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文档简介
第五章平面向量与复数5.1.2平面向量(针对练习)针对练习针对练习一平面向量的实际背景及基本概念1.下列说法正确的是(
)A.若向量与共线且与不为零向量,则存在实数,使得B.零向量是没有方向的向量C.任意两个单位向量的方向相同D.同向的两个向量可以比较大小2.在下列说法中:①若,,则;
②零向量的模长是;③长度相等的向量叫相等向量;
④共线是在同一条直线上的向量.其中正确说法的序号是(
)A.①② B.②③ C.②④ D.①④3.下列有关向量的命题正确的是(
)A.长度相等的向量均为相等向量B.若ABCD是平行四边形,则必有C.非零向量,,,等式恒成立D.若非零向量,满足,则,所在的直线平行或重合4.下列说法错误的是(
)A.若,则 B.零向量与任一向量平行C.零向量是没有方向的 D.若两个相等的向量起点相同,则终点必相同5.下列说法正确的是(
)①有向线段三要素是始点、方向、长度;②向量两要素是大小和方向;③同向且等长的有向线段表示同一向量;④在平行四边形中,.A.① B.①② C.①②③ D.①②③④针对练习二平面向量的线性运算6.已知D,E分别是的边和的中点,若,,则(
)A. B.C. D.7.如图所示,中,点D是线段BC的中点,E是线段AD的靠近A的四等分点,则(
)A. B. C. D.8.如图,是等边三角形,D在线段BC上,且,E为线段AD上一点,若与的面积相等,则(
)A. B. C. D.9.在平行四边形中,,则(
)A. B.C. D.10.如图所示的△ABC中,点D是线段AB上靠近A三等分点,点E是线段BC的中点,则DE=(
A. B. C. D.针对练习三平面向量的坐标运算11.已知向量,,则a−2b的坐标为(
)A.(-3,-10) B.(-3,-2)C.(-3,2) D.(3,-10)12.向量,,则(
)A. B. C.4 D.1313.已知向量,b=(−1,1),c=(3,0),若,则(
)A. B. C. D.14.设平面向量a=1,2,,若,则等于(
)A. B. C. D.15.已知向量,,且,则的值为(
)A. B. C.1 D.2针对练习四平面向量的数量积(模长问题)16.若a=b=1,且与的夹角为,则a−b=(A. B. C. D.17.已知为单位向量,且,则(
)A.1 B. C.2 D.18.已知,,,则(
)A. B.19 C. D.119.已知向量,满足,,,则(
)A.2 B.1 C.-1 D.-220.已知向量满足,且a+b=6,则(
)A.6 B.8 C.36 D.64针对练习五平面向量的数量积(夹角问题)21.已知,,,则与的夹角为(
)A. B. C. D.22.已知平面向量,满足,,,则与的夹角为(
)A. B. C. D.23.已知,,,则与的夹角是(
)A. B. C. D.24.已知向量,满足,则与的夹角为(
)A. B. C. D.25.已知,则与的夹角为(
)A. B. C. D.针对练习六平面向量的投影26.已知,与的夹角为60°,则在上的投影为(
)A.1 B.2 C.-2 D.-127.若向量满足,则在方向上的投影为(
)A.1 B.-1 C. D.28.已知,与非零向量同向的单位向量为,且,向量在上的投影向量为(
)A.12b B. C. D.−29.已知向量,则在方向上的投影是(
)A. B. C. D.30.向量在向量上的射影为(
)A. B. C. D.针对练习七平面向量的共线定理的推论31.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设,,则(
)A.1 B.2 C. D.332.如图,在中,,是上一点,若,则实数的值为(
)A.3 B.4 C.5 D.633.如图,在△中,,是上的一点,若,实数的值为(
)A. B.C. D.34.如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点、,若,,则(
)A. B. C. D.35.如图,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB、AC两边交于M、N两点(M、N与B、C不重合),设,,则的最小值为(
)A. B. C. D.第五章平面向量与复数5.1.2平面向量(针对练习)针对练习针对练习一平面向量的实际背景及基本概念1.下列说法正确的是(
)A.若向量与共线且与不为零向量,则存在实数,使得B.零向量是没有方向的向量C.任意两个单位向量的方向相同D.同向的两个向量可以比较大小【答案】A【解析】【分析】根据向量得实际背景及基本概念,依次判断各项正误.【详解】∵与为非零向量,且共线,∴存在实数,使得,A正确;零向量的长度为0,方向是任意的,故B错误;任意两个单位向量的长度相等,但方向不一定相同,故C错误;不管是同向的向量还是不同向的向量,都不能比较大小,故D错误.故选:A.2.在下列说法中:①若,,则;
