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文档简介
4.3三角函数图象和性质【题型解读】【知识必备】1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)+kπ,k∈Z}值域[-1,1][-1,1]R单调性[-eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(π,2)+2kπ](k∈Z)上递增;[eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(3π,2)+2kπ](k∈Z)上递减[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增;[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减(-eq\f(π,2)+kπ,eq\f(π,2)+kπ)(k∈Z)上递增最值x=eq\f(π,2)+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=-eq\f(π,2)+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ,0)(k∈Z)(eq\f(π,2)+kπ,0)(k∈Z)(eq\f(kπ,2),0)(k∈Z)对称轴方程x=eq\f(π,2)+kπ(k∈Z)x=kπ(k∈Z)周期2π2ππ2.五点法作y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图用“五点法”作图,就是令ωx+φ取下列5个特殊值:0,eq\f(π,2),π,eq\f(3π,2),2π,通过列表,计算五点的坐标,描点得到图象.3.三角函数图象变换【题型精讲】【题型一三角函数图象变换】必备技巧三角函数图象变换技巧(1)由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.(2)当x的系数不为1时,特别注意先提取系数,再加减.例1(2023·重庆市育才中学高三阶段练习)为了得到的图象,可将函数的图象(
)A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位例2(2023·河南洛阳·模拟预测)已知曲线,,为了得到曲线,则对曲线的变换正确的是(
)A.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的曲线向右平移个单位长度B.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的曲线向左平移个单位长度C.先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再把得到的曲线向右平移个单位长度D.先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再把得到的曲线向左平移个单位长度【跟踪精练】1.(2023·江苏连云港市高三一模)要得到函数的图象,则()A.可将函数的图象向右平移个单位得到B.可将函数的图象向左平移个单位得到C.可将函数的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来倍得到D.可将函数的图象纵坐标不变,横坐标扩大到原来2倍得到2.(2023·全国·模拟预测)若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度,所得的两个函数图象恰好重合,则的最小值为(
)A. B. C. D.3.(2023·陕西·二模)要得到函数的图象,只需将函数的图象(
)A.向左平移是个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移登个单位长度 D.向右平移个单位长度【题型二求三角函数解析式】必备技巧y=Asin(ωx+φ)中φ的确定方法(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.例3(2023·陕西省洛南中学模拟预测)已知函数的部分图象如图所示,则的解析式是(
)A. B.C. D.【跟踪精练】1.(2023·全国高三课时练习)已知函数的部分图象如图所示.则A,,的一个数值可以是()A. B. C. D.2.(多选)(2023·重庆巴蜀中学高三月考)已知函数的部分图象如图,则下列说法正确的是()A.的振幅为2 B.为的对称中心C.向右平移单位后得到的函数为奇函数 D.在上的值域为【题型三三角函数五大性质之值域】必备技巧求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值).(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).例4(1)(2023·天津高三月考)函数f(x)=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上的值域为________.(2)(2023·四川资阳市高三月考)函数的最大值为(3)(2023·河北高三期末)设x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),则函数y=eq\f(sin2x,2sin2x+1)的最大值为________.(4)(2023·甘肃高三期末)函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为____________.【题型精练】1.(2023·吉林高三期末)已知函数的最小正周期为,则函数在区间上的最大值与最小值的和是___________.2.(2023·江苏泰州·高三阶段练习)已知函数,的值域为,则实数的取值范围为(
)A. B. C. D.3.(2023·全国·专题练习)已知函数.若关于的方程在上有解,则实数的取值范围是________.【题型四三角函数五大性质之单调性】方法技巧已知三角函数解析式求单调区间求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.例5(2023·重庆·模拟预测)函数的单调递减区间为(
