高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第03练平面向量的数乘运算(原卷版+解析)

第3练平面向量数乘运算eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一．选择题1．设为非零向量，则（）．A． B． C． D．2．化简的结果是A． B． C． D．3．若，化简的结果为（）A． B． C． D．4．若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（）A． B．C． D．5．对实数、和向量，，，正确的是（）A． B．C．若，则 D．若，则6．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（）A．与的方向相反 B．与的方向相同C． D．7．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（）A．与的方向相反B．与的方向相同 C． D．若，则8．下列结论正确的是（）A．若，则或B．若，，则C．若，，则或D．若，其中，则9．若，则实数的值是A． B． C． D．10．设，分别为两边，的中点，则A． B． C． D．11．在中，点是边的中点，则A． B． C． D．12．在中，是的中点，则A． B． C． D．13．在中，点满足，则A． B． C． D．14．已知平行四边形，若，，且交于点，则A． B． C． D．15．已知是平面上的两个不共线向量，向量，．若，则实数（）A．6 B． C．3 D．16．在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点．设，，则A． B． C． D．17．在中为边的中点，则A． B． C． D．18．在中，为的中点，为线段上一点，若，则的值为A． B． C． D．19．已知为所在平面内一点，，则A． B． C． D．20．在中，点为边的中点，点在线段上，并且，则A． B． C． D．21．在平行四边形中，，，若是的中点，则A． B． C． D．22．如图，在中，，，和相交于点，则向量等于A． B． C． D．23．如图在梯形中，，，设，，则A． B． C． D．24．在等腰梯形中，，为的中点，则A． B． C． D．25．如图，平行四边形中，分别是的中点，若，，则A． B． C． D．26．在中，，，若，则等于A． B． C． D．27．如图四边形为平行四边形，，若，则的值为A．1 B． C． D．28．如图，中，点是的中点，点满足，与交于点，，则A． B． C． D．29．如图，四边形是平行四边形，是的中点，点在线段上，且，与交于点，若，则A． B． C． D．30．命题及点满足；命题是的重心，则是的A．充分不必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件31．已知，是不共面向量，设，，，，若的面积为3，则的面积为A．4 B．5 C．6 D．832．如图，设为内一点，且，，，则的面积与的面积之比等于A． B． C． D．33．已知为所在平面内一点，，则A． B． C． D．34．若点是内一点，且满足，则A． B． C． D．35．已知为所在平面内一点，为中点，且，设，，的面积分别为，，，则A． B． C． D．36．已知是内一点，，记的面积为，的面积为，则A．3 B．4 C．6 D．837．设点为内一点．且，则A． B． C． D．38．设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为、，则A． B． C． D．二．多选题39．已知实数，和向量，，下列说法中正确的是A． B． C．若，则 D．若，则40．若点是线段外一点，点是平面上任意一点，且，则下列说法正确的有A．若且，则点在线段的延长线上 B．若且，则点在线段的延长线上 C．若，则点在外 D．若，则点在内41．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是A．若，则点是边的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，且，则的面积是面积的三．填空题42．在平行四边形中，是对角线上的一点，且，设，，则．（用，表示）43．在中，已知点满足，若，则．44．已知为的重心，且，则．45．已知，则．46．在中，为边上的中线，为的中点，若，则．47．已知是内部一点，且，则的面积与的面积之比为．48．已知、、是平面内任意三点，点在直线上，若，则．49．设向量，不平行，若向量与平行，则实数的值为．50．已知向量，不共线，且，则___________.51．设是平面内两个不共线的向量，，，，．若A，，三点共线，则的最小值是___________.52．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为______．53．已知非零向量不共线，若，，，且，，三点共线，则___________.四．解答题54．如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示、、．