②零向量的模长是;③长度相等的向量叫相等向量;
④共线是在同一条直线上的向量.其中正确说法的序号是(
)A.①② B.②③ C.②④ D.①④【答案】A【解析】【分析】根据相等向量、共线向量、零向量的定义判断即可;【详解】解:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,若,,则,故③错误,①正确,模为的向量叫做零向量,故②正确,方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量也称为共线向量,规定零向量和任意向量平行,故④错误;故选:A3.下列有关向量的命题正确的是(
)A.长度相等的向量均为相等向量B.若ABCD是平行四边形,则必有C.非零向量,,,等式恒成立D.若非零向量,满足,则,所在的直线平行或重合【答案】D【解析】【分析】由相等向量的概念可判断A;结合图形和相等向量概念可判断B;由数量积的性质可判断C;由共线向量的概念可判断D.【详解】由相等向量概念可知A错误;由图知,为相反向量,B错误;记,则,显然,,不共线时,C错误;由平行向量的概念可知,D正确.故选:D4.下列说法错误的是(
)A.若,则 B.零向量与任一向量平行C.零向量是没有方向的 D.若两个相等的向量起点相同,则终点必相同【答案】C【解析】【分析】对A,根据模长的定义判断即可;对BC,根据零向量的性质判断即可;对D,根据相等向量的性质判断即可【详解】对A,零向量的模长为0,故A正确;对B,零向量与任一向量平行,故B正确;对C,零向量的方向是任意的,故C错误;对D,相等向量若起点相同则终点相同,D正确;故选:C5.下列说法正确的是(
)①有向线段三要素是始点、方向、长度;②向量两要素是大小和方向;③同向且等长的有向线段表示同一向量;④在平行四边形中,.A.① B.①② C.①②③ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】根据有向线段的定义、向量的定义、以及向量的几何意义可判断每个说法的正误,从而找出正确选项.【详解】①始点、方向、长度可以确定一条有向线段,即有向线段三要素是始点、方向、长度,故①正确;②根据向量的定义知,向量的两要素是大小和方向,故②正确;③同向且等长的有向线段表示的向量大小相等,方向相同,故为同一向量,故③正确;④∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,且AB=DC,故,故④正确.故选:D.针对练习二平面向量的线性运算6.已知D,E分别是的边和的中点,若,,则(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得;【详解】解:因为,分别是的边和的中点,所以.故选:D.7.如图所示,中,点D是线段BC的中点,E是线段AD的靠近A的四等分点,则(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量加减法的三角形法则计算即可.【详解】解:由题意可得:,,,.∴,故选:D.8.如图,是等边三角形,D在线段BC上,且,E为线段AD上一点,若与的面积相等,则(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意,可得E为AD中点,根据向量的线性运算法则,即可得答案.【详解】∵D在线段BC上,且,∴,又E为线段AD上一点,若与的面积相等,∴,则E为AD的中点,又,,所以,故选:D9.在平行四边形中,,则(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量线性运算法则计算可得;【详解】解:因为,所以,所以.故选:D10.如图所示的△ABC中,点D是线段AB上靠近A三等分点,点E是线段BC的中点,则DE=(
A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意可得,,根据平面向量的加减运算可得.【详解】由已知可得,,所以.故选:B.针对练习三平面向量的坐标运算11.已知向量,,则a−2b的坐标为(
)A.(-3,-10) B.(-3,-2)C.(-3,2) D.(3,-10)【答案】A【解析】【分析】依据向量的坐标运算规则解之即可.【详解】故选:A12.向量,,则(
)A. B. C.4 D.13【答案】C【解析】【分析】先求出a−2b,再由模长公式求解【详解】,则.故选:C.13.已知向量,b=(−1,1),c=(3,0),若,则(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出b+【详解】解:因为,b=(−1,1),c=(3,0)所以b+c=(−1,1)+(3,0)=所以,解得.故选:B14.设平面向量a=1,2,,若,则等于(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求出的值,可求出的坐标,利用平面向量的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得,可得,故,因此,.故选:C.15.已知向量,,且,则的值为(
