高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.3计数原理(精讲)(原卷版+解析)

9.3计数原理【题型解读】【知识储备】1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．4.两个计数原理的应用用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．【题型精讲】【题型一分类加法计数原理】必备技巧分类加法计数原理(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．例1(2023·济南模拟)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()A．240B．204C．729D．920例2(2023·青岛模拟)若椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．【题型精练】1.(2023·华师大二附中高三期中）从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（）个A．98 B．56 C．84 D．492．(2023·全国高三课时练习）满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．103．(2023·全国高三课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．【题型二分步乘法计数原理】必备技巧分步乘法计数原理(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成．例3(全国Ⅱ高考)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9例4(2023·云南师大附中高三模拟）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数（图中白圈为阳数，黑点为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数有___________个例5(2023·全国高三期末）（多选题）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（）A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种【题型精练】1．(2023·全国高三课时练习）核糖核酸(缩写为RNA)，存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体，RNA由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据，RNA的碱基主要有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为()A． B． C． D．2.(2023·安徽合肥一中高三开学考试）某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演，原节目单上有10个节目已经排好顺序，又有3个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有（）种A．165 B．286 C．990 D．17163.(2023·湖南高三一模）从人中选出人参加某大学举办的数学、物理、化学、生物比赛，每人只能参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数为（）A． B． C． D．【题型三数字问题】必备技巧利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．(3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)利用两个计数原理求解，注意0的特殊性．例6(2023·青岛二中高三课时练习）用0,1,2,3,4五个数字．（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？例7(2023·烟台高三模拟）用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)【题型精练】1．(2023·高三课时练习）计算（1）用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字不重复的两位数？（2）用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字可以重复的两位数？2.(2023·广东高三模拟）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的（1）密码箱的四位密码；（2）比2000大的四位偶数.【题型四涂色问题】必备技巧涂色问题的常用方法（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;例8(2023·福建泉州科技中学月考）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）A． B． C． D．例9(2023·湖北车城高中高三月考）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种【题型精练】1．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法2.(2023·济北中学高三月考）如图所示的，，，按照下列要求涂色．（1）用3种不同颜色填涂图中，，，四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？（2）若恰好用3种不同颜色给，，，四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？（3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？【题型五几何体问题】例10(2023福建省部分名校高三联合测评）(1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A．48 B．18C．24 D．36(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48C．36 D．24【题型精练】1.(2023·全国高三课时练习）如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个.2．(2023·济南中学高三月考）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有多少对？9.3计数原理【题型解读】【知识储备】1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．4.两个计数原理的应用用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．【题型精讲】【题型一分类加法计数原理】必备技巧分类加法计数原理(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．例1(2023·济南模拟)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()A．240B．204C．729D．920答案：A【解析】所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．例2(2023·青岛模拟)若椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．答案：20【解析】当m＝1时，n＝2,3,4,5,6,7，共6个；当m＝2时，n＝3,4,5,6,7，共5个；当m＝3时，n＝4,5,6,7，共4个；当m＝4时，n＝5,6,7，共3个；当m＝5时，n＝6,7，共2个．故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆．【题型精练】1.(2023·华师大二附中高三期中）从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（）个A．98 B．56 C．84 D．49答案：A【解析】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况.当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况.当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况.当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况.当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况.当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况.当公差为时，数列可以是：，共1种情况.总的情况是.又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，所以这样的等差数列共有个.