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文档简介
2.6对数和对数函数【题型解读】【题型一对数的运算】1.(2023·浙江·杭州市富阳区第二中学高三阶段练习)计算______.2.(2023·全国高三模拟)已知,,则()A. B. C.6 D.53.(2023·山西临汾市·高三月考)已知,且,则()A.2 B.4 C.6 D.94.(2023·湖南·高三课时练习)计算:(1);(2);(3).5.(2023·全国课时练习)若是方程的两个实根,求的值.6.(2023·全国高三月考)已知,,则()A. B. C. D.7.(2023·江苏南通市·海门市第一中学月考)计算:___________.【题型二对数函数的图象】1.(2023·广东汕尾·高三期末)当时,在同一平面直角坐标系中,与的图象是(
)A. B. C.D.2.(2023·吉林长春市·高三月考)如图,①②③④中不属于函数,,的一个是()A.① B.② C.③ D.④3.(2023·全国高三测试)在同一直角坐标系中,函数且的图象可能是()A. B.C. D.4.(2023·湖南师大附中高三期末)已知函数的图象如图所示,则满足的关系是(
)A. B.C. D.5.(2023·全国高三模拟)函数在上的大致图像是()A. B.C. D.6.(2023·湖北·江夏一中高三阶段练习)函数y=loga(2x-3)+8的图象恒过定点A,且点A在幂函数f(x)的图象上,则f(3)=________.【题型三对数函数的性质】1.(2023·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高三期末)函数f(x)=的定义域为()A.(2,+∞) B.(0,2) C.(-∞,2) D.(0,)2.(2023·广西玉林市高三月考)若函数的值域为,则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.(2023·全国高三月考)已知函数,若有最小值,则实数的范围是______.4.(2023·贵州·毕节市第一中学高三阶段练习)函数y=2+log2(x2+3)(x≥1)的值域为(
)A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.[4,+∞) D.[3,+∞)5.(2023·全国高三专题练习)已知函数,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.6.(多选)(2023·历城二中高三月考)已知函数,,则下列说法正确的是()A.若函数的定义域为,则实数的取值范围是B.若函数的值域为,则实数C.若函数在区间上为增函数,则实数的取值范围是D.若,则不等式的解集为7.(2023·河南焦作·高三期末)已知函数(a>0且a≠1)的图象过点.(1)求a的值及的定义域;(2)求在上的最小值.8.(2023·黑龙江·双鸭山一中高三期末)已知函数在[2,3]上单调递减,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.9.(2023·全国高三月考)已知定义在R上的偶函数在上单调递增,实数a满足,则实数a的取值范围是___________.【题型四对数比较大小】1.(2023·江西·南昌十五中高三阶段练习)设,则(
)A. B. C. D.2.(2023·江西高三二模)已知,则的大小关系()A. B. C. D.3.(2023·千阳县中学月考)设,则()A. B.C. D.4.(2023·江西·九江一中高三阶段练习)已知,,,则a,b,c的大小关系为(
)A. B. C. D.5.(2023·江西上饶市·高三期末)已知,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a6.(2023·天津高三模拟)已知是定义在上的偶函数且在区间上单调递增,则()A. B.C. D.【题型五对数函数综合问题】1.(2023·吉林·长春市第二中学高三测试)已知函数.(1)当时,求该函数的值域;(2)若,对于恒成立,求实数m的取值范围.2.(多选)(2023·湖北高三月考)已知函数,则()A.是偶函数 B.在区间上是增函数C.的最大值为0 D.在内有2个零点3.(2023·江苏·无锡市第一中学高三期中)设函数,其中为常数.(1)当时,求的定义域;(2)若对任意,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.4.(2023·全国高三二模)已知函数,则下列说法正确的是()A.函数在上为增函数 B.函数的值域为C.函数是奇函数 D.函数是偶函数2.6对数和对数函数【题型解读】【题型一对数的运算】1.(2023·浙江·杭州市富阳区第二中学高三阶段练习)计算______.答案:7【解析】.故答案为:7.2.(2023·全国高三模拟)已知,,则()A. B. C.6 D.5答案:A【解析】因为,,所以,因此.故选A.3.(2023·山西临汾市·高三月考)已知,且,则()A.2 B.4 C.6 D.9答案:C【解析】由题知,,,则,则故选:C4.(2023·湖南·高三课时练习)计算:(1);(2);(3).答案:(1)7;(2);(3)0.【解析】(1)由.(2)由.(3)由.5.(2023·全国课时练习)若是方程的两个实根,求的值.答案:【解析】原方程可转化为,令,则,设方程的两根为,可设,,.6.(2023·全国高三月考)已知,,则()A. B. C. D.答案:B【解析】由得,,,则,,所以,,,,所以,故选:B.7.(2023·江苏南通市·海门市第一中学月考)计算:___________.答案:【解析】故答案为:【题型二对数函数的图象】1.(2023·广东汕尾·高三期末)当时,在同一平面直角坐标系中,与的图象是(
)A. B. C.D.答案:B【解析】的定义域为,故AD错误;BC中,又因为,所以,故C错误,B正确.故选:B2.(2023·吉林长春市·高三月考)如图,①②③④中不属于函数,,的一个是()A.① B.② C.③ D.④答案:B【解析】由对数函数图象特征及与的图象关于轴对称,可确定②不是已知函数图象.故选:B.3.(2023·全国高三测试)在同一直角坐标系中,函数且的图象可能是()A. B.C. D.答案:D【解析】当时,函数过定点且单调递减,则函数过定点且单调递增,函数过定点且单调递减,D选项符合;当时,函数过定点且单调递增,则函数过定点且单调递减,函数过定点且单调递增,各选项均不符合.故选:D4.(2023·湖南师大附中高三期末)已知函数的图象如图所示,则满足的关系是(
