高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.5直线和椭圆的位置关系(精练)(原卷版+解析)

8.5直线和椭圆的位置关系【题型解读】【题型一直线和椭圆位置关系】1.(2023·全国·高三专题练习）直线y＝x＋2与椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)2.(2023·福建高三期末）直线与椭圆的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定3.(2023·全国·高三专题练习）已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A． B． C． D．4.(2023·深圳模拟)已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是()A．[3，＋∞) B．(－∞，3]C．(3，＋∞) D．(－∞，3)5.(2023·全国高三模拟）直线与椭圆的交点个数为（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【题型二弦长问题】1.(2023·青岛高三模拟）坐标原点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.若点，则面积的最大值为（）A． B． C． D．12.(2023·山东日照高三模拟）(多选)已知椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝eq\f(4\r(2),3)，则实数m的值为()A．－1B．1C．－2D．23．(2023·武功县普集高级中学期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝eq\f(48,7)，求直线AB的方程．4．(2023·全国高三模拟）已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．(1)求椭圆的方程；(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．【题型三中点弦问题】1.(2023·全国高三专题练习）过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．3.(2023·全国·模拟预测）已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，椭圆M的离心率为eq\f(1,2)，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(1)求椭圆M的方程；(2)若过点N(1,1)的直线与该椭圆M交于P，Q两点，且线段PQ的中点恰为点N，求直线PQ的方程．4.(2023·山西太原五中高三期末）已知椭圆，试确定m的取值范围，使得圆E上存在不同的两点关于直线对称.【题型四直线与椭圆的综合问题】1.(2023·江苏省前黄高级中学高三月考）已知椭圆左焦点为，经过点的直线与圆相交于，两点，是线段与的公共点，且.（1）求椭圆的方程；（2）与的交点为，，且恰为线段的中点，求的面积.2.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，且离心率为eq\f(\r(3),2).F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF.(1)求椭圆E和⊙F的方程；(2)若直线l：y＝k(x－eq\r(3))(k>0)与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．3.(2023·浙江·高三开学考试）已知动点M到两定点F1(－m,0)，F2(m,0)的距离之和为4(0<m<2)，且动点M的轨迹曲线C过点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2))).(1)求m的值；(2)若直线l：y＝kx＋eq\r(2)与曲线C有两个不同的交点A，B，且eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝2(O为坐标原点)，求k的值．4.(2023·江西·高三开学考试）已知为坐标原点，椭圆过点，记线段的中点为．(1)若直线的斜率为3，求直线的斜率;(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．8.5直线和椭圆的位置关系【题型解读】【题型一直线和椭圆位置关系】1.(2023·全国·高三专题练习）直线y＝x＋2与椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)答案：B【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1，))得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.2.(2023·福建高三期末）直线与椭圆的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定答案：A【解析】直线可化为，所以直线恒过点，又，即在椭圆的内部，直线与椭圆的位置关系为相交.故选：A.3.(2023·全国·高三专题练习）已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A． B． C． D．答案：C【解析】设椭圆长轴长为（且，则椭圆方程为．由，可得，因为直线与椭圆只有一个交点，则，即．解得或或，又由，所以，所以长轴长．故选：．4.(2023·深圳模拟)已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是()A．[3，＋∞) B．(－∞，3]C．(3，＋∞) D．(－∞，3)答案：A【解析】∵直线方程为∴直线恒过定点∵曲线的方程为∴曲线表示椭圆∵直线与曲线：恒有公共点∴点在椭圆内或椭圆上，即.∴故选A.5.(2023·全国高三模拟）直线与椭圆的交点个数为（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案：C【解析】由题意，椭圆，可得，则椭圆的右顶点为，上顶点为，又由直线恰好过点，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.故选：C.【题型二弦长问题】1.(2023·青岛高三模拟）坐标原点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.若点，则面积的最大值为（）A． B． C． D．1答案：A【解析】直线方程为，代入椭圆方程得，，设，则，点到直线的距离为，所以（），记，则，当时，递增，当时，，递减，所以时，取得唯一的极大值也是最大值．即△MAN面积的最大值为．故选：A．2.(2023·山东日照高三模拟）(多选)已知椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝eq\f(4\r(2),3)，则实数m的值为()A．－1B．1C．－2D．2答案：AB【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝x＋m))消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.Δ＝16m2－12(2m2－2)＝－8m2＋24>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(4m,3)，x1x2＝eq\f(2m2－2,3).由题意，得|AB|＝eq\r(2x1＋x22－8x1x2)＝eq\f(4\r(2),3)，解得m＝±1，满足题意．3．(2023·武功县普集高级中学期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝eq\f(48,7)，求直线AB的方程．