)A. B.C. D.例6(2023·河南商丘市高三模拟)函数在上单调递减,则的取值范围是()A. B. C. D.【题型精练】1.(2023·上海高三模拟)设定义在上的函数,则()A.在区间上是增函数 B.在区间上是减函数C.在区间上是增函数 D.在区间上是减函数2.(2023·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测)已知函数,则“函数在上单调递增”是“”的(
)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要件3.(2023·四川·泸县五中二模)将的图象向左平移个单位后得到的图象,则有(
)A.为奇函数,在上单调递減B.为偶函数,在上单调递增C.周期为π,图象关于点对称D.最大值为1,图象关于直线对称【题型五三角函数五大性质之奇偶性、周期性、对称性】例7(2023·湖南周南中学高三月考)(多选)将函数的图象先向右平移个单位长度,再将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象(x∈R),下列结论错误的是()A.函数的图象最小正周期为B.函数的图象关于点对称C.函数的图象在上单调递增D.函数的图象关于直线对称例8(2023·天津·静海一中高三阶段练习)关于函数,有下列命题:①函数是奇函数;②函数的图象关于直线对称;③函数可以表示为;④函数的图象关于点对称其中正确的命题的个数为(
)A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【题型精练】1.(2023·湖南益阳高三月考)函数的图象如图所示,先将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍,纵坐标不变,再将所得函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,下列结论正确的是()A.函数是奇函数 B.函数在区间上是增函数C.函数图象关于对称 D.函数图象关于直线对称2.(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习)若函数,则下列说法正确的是(
)A.是偶函数B.的最小正周期是C.在区间上单调递增D.的图象关于直线对称【题型六三角函数大题综合】例9(2023·呼和浩特开来中学月考)已知函数.(1)求的值及f(x)的对称轴;(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象,求的单调递增区间.【题型精练】1.(2023·浙江浙江·二模)已知函数,.(1)求函数的单调递增区间;(2)求函数的值域.2.(2023·浙江省杭州学军中学模拟预测)已知函数满足:①的最大值为2;②;的最小正周期为.(1)求的解析式;(2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值.4.3三角函数图象和性质【题型解读】【知识必备】1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)+kπ,k∈Z}值域[-1,1][-1,1]R单调性[-eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(π,2)+2kπ](k∈Z)上递增;[eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(3π,2)+2kπ](k∈Z)上递减[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增;[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减(-eq\f(π,2)+kπ,eq\f(π,2)+kπ)(k∈Z)上递增最值x=eq\f(π,2)+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=-eq\f(π,2)+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ,0)(k∈Z)(eq\f(π,2)+kπ,0)(k∈Z)(eq\f(kπ,2),0)(k∈Z)对称轴方程x=eq\f(π,2)+kπ(k∈Z)x=kπ(k∈Z)周期2π2ππ2.五点法作y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图用“五点法”作图,就是令ωx+φ取下列5个特殊值:0,eq\f(π,2),π,eq\f(3π,2),2π,通过列表,计算五点的坐标,描点得到图象.3.三角函数图象变换【题型精讲】【题型一三角函数图象变换】必备技巧三角函数图象变换技巧(1)由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.(2)当x的系数不为1时,特别注意先提取系数,再加减.例1(2023·重庆市育才中学高三阶段练习)为了得到的图象,可将函数的图象(
)A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位答案:C【解析】依题意,,所以可由向左平移个单位得到.故选:C例2(2023·河南洛阳·模拟预测)已知曲线,,为了得到曲线,则对曲线的变换正确的是(
)A.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的曲线向右平移个单位长度B.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的曲线向左平移个单位长度C.先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再把得到的曲线向右平移个单位长度D.先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再把得到的曲线向左平移个单位长度答案:C【解析】A.先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得的图象,再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象,A错;B.先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得的图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象,B错;C.先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得的图象,再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象,C正确;D.