高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)8.5.2直线与圆锥曲线的位置关系(针对练习)(原卷版+解析)

第八章平面解析几何8.5.2直线与圆锥曲线的位置关系（针对练习）针对练习针对练习一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定2．直线与椭圆有两个公共点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．3．过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条4．若直线与双曲线相交，则的取值范围是A． B． C． D．5．直线与抛物线的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定针对练习二圆锥曲线中的弦长、焦点弦问题6．直线与椭圆相交于两点,则等于(

)A． B． C． D．7．直线交椭圆于两点，若，则的值为（

）A． B． C． D．8．直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为（

）A． B． C． D．9．已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有A．条 B．条 C．条 D．条10．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（

）A．1 B．3 C．6 D．8针对练习三圆锥曲线的中点弦问题11．已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（）A．B．C． D．12．已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（

）A． B． C． D．13．已知双曲线方程为，过点作直线与该双曲线交于，两点，若点恰好为中点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．14．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(

)A． B． C． D．15．已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（

）A． B．3 C． D．－3针对练习四圆锥曲线中的向量问题16．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．17．已知椭圆上，过F1的直线l与椭圆E交于A、B两点（点A位于x轴上方），若，则直线l的斜率k的值为（

）A． B． C． D．18．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于、两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．19．经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（

）A． B．1 C．2 D．20．已知双曲线：的右焦点为，是虚轴的一个端点，线段与的右支交于点，若，则的渐近线的斜率为（

）A． B． C． D．针对练习五圆锥曲线中的定点、定值、定直线21．已知，是椭圆E：上的两点．(1)求椭圆E的方程．(2)若直线l与椭圆E交于C，D两点（C，D均不与点A重合），且以线段CD为直径的圆过点A，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22．在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)设，垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线和曲线交于另一点，求证：直线过定点.23．已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标.24．已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，(1)求圆心的轨迹方程(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.25．如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：点P在定直线上.针对练习六圆锥曲线中的最值、范围26．已知椭圆经过点，其右焦点为.(1)求椭圆的离心率；(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.27．已知椭圆过点，且离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点P的直线l与椭圆C交于A、B两点，且原点O到直线l的距离为1，求的取值范围．28．已知F1（﹣2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|﹣|PF2|=2，记点P的轨迹为E．（1）求轨迹E的方程；（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点．（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．29．已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点的坐标为，过的直线与双曲线交于不同两点、.(1)求双曲线的方程；(2)求的取值范围（为坐标原点）.30．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点.（i）求证：点在一条定直线上；（ii）求面积的取值范围.第八章平面解析几何8.5.2直线与圆锥曲线的位置关系（针对练习）针对练习针对练习一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【详解】解析联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交.2．直线与椭圆有两个公共点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】联立直线和椭圆方程得得或，又因为，综合即得解.【详解】联立直线和椭圆方程得，所以所以，所以或，因为所以且.故选：C【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【分析】设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合方程解的情况进行求解.【详解】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；当斜率存在时，设直线为，联立，得①.当，即时，①式只有一个解；当时，则，解得；综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.故选：D.4．若直线与双曲线相交，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【分析】联立直线和双曲线的方程得到，即得的取值范围.【详解】联立直线和双曲线的方程得当，即时，直线和双曲线的渐近线重合，所以直线与双曲线没有公共点.当，即时，，解之得.故选：C.【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5．直线与抛物线的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】A【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论．【详解】直线过定点，∵，∴在抛物线内部，∴直线与抛物线相交，故选：A．针对练习二圆锥曲线中的弦长、焦点弦问题6．直线与椭圆相交于两点,则等于(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】将直线方程与椭圆方程联立，解出两点的坐标，然后利用两点间的距离公式求得的值.【详解】由，解得，由两点间的距离公式得.故选C.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交交点坐标的求法，考查直线和椭圆相交所得的弦的弦长求法，属于基础题.7．直线交椭圆于两点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一：由题可知，椭圆和直线都过点，设，由弦长公式得出=，求出的坐标，代入椭圆方程即可求出的值.法二：联立直线和椭圆方程，求得，利用弦长公式得出，代入得=，即可求出的值.【详解】解法一：由椭圆，则顶点为，而直线也过，所以为直线与椭圆的一个交点，设，则=，解得：，所以或（不合，舍去），把代入椭圆方程得：，故.故选：B.解法二：由得，所以，又，所以=，因为，所以，故.故选：B.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，以及根据弦长公式求参数值，考查运算能力.8．直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】将直线方程代入双曲线的方程，消去并整理得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式计算即可.【详解】将直线代入得.设两交点，则，.故选:B．【点睛】直线与二次曲线的相交弦长公式为:；与二次曲线相交所得的弦长公式为:.9．已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有A．条 B．条 C．条 D．条【答案】C【分析】根据双曲线，过的直线垂直于轴时，，双曲线两个顶点的距离为，即可得出结论.【详解】双曲线，过的直线垂直于轴时，；双曲线两个顶点的距离为，满足的直线有条，一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.故选：C【点睛】本题考查了直线与双曲线相交的弦长问题，考查了通径的求法，属于基础题.10．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（

