn图中阴影部分的集合为___________.例11(2023·全国·高三专题练习)已知集合,,若,则实数的取值范围是___________.【题型精练】1.(2023·安徽·芜湖一中一模)已知集合,,则(
)A. B. C. D.2.(2023·全国·高三专题练习(理))若集合,则(
)A. B. C. D.3.(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习)如图,已知集合,,,,,则图中的阴影部分表示的集合为(
)A., B.,, C., D.,,4.(2023·浙江绍兴·高三期末)已知全集,集合,,则(
)A. B. C. D.5.(2023·全国·高三专题练习)已知集合,,若,则实数的取值集合为(
)A. B. C. D.【题型四集合的新定义问题】必备技巧解决集合新定义问题的关键(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.(3)从新定义出发,结合集合的性质求解,提升逻辑推理核心素养.例12(2023·北京房山·一模)已知U是非实数集,若非空集合A1,A2满足以下三个条件,则称(A1,A2)为集合U的一种真分拆,并规定(A1,A2)与(A2,A1)为集合U的同一种真分拆①A1∩A2=0②A1A2=U③的元素个数不是中的元素.则集合U={1,2,3,4,5,6}的真分拆的种数是(
)A.5 B.6 C.10 D.15例13(2023·全国·高三专题练习)设是两个非空集合,定义集合间的一种运算“”:,如果,,则____________.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”;若两个集合有公共元素,且互不为对方子集,则称两个集合构成“蚕食”,对于集合,,若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则a的取值集合为_____.2.(2023·全国·高三专题练习)用表示非空集合A中元素的个数,定义,已知集合,,且,设实数a的所有可能取值构成集合S,则(
)A.0 B.1 C.2 D.31.1集合【题型解读】【知识储备】1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N+)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B(或B⫌A)集合相等集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集A=B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B={x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B={x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA={x|x∈U且x∉A}(2)三种运算的常见性质①A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.②A∩A=A,A∩∅=∅.③A∪A=A,A∪∅=A.④A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A.⑤A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.【题型精讲】【题型一集合的基本概念】必备技巧解决集合概念问题的关键一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.例1(2023·山东济南·二模)已知集合,,,则C中元素的个数为(
)A.1 B.2 C.3 D.4答案:C【解析】由题意,当时,,当,时,,当,时,,即C中有三个元素,故选:C例2(2023·武汉校级月考)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.答案:-eq\f(3,2)【解析】由题意得m+2=3或2m2+m=3,则m=1或m=-eq\f(3,2).当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-eq\f(3,2)时,m+2=eq\f(1,2),而2m2+m=3,符合题意,故m=-eq\f(3,2).例3【多选】(2023·全国·高三专题练习)已知集合,若集合A有且仅有2个子集,则a的取值有(
)A.-2 B.-1 C.0 D.1答案:BCD【解析】因为集合仅有个子集,所以集合中仅有一个元素,当时,,所以,所以,满足要求;当时,因为集合中仅有一个元素,所以,所以,此时或,满足要求.【题型精练】1.(2023·宁夏银川·一模)已知集合,,则B中所含元素的个数为(