)A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】求出的坐标后可求的值.【详解】,由可得,解得,故选:C针对练习四平面向量的数量积(模长问题)16.若,且与的夹角为,则a−b=(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把模平方转化为数量积的运算求解.【详解】由已知,.故选:A.17.已知为单位向量,且,则(
)A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用已知条件求出向量数量积为0,推出,然后求解向量的模即可.【详解】为单位向量,且,可得,所以,则故选:A18.已知,,,则(
)A. B.19 C. D.1【答案】A【解析】【分析】由及数量积的运算律计算可得.【详解】解:因为,,,所以.故选:A19.已知向量,满足,,,则(
)A.2 B.1 C.-1 D.-2【答案】B【解析】【分析】利用向量数量积的运算律可得,结合已知即可求.【详解】由,可得.故选:B20.已知向量满足,且a+b=6,则(
)A.6 B.8 C.36 D.64【答案】B【解析】【分析】由题可得,然后利用模长公式即得.【详解】因为,所以.因为,所以.故选:B.针对练习五平面向量的数量积(夹角问题)21.已知,,,则与的夹角为(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将两边平方,代入,化简可得,再根据向量的夹角公式求解即可【详解】由可得,即,故,即,设与的夹角为,则,即,又,故故选:D22.已知平面向量,满足,,,则与的夹角为(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由求出,由两边平方求出,再根据平面向量的夹角公式可求出结果.【详解】因为,所以,因为,,所以,所以,所以,所以,所以,因为,所以.故选:B23.已知,,,则与的夹角是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件,求出,再利用向量夹角公式计算作答.【详解】由得:,即有,而,则,于是得,又,解得,所以与的夹角是.故选:D24.已知向量,满足,则与的夹角为(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量,满足,求得且,结合向量的夹角公式,即可求解.【详解】因为向量,满足,由,可得,即,即又由,可得,即,解得,即,又因为,因为,所以,即与的夹角为.故选:B.25.已知,则与的夹角为(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由已知条件求出的值,再利用向量的夹角公式求解即可【详解】设与的夹角为,因为,所以,得,所以,因为,所以,故选:B针对练习六平面向量的投影26.已知,与的夹角为60°,则在上的投影为(
)A.1 B.2 C.-2 D.-1【答案】A【解析】【分析】直接用定义即可求出.【详解】由题可得在上的投影为.故选:A.27.若向量满足,则在方向上的投影为(
)A.1 B.-1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据求出,根据即可求投影.【详解】,故在方向上的投影.故选:D.28.已知,与非零向量同向的单位向量为,且,向量在上的投影向量为(
)A.12b B. C. D.−【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的几何意义,利用公式,即可求得向量在上的投影向量.【详解】由题意,,与非零向量同向的单位向量为,且,可得向量在上的投影向量为.故选:B.29.已知向量,则在方向上的投影是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在方向上的投影为,将已知条件代入即可求解【详解】因为,,则在方向上的投影为故选:C30.向量在向量上的射影为(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用数量积的几何意义直接求解即可【详解】向量在向量上的射影为,故选:D针对练习七平面向量的共线定理的推论31.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的
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