高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.1函数的概念及其表示(精讲)(原卷版+解析)

2.1函数的概念及其表示【题型解读】【知识储备】1．函数的概念一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．【题型精讲】【题型一函数的概念】必备技巧函数的概念(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数只需判断定义域和对应关系即可.例1(2023·湖南·高三课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②例2(2023·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．，B．C．，D．，，0，，，，0，【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（

）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）2．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，，是同一函数的是（

）A．，B．，C．，D．，【题型二函数的定义域】必备技巧函数的定义域(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．(2)求抽象函数的定义域的策略①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．例3(2023·湖北省广水市实验高级中学高三阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．例4（1）(2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．（2）(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为______.例5(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【题型精练】1．(2023·重庆巴蜀中学高三期末）已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（

）A． B． C． D．2.(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．3.(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．【题型三函数的解析式】必备技巧函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)方程思想：已知关于f(x)与f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．例6(2023·全国·高三专题练习）已知是一次函数，且，则的解析式为A．或 B．或C．或 D．或例7(2023·全国·高三专题练习）已知，则函数f(x)=_______，=_______．例8(2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f(x)的解析式．（1）已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，则f(x)的解析式为________________．（2）已知f(x)满足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函数解析式．（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．2.(2023·全国·高三专题练习）已知为二次函数，，，求的解析式．3.(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则（

）A． B． C． D．4.(2023·贵州安顺市月考）已知函数满足，则的解析式为（）A． B．C． D．【题型四分段函数】必备技巧分段函数(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．例9(2023·广东梅州·二模）设函数，则（

）A．2 B．6 C．8 D．10例10(2023·广西广西·模拟预测（理））已知，若，则（

）A．2 B． C．1 D．0例11(2023·江西·景德镇一中高三期末）已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【题型精练】1．(2023·山东潍坊·模拟预测）设函数，则（

）A． B． C． D．2.(2023·浙江·模拟预测）已知函数，则___________；若，则实数___________.3.(2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2.1函数的概念及其表示【题型解读】【知识储备】1．函数的概念一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．【题型精讲】【题型一函数的概念】必备技巧函数的概念(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数只需判断定义域和对应关系即可.例1(2023·湖南·高三课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②答案：C【解析】由题意，函数的定义域为，对于①中，函数的定义域不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系；对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；对于③中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.故选：C例2(2023·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．，B．C．，D．，，0，，，，0，答案：D【解析】对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于B：，，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于D：对应点的坐标为，，，对应点的坐标为，，，两个函数对应坐标相同，是同一函数，故选：D．【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（

）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）答案：C【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足.故选：C.2．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，，是同一函数的是（

）A．，B．，C．，D．，答案：D【解析】解：对于A选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；对于B选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；对于C选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；对于D选项，，的定义域均为，对应关系均为，故是同一函数.故选：D【题型二函数的定义域】必备技巧函数的定义域(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．(2)求抽象函数的定义域的策略①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．例3(2023·湖北省广水市实验高级中学高三阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】要使函数有意义，则有解得且.所以函数的定义域为.故选：B例4（1）(2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．（2）(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为______.答案：（1）B（2）【解析】（1）的定义域为，，即，，解得：且，的定义域为.故选：.（2）的定义域是，则，即函数的定义域为，令，解得.则函数的定义域为.故答案为：.例5(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】∵的定义域为，∴只需分母不为即可，即恒成立，（1）当时，恒成立，满足题意，（2）当时，，解得，综上可得.故选：B.【题型精练】1．(2023·重庆巴蜀中学高三期末）已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由题意可知，函数的定义域为[1，10]，则函数成立需要满足，解得.故选：B.2.(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．答案：B【解析】由，得，所以，所以．故选：B．3.(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．答案：【解析】当时，，即定义域为R；当，要使的定义域为R，则在上恒成立，∴，解得，综上，有，故答案为：【题型三函数的解析式】必备技巧函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)方程思想：已知关于f(x)与f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．例6(2023·全国·高三专题练习）已知是一次函数，且，则的解析式为A．或 B．或C．或 D．或答案：A【解析】设，则，即对任意的恒成立，所以，解得：或，所以的解析式为或，故选：A例7(2023·全国·高三专题练习）已知，则函数f(x)=_______，=_______．答案：

11【解析】令，则，所以，所以，所以.故答案为：；.例8(2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f(x)的解析式．（1）已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，则f(x)的解析式为________________．（2）已知f(x)满足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函数解析式．（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．【解】（1）方法一(换元法)：令eq\r(x)＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)：f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＝x＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1.因为eq\r(x)＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．（2）将代入，得，因此，解得.(3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y=，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】令，则，所以，所以，故选：A.2.(2023·全国·高三专题练习）已知为二次函数，，，求的解析式．答案：【解析】因为为二次函数，所以设，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，，，所以，，所以．3.(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】令为，则，与联立可解得，．故选：D．4.(2023·贵州安顺市月考）已知函数满足，则的解析式为（）A． B．C． D．答案：A【解析】函数满足，设，则，由知，故原函数可转化为，，即的解析式为.故选：A.【题型四分段函数】必备技巧分段函数(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假