）A．1 B．3 C．6 D．8【答案】D【分析】由题意可得直线与的方程为，代入抛物线方程得，根据韦达定理与焦半径的公式即可求出的值.【详解】解：由题意可知，所以直线与的方程为，联立直线方程和抛物线方程，可得，设则，所以.故选：D.针对练习三圆锥曲线的中点弦问题11．已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】设出弦的两个端点的坐标，代入椭圆方程，作差整理可得弦所在直线的斜率，写出直线方程的点斜式，化为一般式得答案．【详解】设弦的两个端点分别为，，则，①﹣②得：，即，所以．故以点为中点的弦所在的直线方程为y，整理得：.故选：C.12．已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】中点弦问题利用点差法处理.【详解】法一：设，则，所以，又AB的中点为，所以，所以，由题意知，所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.故选：C.法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，代入并整理得，因为为线段AB的中点，所以，整理得，所以C的离心率.故A，B，D错误.故选：C.13．已知双曲线方程为，过点作直线与该双曲线交于，两点，若点恰好为中点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先设，，由题意得到，，两式作差整理，结合题意，求出直线斜率，即可得出直线方程.【详解】设，，由题意可得：，两式作差可得：，即，又点恰好为中点，所以直线的斜率为：，因此，直线的方程为：，即.故选A【点睛】本题主要考查双曲线中点弦所在直线方程问题，熟记双曲线的几何性质与直线的斜率公式即可，属于常考题型.14．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】利用点差法即可．【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．设双曲线C的方程为，则．设，，则，，．由，得，即，∴，易得，，，∴双曲线C的离心率．故选：B．15．已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（

