辽宁省沈阳市重点学校联合体2023-2024学年高二数学上学期期末考试含解析

Page1（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．椭圆的短轴长为（）A．B．C．3D．62．的展开式中含的项是（）A．B．C．D．3．在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（）A．B．C．10D．134．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255．在电脑上绘画时，可以分别从这三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，则可配成的不同颜色种数为（）A．种B．27种C．种D．6种5．若双曲线上一点到其右焦点的距离是8，则点到其左焦点的距离是（）A．4B．10C．2或10D．4或126．已知（均为有理数），则的值为（）A．90B．91C．98D．997．已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，若，则的值为（）A．B．C．D．8．将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（）A．90种B．120种C．160种D．190种二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知直线，则（）A．是直线的法向量B．直线的倾斜角为C．直线与直线平行的充要条件是D．直线在两坐标轴上的截距相等10．在空间直角坐标系中，已知点，则（）A．B．C．异面直线与所成角的余弦值为D．在上的投影的数量为11．已知，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．12．离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆为顶点，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（）A．长轴长为4，短轴长为B．C．轴，且D．四边形的内切圆过焦点第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆和圆的位置关系是______．14．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种．15．如图，在正六边形中，以为焦点，且经过点的双曲线的离心率______．16．如图，正方体的棱长为2，P是过顶点的圆上的一点，为的中点．当直线与平面所成的角最大时，点的坐标为______；直线与平面所成角的正弦值的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）已知，计算：；（2）解方程：．18．（12分）如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（点靠近点），记．（1）以为基底表示；（2）若，求．19．（12分）圆内有一点，过点的直线交圆于两点．（1）当为弦的中点时，求直线的一般式方程；（2）若圆与圆相交于两点，求的长度．20．（12分）已知的展开式的所有二项式系数之和为64．（1）求该二项式及其展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项．21．（12分）如图，且且且平面．（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；（2）求二面角的平面角的正弦值；（3）若点在线段上，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离．22．（12分）已知双曲线的右焦点为，其渐近线与抛物线：交于点．（1）求双曲线及抛物线的标准方程；（2）设是双曲线与抛物线在第一象限的交点，作直线与双曲线的两支分别交于点，使得．求证：直线过定点．

2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测数学参考答案及评分标准一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B【解析】在椭圆中，，所以短轴长为．2．C【解析】的展开式的通项公式为，所以含的项是．3．B【解析】因为，且三点共线，所以，解得．4．A【解析】分3步取色，第一、第二、第三步都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成（种）不同的颜色．5．D【解析】由双曲线的方程可得，所以，可得．设右焦点为，左焦点为．当点在左支上时，则，所以；当点在右支上时，．6．D【解析】因为的展开式的通项公式为，所以．7．A【解析】如图，圆的圆心为，半径，且为抛物线的焦点，抛物线的准线方程为．设，则．因为，所以，则．设直线的方程为，显然，由得，所以，解得．8．B【解析】先在编号为2，3的盒子内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，则三个盒子内每个至少再放入1个球．将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒子中即可，不同的放法共有（种）．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．BD【解析】A：直线的一个法向量为，但与向量不共线，A错误；B：直线的斜率为，故倾斜角为，B正确；C：把直线的方程改写为，则直线，平行的充要条件是，即，C错误；D：直线在轴上的截距分别是，D正确．故选：BD．10．AC【解析】A：，所以，A正确；B：，所以，B错误；C：，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，C正确；D：，所以在上的投影的数量为，D错误．故选：AC．11．ACD【解析】A：令，得，A正确；B：的展开式的通项为，所以，所以的展开式中项的系数，B错误；C：令，得，C正确；D：令，得．令，得．两式相减，得，所以，D正确．故选：ACD．12．BD【解析】A：当长轴长为4，短轴长为时，，A不符合题意；B：当时，，即，B符合题意；C：当轴，且时，，且，则，C不符合题意；D：当四边形的内切圆过焦点时，点到直线的距离为，此时，解得．又，D符合题意．故选：BD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．外切【解析】根据两圆的方程可知，，所以，所以两圆外切．14．216【解析】最左端排甲，共有（种）；最左端排乙，最右端不能排甲，有（种），所以不同的排法共有（种）．15．【解析】设正六边形的半径为，如图，连接，则．又，所以．依题意，双曲线的实轴长，焦距，所以该双曲线的离心率．16．【解析】过点作的垂线并延长，交于点，易得，所以．由图可知当点在点的位置时，直线与平面所成的角最大．易得平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值的最大值为．当平面时，直线与平面所成角的正弦值最小，为0，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）因为，所以，解得，所以．（2）由，得，即，所以，解得（舍去），所以原方程的解为．18．解：（1）．（2），所以．19．解：（1）直线的斜率显然存在．因为为弦的中点，由垂径定理得．又因为，所以，故直线的方程为，整理，得直线的一般式方程为．（2）与相减，得，所以直线的方程为．圆心到直线的距离．由垂径定理得的长度为．20．解：（1）由题意，得，解得，所以该二项式为，则通项公式为：．令，解得，所以该二项式的展开式中的常数项为．（2）设第项的系数最大，则解得，则，所以展开式中系数最大的项为．21．解：（1）法一：如图1，取的中点为，连接．又因为分别为的中点，所以．因为平面平面，所以平面平面．又因为平面，所以平面平面．因为平面，所以平面．图1图2法二：以为坐标原点，建立如图2的空间直角坐标系，则，．．设平面的法向量为，则令，得．，则，即．又因为直线平面，所以平面．（2）．设平面的法向量为，则令，得．设平面的法向量为，则令，得．设二面角的平面角为，显然为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为，则二面角的平面角的正弦值为．（3）设，其中，则．平面的一个法向量为．因为直线与平面所成的角为，所以，解得．