)A. B.C. D.答案:A【解析】由图易得,;取特殊点,,.选A.5.(2023·全国高三模拟)函数在上的大致图像是()A. B.C. D.答案:D【解析】由题可知函数的定义域关于原点对称,且当时,,,当时,,,故为偶函数,排除,;而,排除C.故选:D.6.(2023·湖北·江夏一中高三阶段练习)函数y=loga(2x-3)+8的图象恒过定点A,且点A在幂函数f(x)的图象上,则f(3)=________.答案:27【解析】由题意,,则,定点A为(2,8),设f(x)=xα,则2α=8,α=3,∴f(x)=x3,∴f(3)=33=27.故答案为:27【题型三对数函数的性质】1.(2023·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高三期末)函数f(x)=的定义域为()A.(2,+∞) B.(0,2) C.(-∞,2) D.(0,)答案:B【解析】,解得故选:B2.(2023·广西玉林市高三月考)若函数的值域为,则实数的取值范围是()A. B. C. D.答案:A【解析】由题可知,函数的值域包含,当时,符合题意;当时,则,解得;当时,显然不符合题意,故实数的取值范围是.故选:A.3.(2023·全国高三月考)已知函数,若有最小值,则实数的范围是______.答案:【解析】因为时,,若有最小值,则单调递减,并且满足,解得,所以实数的范围是.故答案为:4.(2023·贵州·毕节市第一中学高三阶段练习)函数y=2+log2(x2+3)(x≥1)的值域为(
)A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.[4,+∞) D.[3,+∞)答案:C【解析】令,又因为在上递增,所以,所以y=2+log2(x2+3)(x≥1)的值域为[4,+∞),故选:C5.(2023·全国高三专题练习)已知函数,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.答案:B【解析】,当时,;当时,.所以,.若对任意的,不等式恒成立,则,所以,,解得.因此,实数的取值范围是.故选:B.6.(多选)(2023·历城二中高三月考)已知函数,,则下列说法正确的是()A.若函数的定义域为,则实数的取值范围是B.若函数的值域为,则实数C.若函数在区间上为增函数,则实数的取值范围是D.若,则不等式的解集为答案:AC【解析】对于A,由题意知对恒成立,由于当时,不等式不恒成立,所以.当时,由解得,所以A正确;对于B,若函数的值域为,则,显然不为0,则函数的最小值为4,则当时,,解得,所以B错误;对于C,若函数在区间上为增函数,则在上为增函数,且在内的函数值为正,所以解得,所以C正确;对于D,若,则不等式等价于,则,解得,所以D不正确.故选:AC.7.(2023·河南焦作·高三期末)已知函数(a>0且a≠1)的图象过点.(1)求a的值及的定义域;(2)求在上的最小值.答案:(1),定义域(2)【解析】(1)的图象过点,可得:解得:则有:定义域满足:解得:故的定义域为(2)令,故当x=3时,可得:8.(2023·黑龙江·双鸭山一中高三期末)已知函数在[2,3]上单调递减,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】由于函数在上单调递减,在定义域内是增函数,所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得:在上单调递减,且,所以且,解得:.故的取值范围是故选:C.9.(2023·全国高三月考)已知定义在R上的偶函数在上单调递增,实数a满足,则实数a的取值范围是___________.答案:【解析】因为定义在R上的偶函数在区间单调递增,所以在单调递减;又,于是由,得,从而有,则得,即,且,解得:.故a的取值范围是.故答案为:.【题型四对数比较大小】1.(2023·江西·南昌十五中高三阶段练习)设,则(
)A. B. C. D.答案:C【解析】因为,所以,A错误;因为函数为增函数,所以,所以,D错误;因为,所以,B错误;因为,所以,所以,C正确.故选:C.2.(2023·江西高三二模)已知,则的大小关系()A. B. C. D.答案:C【解析】因为,,所以故选:C3.(2023·千阳县中学月考)设,则()A. B.C. D.答案:A【解析】因为,,,所以,即所以故选:A4.(2023·江西·九江一中高三阶段练习)已知,,,则a,b,c的大小关系为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】因为,,所以故选:C.5.(2023·江西上饶市·高三期末)已知,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a答案:D【解析】,所以,,所以.故选:D6.(2023·天津高三模拟)已知是定义在上的偶函数且在区间上单调递增,则()A. B.C. D.答案:B【解析】由题意,函数是定义在上的偶函数且在区间上单调递增,可得函数在上单调递减,因为,,因为是定义在上的偶函数,可得,所以.故选:B.【题型五对数函数综合问题】1.(2023·吉林·长春市第二中学高三测试)已知函数.(1)当时,求该函数的值域;(2)若,对于恒成立,求实数m的取值范围.答案:(1)(2)【解析】(1)令,,则,函数转化为,,则二次函数,,当时,,当时,,故当时,函数的值域为.(2)由于对于上恒成立,令,,则即在上恒成立,所以在上恒成立,由对勾函数的性质知在上单调递增,所以当时,,故时,原不等式对于恒成立.2.(多选)(2023·湖北高三月考)已知函数,则()A.是偶函数 B.在区间上是增函数C.的最大值为0 D.在内有2个零点答案:AC【解析】的定义域为,关于原点对称,,所以为偶函数,故正确;因为在上是增函数,在上是减函数,所以时,取得最大值,故不正确,正确;由得,得,得,即在内只有一个零点,故不正确.故选:AC3.(2023·江苏·无锡市第一中学高三期中)设函数,其中为常数.(1)当时,求的定义域
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