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文档简介
Page1(满分:150分考试时间:120分钟)注意事项:1.答题时,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上,写在试题卷、草稿纸上无效.4.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.椭圆的短轴长为()A.B.C.3D.62.的展开式中含的项是()A.B.C.D.3.在空间直角坐标系中,已知点,若三点共线,则的值为()A.B.C.10D.134.电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色,每种颜色的色号均为0~255.在电脑上绘画时,可以分别从这三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色,则可配成的不同颜色种数为()A.种B.27种C.种D.6种5.若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是()A.4B.10C.2或10D.4或126.已知(均为有理数),则的值为()A.90B.91C.98D.997.已知抛物线,圆,过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点,自上而下依次为,若,则的值为()A.B.C.D.8.将20个无任何区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数,则不同的放法有()A.90种B.120种C.160种D.190种二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题所给的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知直线,则()A.是直线的法向量B.直线的倾斜角为C.直线与直线平行的充要条件是D.直线在两坐标轴上的截距相等10.在空间直角坐标系中,已知点,则()A.B.C.异面直线与所成角的余弦值为D.在上的投影的数量为11.已知,则下列结论正确的是()A.B.C.D.12.离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图,已知椭圆为顶点,分别为左、右焦点,为椭圆上一点,下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有()A.长轴长为4,短轴长为B.C.轴,且D.四边形的内切圆过焦点第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.圆和圆的位置关系是______.14.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有______种.15.如图,在正六边形中,以为焦点,且经过点的双曲线的离心率______.16.如图,正方体的棱长为2,P是过顶点的圆上的一点,为的中点.当直线与平面所成的角最大时,点的坐标为______;直线与平面所成角的正弦值的取值范围是______.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(1)已知,计算:;(2)解方程:.18.(12分)如图,分别是四面体的棱的中点,是的三等分点(点靠近点),记.(1)以为基底表示;(2)若,求.19.(12分)圆内有一点,过点的直线交圆于两点.(1)当为弦的中点时,求直线的一般式方程;(2)若圆与圆相交于两点,求的长度.20.(12分)已知的展开式的所有二项式系数之和为64.(1)求该二项式及其展开式中的常数项;(2)求展开式中系数最大的项.21.(12分)如图,且且且平面.(1)若为的中点,为的中点,求证:平面;(2)求二面角的平面角的正弦值;(3)若点在线段上,直线与平面所成的角为,求点到平面的距离.22.(12分)已知双曲线的右焦点为,其渐近线与抛物线:交于点.(1)求双曲线及抛物线的标准方程;(2)设是双曲线与抛物线在第一象限的交点,作直线与双曲线的两支分别交于点,使得.求证:直线过定点.
2023-2024学年度(上)联合体高二期末检测数学参考答案及评分标准一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.B【解析】在椭圆中,,所以短轴长为.2.C【解析】的展开式的通项公式为,所以含的项是.3.B【解析】因为,且三点共线,所以,解得.4.A【解析】分3步取色,第一、第二、第三步都有256种取法,根据分步乘法计数原理得,共可配成(种)不同的颜色.5.D【解析】由双曲线的方程可得,所以,可得.设右焦点为,左焦点为.当点在左支上时,则,所以;当点在右支上时,.6.D【解析】因为的展开式的通项公式为,所以.7.A【解析】如图,圆的圆心为,半径,且为抛物线的焦点,抛物线的准线方程为.设,则.因为,所以,则.设直线的方程为,显然,由得,所以,解得.8.B【解析】先在编号为2,3的盒子内分别放入1个,2个球,还剩17个小球,则三个盒子内每个至少再放入1个球.将17个球排成一排,有16个空隙,插入2块挡板分为三堆放入三个盒子中即可,不同的放法共有(种).二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.BD【解析】A:直线的一个法向量为,但与向量不共线,A错误;B:直线的斜率为,故倾斜角为,B正确;C:把直线的方程改写为,则直线,平行的充要条件是,即,C错误;D:直线在轴上的截距分别是,D正确.故选:BD.10.AC【解析】A:,所以,A正确;B:,所以,B错误;C:,所以,所以异面直线与所成角的余弦值为,C正确;D:,所以在上的投影的数量为,D错误.故选:AC.11.ACD【解析】A:令,得,A正确;B:的展开式的通项为,所以,所以的展开式中项的系数,B错误;C:令,得,C正确;D:令,得.令,得.两式相减,得,所以,D正确.故选:ACD.12.BD【解析】A:当长轴长为4,短轴长为时,,A不符合题意;B:当时,,即,B符合题意;C:当轴,且时,,且,则,C不符合题意;D:当四边形的内切圆过焦点时,点到直线的距离为,此时,解得.又,D符合题意.故选:BD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.外切【解析】根据两圆的方程可知,,所以,所以两圆外切.14.216【解析】最左端排甲,共有(种);最左端排乙,最右端不能排甲,有(种),所以不同的排法共有(种).15.【解析】设正六边形的半径为,如图,连接,则.又,所以.依题意,双曲线的实轴长,焦距,所以该双曲线的离心率.16.【解析】过点作的垂线并延长,交于点,易得,所以.由图可知当点在点的位置时,直线与平面所成的角最大.易得平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为,则,即直线与平面所成角的正弦值的最大值为.当平面时,直线与平面所成角的正弦值最小,为0,所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是.四、解答题(本大题共6小题,共70分)17.解:(1)因为,所以,解得,所以.(2)由,得,即,所以,解得(舍去),所以原方程的解为.18.解:(1).(2),所以.19.解:(1)直线的斜率显然存在.因为为弦的中点,由垂径定理得.又因为,所以,故直线的方程为,整理,得直线的一般式方程为.(2)与相减,得,所以直线的方程为.圆心到直线的距离.由垂径定理得的长度为.20.解:(1)由题意,得,解得,所以该二项式为,则通项公式为:.令,解得,所以该二项式的展开式中的常数项为.(2)设第项的系数最大,则解得,则,所以展开式中系数最大的项为.21.解:(1)法一:如图1,取的中点为,连接.又因为分别为的中点,所以.因为平面平面,所以平面平面.又因为平面,所以平面平面.因为平面,所以平面.图1图2法二:以为坐标原点,建立如图2的空间直角坐标系,则,..设平面的法向量为,则令,得.,则,即.又因为直线平面,所以平面.(2).设平面的法向量为,则令,得.设平面的法向量为,则令,得.设二面角的平面角为,显然为锐角,所以二面角的平面角的余弦值为,则二面角的平面角的正弦值为.(3)设,其中,则.平面的一个法向量为.因为直线与平面所成的角为,所以,解得.
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