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文档简介
8.5直线和椭圆的位置关系【题型解读】【题型一直线和椭圆位置关系】1.(2023·全国·高三专题练习)直线y=x+2与椭圆eq\f(x2,m)+eq\f(y2,3)=1有两个公共点,则m的取值范围是()A.(1,+∞) B.(1,3)∪(3,+∞)C.(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)2.(2023·福建高三期末)直线与椭圆的位置关系为()A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定3.(2023·全国·高三专题练习)已知以,为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()A. B. C. D.4.(2023·深圳模拟)已知直线y=kx-k-1与曲线C:x2+2y2=m(m>0)恒有公共点,则m的取值范围是()A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.(3,+∞) D.(-∞,3)5.(2023·全国高三模拟)直线与椭圆的交点个数为(
).A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【题型二弦长问题】1.(2023·青岛高三模拟)坐标原点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.若点,则面积的最大值为()A. B. C. D.12.(2023·山东日照高三模拟)(多选)已知椭圆eq\f(x2,2)+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=eq\f(4\r(2),3),则实数m的值为()A.-1B.1C.-2D.23.(2023·武功县普集高级中学期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2),过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时,|AB|=4.(1)求椭圆的方程;(2)若|AB|+|CD|=eq\f(48,7),求直线AB的方程.4.(2023·全国高三模拟)已知椭圆:的左、右顶点分别为、,点在椭圆上,且直线的斜率与直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程;(2)若圆的切线与椭圆交于、两点,求的最大值及此时直线的斜率.【题型三中点弦问题】1.(2023·全国高三专题练习)过椭圆C:右焦点F的直线l:交C于A、B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为,则椭圆C的方程为()A. B. C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点,若的中点坐标为,则椭圆的方程为()A. B. C. D.3.(2023·全国·模拟预测)已知椭圆M:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,椭圆M的离心率为eq\f(1,2),且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2))).(1)求椭圆M的方程;(2)若过点N(1,1)的直线与该椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.4.(2023·山西太原五中高三期末)已知椭圆,试确定m的取值范围,使得圆E上存在不同的两点关于直线对称.【题型四直线与椭圆的综合问题】1.(2023·江苏省前黄高级中学高三月考)已知椭圆左焦点为,经过点的直线与圆相交于,两点,是线段与的公共点,且.(1)求椭圆的方程;(2)与的交点为,,且恰为线段的中点,求的面积.2.设中心在原点,焦点在x轴上的椭圆E过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(3),2))),且离心率为eq\f(\r(3),2).F为E的右焦点,P为E上一点,PF⊥x轴,⊙F的半径为PF.(1)求椭圆E和⊙F的方程;(2)若直线l:y=k(x-eq\r(3))(k>0)与⊙F交于A,B两点,与E交于C,D两点,其中A,C在第一象限,是否存在k使|AC|=|BD|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.3.(2023·浙江·高三开学考试)已知动点M到两定点F1(-m,0),F2(m,0)的距离之和为4(0<m<2),且动点M的轨迹曲线C过点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3),\f(1,2))).(1)求m的值;(2)若直线l:y=kx+eq\r(2)与曲线C有两个不同的交点A,B,且eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))=2(O为坐标原点),求k的值.4.(2023·江西·高三开学考试)已知为坐标原点,椭圆过点,记线段的中点为.(1)若直线的斜率为3,求直线的斜率;(2)若四边形为平行四边形,求的取值范围.8.5直线和椭圆的位置关系【题型解读】【题型一直线和椭圆位置关系】1.(2023·全国·高三专题练习)直线y=x+2与椭圆eq\f(x2,m)+eq\f(y2,3)=1有两个公共点,则m的取值范围是()A.(1,+∞) B.(1,3)∪(3,+∞)C.(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)答案:B【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=x+2,,\f(x2,m)+\f(y2,3)=1,))得(m+3)x2+4mx+m=0.