)A.2 B.3 C.4 D.6答案:D【解析】时,,3,4,时,,3,时,,时,无满足条件的值;故共6个,故选:D.2.(2023·全国高三课时练习)设A=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2,3,a2-3a,a+\f(2,a)+7)),B={|a-2|,3},已知4∈A且4∉B,则a的取值集合为________.答案:{4}【解析】因为4∈A,即4∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2,3,a2-3a,a+\f(2,a)+7)),所以a2-3a=4或a+eq\f(2,a)+7=4.若a2-3a=4,则a=-1或a=4;若a+eq\f(2,a)+7=4,即a2+3a+2=0,则a=-1或a=-2.由a2-3a与a+eq\f(2,a)+7互异,得a≠-1.故a=-2或a=4.又4∉B,即4∉{|a-2|,3},所以|a-2|≠4,解得a≠-2且a≠6.综上所述,a的取值集合为{4}.3.(2023·全国高三课时练习)已知集合A={x|ax2﹣3x+2=0,x∈R,a∈R}只有一个元素,则a=_____.答案:0或【解析】因为集合A={x|ax2﹣3x+2=0,x∈R,a∈R}有且只有一个元素,当a=0时,ax2﹣3x+2=0只有一个解x=,当a≠0时,一元二次方程只有一个元素则方程有重根,所以△=9﹣8a=0即a=所以实数a=0或.【题型二集合的基本关系】必备技巧集合的基本关系(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.例4(2023·广东广州·一模)已知集合,,则的子集个数为(
)A.2 B.3 C.4 D.6答案:C【解析】由题可知,所有,所有其子集分别是,所有共有4个子集,故选:C例5(2023·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测)已知集合,,则(
)A. B.C. D.答案:【解析】因为,,当时,是奇数,是整数,所以.例6(2023·广西·模拟预测)已知集合,或.(1)若,求;(2)若,求a的取值范围.答案:(1);(2)或.【解析】(1)当时,易得,或,.(2)若,即时,,满足,若,即时,要使,只需或,解得或,综上所述a的取值范围为或.【题型精练】1.(2023·湖北武汉摸底)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1 B.2C.3 D.4答案:D【解析】求解一元二次方程,得A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={x|(x-1)(x-2)=0,x∈R}={1,2},易知B={x|0<x<5,x∈N}={1,2,3,4}.因为A⊆C⊆B,所以根据子集的定义,集合C必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原题即求集合{3,4}的子集个数,即有22=4个,故选D.2.(2023·陕西陕西·二模)已知集合,,若,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】,当时,,满足.当时,由于,所以.综上所述,的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)集合,,则(
)A. B. C.D.答案:B【解析】由已知,,又表示整数,表示奇数,故.【题型三集合的运算】必备技巧集合的运算(1)对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,能简化运算.例7(2023·江苏·苏州中学高三开学考试)已知集合A=,则A∩B=(
)A.(0,2] B.(0,2) C.(1,2] D.(0,+∞)答案:A【解析】∵由,即,解得,所以集合,由当时,,得,所以.故选:A.例8(2023·山东·夏津第一中学高三阶段练习)已知集合,,则(
)A. B. C. D.答案:B【解析】解可得,故,,所以.例9(2023·江苏·高三专题练习)已知集合,则_______________答案:【解析】由得,又,所以或2,,又,所以.故答案为:.例10(2023·浙江·高三专题练习)已知全集,集合,,则下列Venn图中阴影部分的集合为___________.答案:【解析】由题意,集合,则Venn图中阴影部分表示的集合是.故答案为:.例11(2023·全国·高三专题练习)已知集合,,若,则实数的取值范围是___________.答案:【解析】因为,,由可得,所以,所以实数的取值范围是,【题型精练】1.(2023·安徽·芜湖一中一模)已知集合,,则(
)A. B. C. D.答案:A【解析】由,得或,所以,由,得,所以,所以.2.(2023·全国·高三专题练习(理))若集合,则(
)A. B. C. D.答案:D【解析】因为集合,则,3.(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习)如图,已知集合,,,,,则图中的阴影部分表示的集合为(
)A., B.,, C., D.,,答案:B【解析】解不等式得,所以,因为,,,,所以所以,图中的阴影部分表示的集合为.故选:B4.(2023·浙江绍兴·高三期末)已知全集,集合,,则(
)A. B. C. D.答案:D【解析】由,可得,即,则由,可得或,则或则,故故选:D5.(2023·全国·高三专题练习)已知集合,,若,则实数的取值集合为(
)A. B. C. D.答案:D【解析】,因为,所以,当时,集合,满足;当时,集合,由,得或,解得或,综上,实数的取值集合为.故选:D.【题型四集合的新定义问题】必备技巧解决集合新定义问题的关键(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.(3)从新定义
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