55．设，分别是梯形的对角线与的中点（1）试用向量证明：；（2）若，求的值．56．如图所示，在中，，，与相交于点，设，．（1）试用向量，表示；（2）过点作直线，分别交线段，于点，．记，，求证：为定值．57．如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，．（1）用，分别表示向量，；（2）若，求实数的值．58．如图，在中，为的四等分点，且靠近点，，分别为，的三等分点，且分别靠近，两点，设，．（1）试用，表示，，；（2）证明：，，三点共线．第3练平面向量数乘运算eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一．选择题1．设为非零向量，则（）．A． B． C． D．【解析】，故答案为：A.2．化简的结果是A． B． C． D．【解析】原式等于．故选：．3．若，化简的结果为（）A． B． C． D．【解析】，故选：A.4．若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（）A． B．C． D．【解析】选项A是向量加法的结合律，正确；选项B是向量数量积运算对加法的分配律，正确；选项C是数乘运算对向量加法的分配律，正确；选项D．根据数量积和数乘定义，等式左边是与共线的向量，右边是与共线的向量，两者一般不可能相等，也即向量的数量积运算没有结合律存在．D错．故选：D．5．对实数、和向量，，，正确的是（）A． B．C．若，则 D．若，则【解析】对于A：由数乘向量的性质可知：，故A正确；对于B：表示与平行的某个向量，表示与平行的某个向量，显然不一定相等，故B错误；对于C：当或时，，显然成立，但不成立，故C错误；对于D：当时，成立，但不一定成立，故D错误；故选：．6．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（）A．与的方向相反 B．与的方向相同C． D．【解析】对于A，若，则与的方向相同，A错；对于B，，则与的方向相同，B对；对于C，当时，，C错；对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，D错.故选：B.7．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（）A．与的方向相反B．与的方向相同 C． D．若，则【解析】对于A，当λ＞0时，与的方向相同，故A错误；对于B，而，故与的方向相同，B正确；对于C，，由于|λ|的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C错误；对于D，向量不能比较大小，故D错误.故选：B.8．下列结论正确的是（）A．若，则或B．若，，则C．若，，则或D．若，其中，则【解析】时，与可能不共线，如，，满足，但没有或成立，A错；，，若，则与可能不共线，B错；由向量数乘定义知C正确；时，，但与可以是任意向量，不一定相等，D错．故选：C．9．若，则实数的值是A． B． C． D．【解析】由题意得，结合图示可得：所以，故选：．10．设，分别为两边，的中点，则A． B． C． D．【解析】因为，分别为两边，的中点，所以．故选：．11．在中，点是边的中点，则A． B． C． D．【解析】由题意知．故选：．12．在中，是的中点，则A． B． C． D．【解析】在中，是的中点，，故选：．13．在中，点满足，则A． B． C． D．【解析】．故选：．14．已知平行四边形，若，，且交于点，则A． B． C． D．【解析】因为在上，所以存在实数，使得．在平行四边形中，，所以．因为，，三点共线，所以，解得．故选：．15．已知是平面上的两个不共线向量，向量，．若，则实数（）A．6 B． C．3 D．【解析】，．向量，，．．是平面上的两个不共线向量，，．故选：B16．在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点．设，，则A． B． C． D．【解析】因为，所以，则．故选：．17．在中为边的中点，则A． B． C． D．【解析】因为为边的中点，所以，因为，所以，则．故选：．18．在中，为的中点，为线段上一点，若，则的值为A． B． C． D．【解析】如图，为的中点，，且为线段上一点，，解得．故选：．19．已知为所在平面内一点，，则A． B． C． D．【解析】因为为所在平面内一点，，所以．故选：．20．在中，点为边的中点，点在线段上，并且，则A． B． C． D．【解析】如图，为的中点，，又，，．故选：．21．在平行四边形中，，，若是的中点，则A． B． C． D．【解析】如图所示，平行四边形中，，，则，又是的中点，则．故选：．22．如图，在中，，，和相交于点，则向量等于A． B． C． D．【解析】设，，．，，则．，，，．故选：．23．如图在梯形中，，，设，，则A． B． C． D．【解析】取中点，由可知，四边形为平行四边形，则．故选：．24．在等腰梯形中，，为的中点，则A． B． C． D．【解析】如图所示，等腰梯形中，，，；又为的中点，，又，；；．故选：．25．如图，平行四边形中，分别是的中点，若，，则A． B． C． D．【解析】平行四边形中，分别是的中点，，，故选：．