故选：A2．(2023·全国高三课时练习）满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．10答案：B【解析】选B当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对共有13个．故选B.3．(2023·全国高三课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．答案：36【解析】按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数．【题型二分步乘法计数原理】必备技巧分步乘法计数原理(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成．例3(全国Ⅱ高考)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9答案：B【解析】从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18(条)，故选B.例4(2023·云南师大附中高三模拟）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数（图中白圈为阳数，黑点为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数有___________个答案：120【解析】据题意，阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种，第三位数和第四位数可以的组合有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共有6种选择，根据分步乘法计数原理，这样的四位数共有个.故答案为：例5(2023·全国高三期末）（多选题）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（）A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种答案：AC【解析】对于A选项，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误；对于C选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误.故选：AC.【题型精练】1．(2023·全国高三课时练习）核糖核酸(缩写为RNA)，存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体，RNA由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据，RNA的碱基主要有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为()A． B． C． D．答案：B【解析】由100个碱基组成的长链共有100个位置，从A，C，G，U中任选1个依次填入这100个位置中，每个位置都有4种填充方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA分子的种数为．故选：B2.(2023·安徽合肥一中高三开学考试）某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演，原节目单上有10个节目已经排好顺序，又有3个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有（）种A．165 B．286 C．990 D．1716答案：D【解析】第一步：10个节目空出11个位置，加入1个新来的节目，所以加入一个新节目有11种方法，第二步：从排好的11个节目空出的12个位置中，加入第2个新节目，有12种方法，第三步：从排好的12个节目空出的13个位置中，加入第3个新节目，有13种方法，所以由分步乘法计数原理得，加入3个新节目后的节目单的排法有（种）.故选：D3.(2023·湖南高三一模）从人中选出人参加某大学举办的数学、物理、化学、生物比赛，每人只能参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数为（）A． B． C． D．答案：C【解析】第一步，因为甲、乙两人都不能参加化学比赛，所以从剩下的人中选人参加化学比赛，共有种选法；第二步，在剩下的人中任选人参加数学、物理、生物比赛，共有种选法．由分步乘法计数原理，得不同的参赛方案的种数为，故选：C．【题型三数字问题】必备技巧利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．(3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)利用两个计数原理求解，注意0的特殊性．例6(2023·青岛二中高三课时练习）用0,1,2,3,4五个数字．（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？答案：（1）125个；（2）100个；（3）30个.【解析】（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)．（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)．（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．例7(2023·烟台高三模拟）用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)答案：1080【解析】①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为Aeq\o\al(4,5)＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1080(个)．【题型精练】1．(2023·高三课时练习）计算（1）用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字不重复的两位数？（2）用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字可以重复的两位数？答案：（1）（2）【解析】（1）第一步十位数字有6种选择，然后第二步个位数字在剩下的5个数字中选择有5种方法，运用乘法原理得．所以可以排成个不重复的两位数；（2）第一步十位数字有6种选择，然后第二步个位数字有6种选择，运用乘法原理得．所以可以排成个可以重复的两位数；2.(2023·广东高三模拟）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的（1）密码箱的四位密码；（2）比2000大的四位偶数.答案：（1）360；（2）120【解析】解：（1）分步解决.第一步：选取第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取第四个位置上的数字，有3种选取方法.由分步乘法计数原理知，可组成无重复数字的四位密码共有.（2）按个位是0，2，4分为三类.第一类：个位是0的有个；第二类：个位是2的有个；第三类：个位是4的有个.故由分类加法计数原理得比2000大的四位偶数有个.【题型四涂色问题】必备技巧涂色问题的常用方法（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;例8(2023·福建泉州科技中学月考）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）A． B． C． D．答案：C【解析】分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解，由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有种染色方法；当染好时，不妨设所染颜色依次为1,2,3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法,即当S,A,B染好时，C,D还有7种染法.故不同的染色方法有种.

故选：C例9(2023·湖北车城高中高三月考）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种答案：D【解析】根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；所以不同的涂色方法：种.故选：D.【题型精练】1．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法答案：【解析】先排，有种方法；然后排，最后排：①当相同时，方法有种，故方法数有种.②当不同时，方法有种，故方法数有种.综上所述，不同的着色方法数有种.故答案为：2.(2023·济北中学高三月考）如图所示的，，，按照下列要求涂色．（1）用3种不同颜色填涂图中，，，四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？（2）若恰好用3种不同颜色给，，，四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？（3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？答案：（1）24；（2）18；（3）6.