）A． B．3 C． D．－3【答案】C【分析】利用点差法计算可得；【详解】解：设，，则，所以，整理得．因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为．故选：C针对练习四圆锥曲线中的向量问题16．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面垂直向量的数量积表示可得，利用平面向量的线性运算将变形为，设()，利用两点坐标求出，结合二次函数的性质即可求出最小值.【详解】由题意得，由,得，则,设()，由，得，则，又，由二次函数的性质可知，，所以的最小值为.故选：C.17．已知椭圆上，过F1的直线l与椭圆E交于A、B两点（点A位于x轴上方），若，则直线l的斜率k的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出直线方程，与椭圆联立，根据向量关系可得，代入韦达定理即可求出.【详解】由椭圆方程可得，设直线方程为，设，联立方程组，可得，则，，由得，则，代入上式得，，解得，则，则直线的斜率为，又点A位于x轴上方，所以斜率为.故选：C.18．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于、两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出椭圆的两个焦点坐标以及点的坐标，由求出点的坐标，利用椭圆的定义求得的值，进而可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可知，点在直线上，即，可得，直线交轴于点，设点，，，由可得，解得，椭圆的右焦点为，则，又，，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.19．经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【解析】先依题意写出直线的方程，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算计算即得结果.【详解】由双曲线的方程可知，右焦点坐标为，的直线方程可设为，设，，则，联立可得，，，，．故选：B．20．已知双曲线：的右焦点为，是虚轴的一个端点，线段与的右支交于点，若，则的渐近线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，根据，表示出点M的坐标，再由点M在双曲线上，代入双曲线方程求解.【详解】设，因为双曲线的右焦点为，是虚轴的一个端点，则，所以，因为，所以，解得，因为点M在双曲线上，所以，解得，所以渐近线的斜率为，故选：D针对练习五圆锥曲线中的定点、定值、定直线21．已知，是椭圆E：上的两点．(1)求椭圆E的方程．(2)若直线l与椭圆E交于C，D两点（C，D均不与点A重合），且以线段CD为直径的圆过点A，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)(2)定点，理由见解析.【分析】（1）将代入椭圆方程即可求出；（2）分斜率是否存在设出直线方程，利用即可求出.（1）将，代入椭圆方程可得，解得，所以椭圆方程为；（2）若直线的斜率不存在，设直线方程为，由题可得为等腰直角三角形，则可将代入椭圆，解得（舍去）或，即直线方程为；若直线的斜率存在，设方程为，设，联立方程，可得，则，可得，①，②，由题可得，则，即，代入①②，整理可得，解得或，若，直线为，经过点,不符合，若，直线为，经过定点，综上所述，直线l过定点.22．在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)设，垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线和曲线交于另一点，求证：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）依题意由距离公式得到方程，整理即可得到动点的轨迹方程；（2）设，，，直线方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再表示直线的方程，令求出为定值，即可得解.（1）解：由题设得，即，整理得；（2）解：设，，，显然直线斜率不为，设直线方程为，联立，消去并整理得，由题设且，化简得且，由韦达定理可得，，直线的方程是，令得，所以直线过定点.23．已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得到椭圆的下顶点为和椭圆过点求解；（2）设点坐标为，当直线斜率存在时，设其方程为，与联立，由，结合韦达定理求解；当直线斜率不存在时验证即可.（1）解：由题意，椭圆的下顶点为，故.由对称性，椭圆过点，代入椭圆方程有，解得：.故椭圆的标准方程为：.（2）设点坐标为.当直线斜率存在时，设其方程为，与联立得：.设，则.，，，为定值，即与无关，则，此时.经检验，当直线斜率不存在时也满足，故点坐标为.24．已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，(1)求圆心的轨迹方程(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据圆C与圆A、圆B外切，得到<4，再利用双曲线的定义求解；（2）设直线为，联立，利用弦长公式求得，再根据线段MN的垂直平分线，得到点P的坐标求解.（1）解：因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为，则，，所以<4，所以点C的轨迹是双曲线的一支，又，，，所以其轨迹方程为；（2）设直线为，联立，消去y得：，所以，设MN中点坐标为G，则，所以，，直线GP的方程为:，，所以，所以=1.25．如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：点P在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的定义及韦达定理可求解；（2）根据垂心建立斜率之间的关系，从而得到直线，两直线联立得到点的坐标，结合韦达定理，从而可得点P在定直线上.(1)设直线l的方程为，，.由得.所以，.由抛物线定义，得.当直线l的倾斜角为30°时，，.所以，即抛物线C的标准方程为.(2)由（1），得，.因为的垂心为原点O，所以，.因为，所以.所以直线AP的方程为，即.同理可得，直线BP的方程为.联立方程解得即.所以点P在定直线上.针对练习六圆锥曲线中的最值、范围26．已知椭圆经过点，其右焦点为.(1)求椭圆的离心率；(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得，从而可求出，进而可求出离心率，（2）设，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，再由可得或，可得直线经过定点，然后表示出面积，求其最大值即可.（1）依题可得，，解得，所以椭圆的方程为.所以离心率.（2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，故可设，由可得，，所以，，而，即，化简可得，，化简得，所以或，所以直线或，因为直线不经过点，所以直线经过定点.设定点，因为，所以，设，所以，当且仅当即时取等号，即面积的最大值为.27．已知椭圆过点，且离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点P的直线l与椭圆C交于A、B两点，且原点O到直线l的距离为1，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】(1)将点P的坐标代入椭圆方程得出a与b的方程，结合离心率的定义即可得出椭圆方程；(2)当直线l的斜率不存在易得；当直线l的斜率存在，设其方程为，，，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出，利用点到直线的距离公式计算可得，结合平面向量数量积的坐标表示化简计算即可.(1)由题意知，，解得，，椭圆C的方程为；(2)若直线l的斜率不存在，不妨设其方程为，此时A、B的坐标为，则若直线l的斜率存在，设其方程为，联立，消y整理得：因为直线与椭圆交于A、B两点，故，解得设，，则，，原点O到直线AB的距离得，代入知恒成立．又点P不在直线l上，所以，且得因，故，综上知，的取值范围是28．已知F1（﹣2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|﹣|PF2|=2，记点P的轨迹为E．（1）求轨迹E的方程；（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点．（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．【答案】（1）．（2）（i）当m=﹣1时，MP⊥MQ．（ii）综上可知S△MPQ≥9，故S△MPQ的最小值为9．【详解】试题分析：（1）利用双曲线的定义及其标准方程即可得出；（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣2），P（x1，y1），Q（x2，y2），与双曲线方程联立消y得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，利用根与系数的关系、判别式解出即可得出．（i）利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出；（ii）利用点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出．解：（1）由|PF1|﹣|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，∴b2=3，故轨迹E的方程为．（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣2），P（x1，y1），Q（x2，y2），与双曲线方程联立消y得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，∴，解得k2＞3（i）∵∵MP⊥MQ