26．在中，，，若，则等于A． B． C． D．【解析】在中，，，，，，，．故选：．27．如图四边形为平行四边形，，若，则的值为A．1 B． C． D．【解析】由题意，可知：在中，，，，又，综上两式，可知：．故选：．28．如图，中，点是的中点，点满足，与交于点，，则A． B． C． D．【解析】因为点是的中点，所以，又，则，所以，因为，，三点共线，则，解得．故选：．29．如图，四边形是平行四边形，是的中点，点在线段上，且，与交于点，若，则A． B． C． D．【解析】连接，因为，，三点共线，所以，因为，所以，所以，因为是的中点，所以，因为，所以，则，解得．故选：．30．命题及点满足；命题是的重心，则是的A．充分不必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】如图：充分性：取的中点，连接，并延长至，使，则四边形为平行四边形，．又，，即、、三点共线，且为三等分点，故为的重心；必要性：设是的重心，则是的三边中线的交点，，又，．命题成立，故必要性成立．综上，则是的充要条件．故选：．31．已知，是不共面向量，设，，，，若的面积为3，则的面积为A．4 B．5 C．6 D．8【解析】因为，，，，所以，，所以，所以且，取中点，中点，做，垂足为，则，则，，所以，所以，，三点共线且，所以，，所以，所以的面积为8．故选：．32．如图，设为内一点，且，，，则的面积与的面积之比等于A． B． C． D．【解析】，，，四边形为平行四边形，，，的面积与的面积之比为：．故选：．33．已知为所在平面内一点，，则A． B． C． D．【解析】根据题意，如图，设的中点为，连接，则有，又由，则有，是线段的中点，则到的距离是到距离的，故，故选：．34．若点是内一点，且满足，则A． B． C． D．【解析】由题意知点是的重心，如图所示：作，，垂足分别为、，，是重心，，与同底，．故选：．35．已知为所在平面内一点，为中点，且，设，，的面积分别为，，，则A． B． C． D．【解析】因为为中点，所以，代入条件有，即，所以，，三点共线，因为为中点，所以，，两式相减，得．故选：．36．已知是内一点，，记的面积为，的面积为，则A．3 B．4 C．6 D．8【解析】因为，所以，设为的中点，为的中点，如图所示：则有，，所以，则，，三点共线，且，所以，所以点到的高等于点到的高的4倍（相似三角形的性质），则，又因为是的中点，所以，即，所以，故选：．37．设点为内一点．且，则A． B． C． D．【解析】，，设为边的中点，则：，如图，，，三点共线，，．故选：．38．设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为、，则A． B． C． D．【解析】如图，取的中点为，，，，、、三点共线且，，，故选：．二．多选题39．已知实数，和向量，，下列说法中正确的是A． B． C．若，则 D．若，则【解析】根据向量的运算法则可知，选项，正确；对于，当时，，但向量，不一定相等，故选项错误；对于，因为，所以，又因为，所以，故选项正确．故选：．40．若点是线段外一点，点是平面上任意一点，且，则下列说法正确的有A．若且，则点在线段的延长线上 B．若且，则点在线段的延长线上 C．若，则点在外 D．若，则点在内【解析】因为若且，故即又则点在线段或其反向延长线上，错误；若且，同上可得而则点在线段的延长线上，正确；若，，同上可得，当时，根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点在外，正确；若，不防令，则，很显然此时点在线段的延长线上，不在内，错误．故选：．41．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是A．若，则点是边的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，且，则的面积是面积的【解析】若，则点是边的中点，故正确；若，即有，即，则点在边的延长线上，故错误；若，即，则点是的重心，故正确；若，且，可得，设，由右图可得为的中点，则的面积是面积的，故正确．故选：．三．填空题42．在平行四边形中，是对角线上的一点，且，设，，则．（用，表示）【解析】，故答案为：，43．在中，已知点满足，若，则．【解析】，，故答案为：．44．已知为的重心，且，则．【解析】取中点，则，为的重心，，，故．故答案为：．45．已知，则．【解析】由得得，即，，得，．故答案为：．46．在中，为边上的中线，为的中点，若，则．【解析】由题意，，，，．故答案为：．47．已知是内部一点，且，则的面积与的面积之比为．【解析】根据题意，设在边上，且，则，又由，变形可得：，则，则是的中点，故到边的距离为到边距离的，则的面积与的面积之比为，故答案为：．48．已知、、是平面内任意三点，点在直线上，若，则．【解析】点在直线上，且，，；故答案为：．49．设向量，不平行，若向量与平行，则实数的值为．【解析】向量与平行，存在实数使得，化为，向量，不平行，，解得．故答案为：．50．已知向量，不共线，且，则___________.【解析】因为向量，不共线，且，所以有，则解得.故答案为：51．设是平面内两个不共线的向量，，，，．若A，，三点共线，则的最小值是_________