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文档简介
3.2导数研究函数的单调性【题型解读】【题型一不含参函数的单调性】1.(2023·山东济南历城二中高三月考)函数的减区间是____________.2.(2023·河南高三月考)若曲线在点处的切线过点,则函数的单调递减区间为()A. B.,(-1,0)C. D.3.(2023·天津·崇化中学期中)已知函数的导函数为,,则函数的单调递增区间为(
)A. B.,C. D.4.(2023·石嘴山市第三中学期末)函数的一个单调递减区间是()A. B. C. D.5.(2023·重庆市育才中学高三月考)已知函数f(x)满足,则f(x)的单调递减区间为(
)A.(-∞,0) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(0,+∞)【题型二含参函数的单调性】1.(2023·山东青岛高三期末节选)已知函数,讨论的单调性;2.(2023·天津市南开中学模考)已知函数,讨论f(x)的单调性;3.(2023·广西南宁三中期末)已知函数,.讨论函数的单调性;4.(2023·天津市南开中学月考))已知,讨论的单调性;【题型三已知函数单调性求参】1.(2023·河南高三期末)若函数在区间上单调递增,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.2.(2023·广东汕尾·高三期末)函数在上存在单调递增区间,则的取值范围是()A. B. C. D.3.(2023·全国单元测试)函数在上不单调,则实数a的取值范围是_____.4.(2023·甘肃城关·兰州一中高三期中)已知函数存在三个单调区间,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.【题型四构造函数比较大小】1.(2023·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末)已知是定义在R上的函数的导数,且,则下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.2.(2023·湖南师范大学附中模考)定义在R上的偶函数的导函数为,且当时,.则(
)A. B.C. D.3.(2023·全国高三课时练习)已知实数a,b,,e为自然对数的底数,且,,,则(
)A. B.C. D.4.(2023·辽宁省实验中学分校高三期末)已知,则下列结论正确的是(
)A.b>c>a B.a>b>cC.b>a>c D.c>b>a【题型五构造函数解不等式】1.(2023·辽宁省实验中学分校高三期末)已知函数的导函数为,若对任意的,都有,且,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.2.(2023·全国高三单元测试)已知定义在上的函数满足为偶函数,且当,有,若,则不等式的解集是(
)A. B. C. D.3.(2023·湖北一模)函数是定义在上的函数,且为的导函数,若,则不等式的解集是________.4.(2023·四川广元市·高三三模)设是定义在R上的连续奇函数的导函数,当时,,则使得成立的x的取值范围是(
).A. B.C. D.5.(2023·江苏·昆山柏庐高级中学期末)已知函数满足:,,且.若角满足不等式,则的取值范围是()A. B. C. D.6.(2023·江西鹰潭市模拟)已知可导函数是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.3.2导数研究函数的单调性【题型解读】【题型一不含参函数的单调性】1.(2023·山东济南历城二中高三月考)函数的减区间是____________.答案:【解析】由可得所以由可得所以函数的减区间是故答案为:2.(2023·河南高三月考)若曲线在点处的切线过点,则函数的单调递减区间为()A. B.,(-1,0)C. D.答案:D【解析】因为,所以,所以切线的斜率,又曲线在点处的切线过点,所以,所以,解得,所以,,由得且,所以函数的单调递减区间为,.故选:D3.(2023·天津·崇化中学期中)已知函数的导函数为,,则函数的单调递增区间为(
)A. B.,C. D.答案:C【解析】由得,所以,,,因为,所以由得,故选:C.4.(2023·石嘴山市第三中学期末)函数的一个单调递减区间是()A. B. C. D.答案:A【解析】,该函数的定义域为,,,可得,令,可得,即,解得.所以,函数的单调递减区间为.当时,函数的一个单调递减区间为,,对任意的,,,,故函数的一个单调递减区间为.故选:A.5.(2023·重庆市育才中学高三月考)已知函数f(x)满足,则f(x)的单调递减区间为(
)A.(-∞,0) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(0,+∞)答案:A【解析】由题设,则,可得,而,则,所以,即,则且递增,当时,即递减,故递减区间为(-,0).故选:A【题型二含参函数的单调性】1.(2023·山东青岛高三期末节选)已知函数,讨论的单调性;答案:在上单调递减,在上单调递增【解析】函数的定义域为,.令,解得,则有当时,;当时,;所以在上单调递减,在上单调递增.2.(2023·天津市南开中学模考)已知函数,讨论f(x)的单调性;答案:答案见解析【解析】由题意得:f(x)定义域为(0,+∞),当时,,∴在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;当时,令,解得:∴当时,;当时,∴f(x)在(0,)上单调递增,在上单调递减;综上所述:当时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.3.