【解析】(1)由题意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－eq\f(1,k)(x－1)．将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1·x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，所以|AB|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\r(k2＋1)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(12k2＋1,3＋4k2).同理，|CD|＝eq\f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1)),3＋\f(4,k2))＝eq\f(12k2＋1,3k2＋4).所以|AB|＋|CD|＝eq\f(12k2＋1,3＋4k2)＋eq\f(12k2＋1,3k2＋4)＝eq\f(84k2＋12,3＋4k23k2＋4)＝eq\f(48,7)，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.4．(2023·全国高三模拟）已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．(1)求椭圆的方程；(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．【解析】（1）由椭圆可得，所以，解得，因为椭圆经过点，故得到，解得，所以椭圆的方程为（2）当切线垂直轴时，的横坐标为1或-1，由于椭圆的对称性，不妨设的横坐标为1，代入椭圆得解得，所以；当切线不垂直轴时，设切线方程为即，所以圆心到切线的距离，得，把代入椭圆方程，整理得设，则，设，则，则，所以，综上所述，，此时，因为，所以直线的斜率为【题型三中点弦问题】1.(2023·全国高三专题练习）过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．答案：A【解析】直线中，令，可得，所以右焦点，，设，，，，则，的中点，联立，整理得，所以，，所以，所以，又，，所以，，所以椭圆的方程为，故选：A．2．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．答案：D【解析】设，则，，则，两式相减得：，∴===，又==，∴，联立，得.∴椭圆方程为.故选：D．3.(2023·全国·模拟预测）已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，椭圆M的离心率为eq\f(1,2)，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(1)求椭圆M的方程；(2)若过点N(1,1)的直线与该椭圆M交于P，Q两点，且线段PQ的中点恰为点N，求直线PQ的方程．【解析】(1)∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(1,2)，则3a2＝4b2，将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))代入椭圆方程得eq\f(1,a2)＋eq\f(9,4b2)＝1，解得a＝2，b＝eq\r(3)，∴椭圆M的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∵线段PQ的中点恰为点N，∴xP＋xQ＝2，yP＋yQ＝2.∵eq\f(x\o\al(2,P),4)＋eq\f(y\o\al(2,P),3)＝1，eq\f(x\o\al(2,Q),4)＋eq\f(y\o\al(2,Q),3)＝1，两式相减可得eq\f(1,4)(xP＋xQ)(xP－xQ)＋eq\f(1,3)(yP＋yQ)(yP－yQ)＝0，∴eq\f(yP－yQ,xP－xQ)＝－eq\f(3,4)，即直线PQ的斜率为－eq\f(3,4)，∴直线PQ的方程为y－1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－7＝0.4.(2023·山西太原五中高三期末）已知椭圆，试确定m的取值范围，使得圆E上存在不同的两点关于直线对称.【解析】设、是椭圆E上关于直线的两个对称点，则应有：①-②并把③代入得..⑥联立④⑥得代入⑤得，解得.【题型四直线与椭圆的综合问题】1.(2023·江苏省前黄高级中学高三月考）已知椭圆左焦点为，经过点的直线与圆相交于，两点，是线段与的公共点，且.（1）求椭圆的方程；（2）与的交点为，，且恰为线段的中点，求的面积.答案：（1）；（2）.【解析】（1）由圆可得，因为，所以，即，又，故，所以椭圆的方程为；（2）设，，，，为线段的中点，则，，又，解得，，若，则，直线的方程为，由.解得，即，，所以的面积，若，同理可求得的面积，综上所述，的面积为.2.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，且离心率为eq\f(\r(3),2).F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF.(1)求椭圆E和⊙F的方程；(2)若直线l：y＝k(x－eq\r(3))(k>0)与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解析】(1)设E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题设知eq\f(1,a2)＋eq\f(3,4b2)＝1，eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3),2).解得a＝2，b＝1，故椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.因此F(eq\r(3)，0)，|PF|＝eq\f(1,2)，即⊙F的半径为eq\f(1,2).所以⊙F的方程为(x－eq\r(3))2＋y2＝eq\f(1,4).(2)由题设可知，A在E外，B在E内，C在⊙F内，D在⊙F外，在l上的四点A，B，C，D满足|AC|＝|AB|－|BC|，|BD|＝|CD|－|BC|.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，将l的方程代入E的方程得(1＋4k2)x2－8eq\r(3)k2x＋12k2－4＝0，则x1＋x2＝eq\f(8\r(3)k2,4k2＋1)，x1x2＝eq\f(12k2－4,4k2＋1)，|CD|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(4k2＋4,4k2＋1)＝1＋eq\f(3,4k2＋1)＞1，又⊙F的直径|AB|＝1，所以|BD|－|AC|＝|CD|－|AB|＝|CD|－1>0，故不存在正数k使|AC|＝|BD|.3.(2023·浙江·高三开学考试）已知动点M到两定点F1(－m,0)，F2(m,0)的距离之和为4(0<m<2)，且动点M的轨迹曲线C过点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2))).(1)求m的值；(2)若直线l：y＝kx＋eq\r(2)与曲线C有两个不同的交点A，B，且eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝2(O为坐标原点)，求k的值．【解析】(1)由0<m<2，得2m<4，可知：曲线C是以两定点F1(－m,0)，F2(m,0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a＝2，设曲线C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1，把点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)))代入得eq