由Δ>0且m≠3及m>0,得m>1且m≠3.2.(2023·福建高三期末)直线与椭圆的位置关系为()A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定答案:A【解析】直线可化为,所以直线恒过点,又,即在椭圆的内部,直线与椭圆的位置关系为相交.故选:A.3.(2023·全国·高三专题练习)已知以,为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()A. B. C. D.答案:C【解析】设椭圆长轴长为(且,则椭圆方程为.由,可得,因为直线与椭圆只有一个交点,则,即.解得或或,又由,所以,所以长轴长.故选:.4.(2023·深圳模拟)已知直线y=kx-k-1与曲线C:x2+2y2=m(m>0)恒有公共点,则m的取值范围是()A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.(3,+∞) D.(-∞,3)答案:A【解析】∵直线方程为∴直线恒过定点∵曲线的方程为∴曲线表示椭圆∵直线与曲线:恒有公共点∴点在椭圆内或椭圆上,即.∴故选A.5.(2023·全国高三模拟)直线与椭圆的交点个数为(
).A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案:C【解析】由题意,椭圆,可得,则椭圆的右顶点为,上顶点为,又由直线恰好过点,所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.故选:C.【题型二弦长问题】1.(2023·青岛高三模拟)坐标原点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.若点,则面积的最大值为()A. B. C. D.1答案:A【解析】直线方程为,代入椭圆方程得,,设,则,点到直线的距离为,所以(),记,则,当时,递增,当时,,递减,所以时,取得唯一的极大值也是最大值.即△MAN面积的最大值为.故选:A.2.(2023·山东日照高三模拟)(多选)已知椭圆eq\f(x2,2)+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=eq\f(4\r(2),3),则实数m的值为()A.-1B.1C.-2D.2答案:AB【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)+y2=1,,y=x+m))消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0.Δ=16m2-12(2m2-2)=-8m2+24>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-eq\f(4m,3),x1x2=eq\f(2m2-2,3).由题意,得|AB|=eq\r(2x1+x22-8x1x2)=eq\f(4\r(2),3),解得m=±1,满足题意.3.(2023·武功县普集高级中学期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2),过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时,|AB|=4.(1)求椭圆的方程;(2)若|AB|+|CD|=eq\f(48,7),求直线AB的方程.【解析】(1)由题意知e=eq\f(c,a)=eq\f(1,2),2a=4.又a2=b2+c2,解得a=2,b=eq\r(3),所以椭圆方程为eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的斜率不存在,由题意知|AB|+|CD|=7,不满足条件.②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线CD的方程为y=-eq\f(1,k)(x-1).将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=eq\f(8k2,3+4k2),x1·x2=eq\f(4k2-12,3+4k2),所以|AB|=eq\r(k2+1)|x1-x2|=eq\r(k2+1)·eq\r(x1+x22-4x1x2)=eq\f(12k2+1,3+4k2).同理,|CD|=eq\f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)+1)),3+\f(4,k2))=eq\f(12k2+1,3k2+4).所以|AB|+|CD|=eq\f(12k2+1,3+4k2)+eq\f(12k2+1,3k2+4)=eq\f(84k2+12,3+4k23k2+4)=eq\f(48,7),解得k=±1,所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.4.(2023·全国高三模拟)已知椭圆:的左、右顶点分别为、,点在椭圆上,且直线的斜率与直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程;(2)若圆的切线与椭圆交于、两点,求的最大值及此时直线的斜率.【解析】(1)由椭圆可得,所以,解得,因为椭圆经过点,故得到,解得,所以椭圆的方程为(2)当切线垂直轴时,的横坐标为1或-1,由于椭圆的对称性,不妨设的横坐标为1,代入椭圆得解得,所以;当切线不垂直轴时,设切线方程为即,所以圆心到切线的距离,得,把代入椭圆方程,整理得设,则,设,则,则,所以,综上所述,,此时,因为,所以直线的斜率为【题型三中点弦问题】1.(2023·全国高三专题练习)过椭圆C:右焦点F的直线l:交C于A、B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为,则椭圆C的方程为()A. B. C. D.