(2023·广西南宁三中期末)已知函数,.讨论函数的单调性;答案:答案见解析【解析】显然,函数的定义域为,且,①若,显然单调递增.②若,令,有,易知,当时,,单调递增;当时,,单调递减.③若,则,单调递增,④若,令,有,易知,当,,单调递增;当时,,单调递减;当时,,单调递增.综上所述,若,的增区间为,减区间为;若,的增区间为;若,的增区间为,,减区间为4.(2023·天津市南开中学月考))已知,讨论的单调性;答案:见解析【解析】,①当时,,当时,,当时,,所以函数在上递增,在上递减;当时,令,则或,②当,即时,,所以函数在上递增;③当,即时,当或时,,当时,,所以函数在和上递增,在上递减;④当,即时,当或时,,当时,,所以函数在和上递增,在上递减,综上所述,当时,函数在上递增,在上递减;当时,函数在上递增;当时,函数在和上递增,在上递减;当时,函数在和上递增,在上递减;【题型三已知函数单调性求参】1.(2023·河南高三期末)若函数在区间上单调递增,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:A【解析】在区间上是增函数,在上恒成立,,因为,所以令,则,即,,,令,,则,在上单调递减,,即,故选:A.2.(2023·广东汕尾·高三期末)函数在上存在单调递增区间,则的取值范围是()A. B. C. D.答案:B【解析】,,由题意可知,存在,使得,即存在,使得,二次函数,当且仅当时,等号成立,则.故选:B.3.(2023·全国单元测试)函数在上不单调,则实数a的取值范围是_____.答案:【解析】,令得,由于,分离常数得.构造函数,,所以在上递减,在上递增,.下证:构造函数,,当时,①,而,即,所以,所以由①可得.所以当时,单调递增.由于,所以当时,,故,也即.由于,所以.所以的取值范围是故答案为:4.(2023·甘肃城关·兰州一中高三期中)已知函数存在三个单调区间,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.答案:C【解析】由题意,函数,可得,因为函数存在三个单调区间,可得有两个不相等的实数根,则满足,解得或,即实数的取值范围是.故选:C.【题型四构造函数比较大小】1.(2023·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末)已知是定义在R上的函数的导数,且,则下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.答案:C【解析】设,则.因为,所以,则在R上单调递增.因为,所以,即,所以,则A错误;因为,的大小不能确定,所以,的大小不能确定,则B错误;因为,所以,则,所以,则C正确;因为,的大小不能确定,所以,不能确定,则D错误.故选:C2.(2023·湖南师范大学附中模考)定义在R上的偶函数的导函数为,且当时,.则(
)A. B.C. D.答案:D【解析】令,因为是偶函数,所以为偶函数,当时,,所以在单调递减,在单调递增,则,即,则,故A错误;,即,故B错误;,即,故C错误;,即,则,故D正确.故选:D.3.(2023·全国高三课时练习)已知实数a,b,,e为自然对数的底数,且,,,则(
)A. B.C. D.答案:A【解析】由,,得,,,构造函数,求导得,令,得.当时,,单调递减;当时,,单调递增.因为,所以,所以,又因为,在上单调递减,所以.故选:A.4.(2023·辽宁省实验中学分校高三期末)已知,则下列结论正确的是(
)A.b>c>a B.a>b>cC.b>a>c D.c>b>a答案:D【解析】,,由于,所以,设,则,当时,,当时,,所以f(x)在单调递增,在上单调递减,所以,即,即,所以,得:,即,又,所以,得:,即,综上:,故选:D【题型五构造函数解不等式】1.(2023·辽宁省实验中学分校高三期末)已知函数的导函数为,若对任意的,都有,且,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】设函数,所以,因为,所以,即,所以在上单调递减,因为,所以,因为,整理得,所以,因为在上单调递减,所以.故选:C.2.(2023·全国高三单元测试)已知定义在上的函数满足为偶函数,且当,有,若,则不等式的解集是(
)A. B. C. D.答案:A【解析】因为定义在上的函数满足为偶函数,所以函数关于直线对称,即.因为当,有,即,故令,则在上单调递增,因为,所以关于点对称,所以在上单调递增,因为,所以所以,当时,,所以.当时,,所以且,即无解.所以,不等式的解集是故选:A3.(2023·湖北一模)函数是定义在上的函数,且为的导函数,若,则不等式的解集是________.答案:【解析】由题意可知在单调递增,又,时,时,;对于,当时,不等式成立,当时,,不等式不成立;当时,,且,不等式成立.综上不等式的解集为.故答案为:4.(2023·四川广元市·高三三模)设是定义在R上的连续奇函数的导函数,当时,,则使得成立的x的取值范围是(
).A. B.C. D.答案:B【解析】令.则,所以在上单调递减.又,所以当时,,而,所以;所以当时,,而,所以.在中,令x=1可得:.所以当时都要.又是定义在R上的连续奇函数,所以,当时,.所以可化为:或或,解得:或或.综上所述:.故选:B5.(2023·江苏·昆山柏庐高级中学期末)已知函数满足:,,且.若角满足不等式,则的取值范围是()A
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