答案:A【解析】直线中,令,可得,所以右焦点,,设,,,,则,的中点,联立,整理得,所以,,所以,所以,又,,所以,,所以椭圆的方程为,故选:A.2.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点,若的中点坐标为,则椭圆的方程为()A. B. C. D.答案:D【解析】设,则,,则,两式相减得:,∴===,又==,∴,联立,得.∴椭圆方程为.故选:D.3.(2023·全国·模拟预测)已知椭圆M:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,椭圆M的离心率为eq\f(1,2),且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2))).(1)求椭圆M的方程;(2)若过点N(1,1)的直线与该椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.【解析】(1)∵e=eq\f(c,a)=eq\r(1-\f(b2,a2))=eq\f(1,2),则3a2=4b2,将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2)))代入椭圆方程得eq\f(1,a2)+eq\f(9,4b2)=1,解得a=2,b=eq\r(3),∴椭圆M的方程为eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1.(2)设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.∵eq\f(x\o\al(2,P),4)+eq\f(y\o\al(2,P),3)=1,eq\f(x\o\al(2,Q),4)+eq\f(y\o\al(2,Q),3)=1,两式相减可得eq\f(1,4)(xP+xQ)(xP-xQ)+eq\f(1,3)(yP+yQ)(yP-yQ)=0,∴eq\f(yP-yQ,xP-xQ)=-eq\f(3,4),即直线PQ的斜率为-eq\f(3,4),∴直线PQ的方程为y-1=-eq\f(3,4)(x-1),即3x+4y-7=0.4.(2023·山西太原五中高三期末)已知椭圆,试确定m的取值范围,使得圆E上存在不同的两点关于直线对称.【解析】设、是椭圆E上关于直线的两个对称点,则应有:①-②并把③代入得..⑥联立④⑥得代入⑤得,解得.【题型四直线与椭圆的综合问题】1.(2023·江苏省前黄高级中学高三月考)已知椭圆左焦点为,经过点的直线与圆相交于,两点,是线段与的公共点,且.(1)求椭圆的方程;(2)与的交点为,,且恰为线段的中点,求的面积.答案:(1);(2).【解析】(1)由圆可得,因为,所以,即,又,故,所以椭圆的方程为;(2)设,,,,为线段的中点,则,,又,解得,,若,则,直线的方程为,由.解得,即,,所以的面积,若,同理可求得的面积,综上所述,的面积为.2.设中心在原点,焦点在x轴上的椭圆E过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(3),2))),且离心率为eq\f(\r(3),2).F为E的右焦点,P为E上一点,PF⊥x轴,⊙F的半径为PF.(1)求椭圆E和⊙F的方程;(2)若直线l:y=k(x-eq\r(3))(k>0)与⊙F交于A,B两点,与E交于C,D两点,其中A,C在第一象限,是否存在k使|AC|=|BD|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)设E的方程为eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),由题设知eq\f(1,a2)+eq\f(3,4b2)=1,eq\f(\r(a2-b2),a)=eq\f(\r(3),2).解得a=2,b=1,故椭圆E的方程为eq\f(x2,4)+y2=1.因此F(eq\r(3),0),|PF|=eq\f(1,2),即⊙F的半径为eq\f(1,2).所以⊙F的方程为(x-eq\r(3))2+y2=eq\f(1,4).(2)由题设可知,A在E外,B在E内,C在⊙F内,D在⊙F外,在l上的四点A,B,C,D满足|AC|=|AB|-|BC|,|BD|=|CD|-|BC|.设C(x1,y1),D(x2,y2),将l的方程代入E的方程得(1+4k2)x2-8eq\r(3)k2x+12k2-4=0,则x1+x2=eq\f(8\r(3)k2,4k2+1),x1x2=eq\f(12k2-4,4k2+1),|CD|=eq\r(1+k2)eq\r(x1+x22-4x1x2)=eq\f(4k2+4,4k2+1)=1+eq\f(3,4k2+1)>1,又⊙F的直径|AB|=1,所以|BD|-|AC|=|CD|-|AB|=|CD|-1>0,故不存在正数k使|AC|=|BD|.3.(2023·浙江·高三开学考试)已知动点M到两定点F1(-m,0),F2(m,0)的距离之和为4(0<m<2),且动点M的轨迹曲线C过点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3),\f(1,2))).(1)求m的值;(2)若直线l:y=kx+eq\r(2)与曲线C有两个不同的交点A,B,且eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))=2(O为坐标原点),求k的值.【解析】(1)由0<m<2,得2m<4,可知:曲线C是以两定点F1(-m,0),F2(m,0)为焦点,长半轴长为2的椭圆,所以a=2,设曲线C的方程为eq\f(x2,4)+eq\f(y2,b2)=1,把点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3),\f(1,2)))代入得eq
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