先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得的图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象,D错误;故选:C.【跟踪精练】1.(2023·江苏连云港市高三一模)要得到函数的图象,则()A.可将函数的图象向右平移个单位得到B.可将函数的图象向左平移个单位得到C.可将函数的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来倍得到D.可将函数的图象纵坐标不变,横坐标扩大到原来2倍得到答案:C【解析】对于A选项:变换后,故A错误;对于B选项:变换后,故B错误;对于C选项:变换后,故C正确;对于D选项:变换后,故D错误.故选:C.2.(2023·全国·模拟预测)若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度,所得的两个函数图象恰好重合,则的最小值为(
)A. B. C. D.答案:A【解析】的图象向左平移个单位长度得的图象,向右平移()个单位长度得的图象,由题意得()所以()又,故的最小值为,故选:A3.(2023·陕西·二模)要得到函数的图象,只需将函数的图象(
)A.向左平移是个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移登个单位长度 D.向右平移个单位长度答案:B【解析】因为函数,,所以要得到函数的图象,只需将函数的图象向左平移个单位长度.故选:B.【题型二求三角函数解析式】必备技巧y=Asin(ωx+φ)中φ的确定方法(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.例3(2023·陕西省洛南中学模拟预测)已知函数的部分图象如图所示,则的解析式是(
)A. B.C. D.答案:A【解析】由图象可得,解得A=2,k=1,由正弦型图象性质可得,所以,解得,又,且,所以,所以.故选:A【跟踪精练】1.(2023·全国高三课时练习)已知函数的部分图象如图所示.则A,,的一个数值可以是()A. B. C. D.答案:A【解析】由图可知,,即,所以,所以函数解析式为,将代入得:,则,所以,所以A选项符合,BCD不符合.故选:A.2.(多选)(2023·重庆巴蜀中学高三月考)已知函数的部分图象如图,则下列说法正确的是()A.的振幅为2 B.为的对称中心C.向右平移单位后得到的函数为奇函数 D.在上的值域为答案:ABC【解析】观察图象得:A=2,周期T,则,由得,而,则,所以有,显然A正确;,B正确;向右平移得是奇函数,C正确;时,,,,D错误.故选:ABC【题型三三角函数五大性质之值域】必备技巧求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值).(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).例4(1)(2023·天津高三月考)函数f(x)=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上的值域为________.(2)(2023·四川资阳市高三月考)函数的最大值为(3)(2023·河北高三期末)设x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),则函数y=eq\f(sin2x,2sin2x+1)的最大值为________.(4)(2023·甘肃高三期末)函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为____________.答案:(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),3))(2)(3)eq\f(\r(3),3)(4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)-\r(2),1))【解析】(1)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))时,2x-eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),\f(5π,6))),∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),1)),故3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),3)),∴函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),3)).(2)函数,令,,则,,所以当时,函数取得最大值为.(3)因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),所以tanx>0,y=eq\f(sin2x,2sin2x+1)=eq\f(2sinx·cosx,3sin2x+cos2x)=eq\f(2tanx,3tan2x+1)=eq\f(2,3tanx+\f(1,tanx))≤eq\f(2,2\r(3))=eq\f(\r(3),3),当且仅当3tanx=eq\f(1,tanx)时等号成立,故最大值为eq\f(\r(3),3).(4)设t=sinx-cosx,则-eq\r(2)≤t≤eq\r(2),t2=sin2x+cos2x-2sinxcosx,则sinxcosx=eq\f(1-t2,2),∴y=-eq\f(t2,2)+t+eq\f(1,2)=-eq\f(1,2)(t-1)2+1.当t=1时,ymax=1;当t=-eq\r(2)时,ymin=-eq\f(1,2)-eq\r(2).∴函数的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)-\r(2),1)).【题型精练】1.(2023·吉林高三期末)已知函数的最小正周期为,则函数在区间上的最大值与最小值的和是___________.答案:1或【解析】由题设,,则,在上,当则,故;当则,故;综上,最大值与最小值的和为1或.故答案为:1或2.(2023·江苏泰州·高三阶段练习)已知函数,的值域为,则实数的取值范围为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】设,则,所以,且,又的值域为,所以,即实数的取值范围为.故选:C.3.(2023·全国·专题练习)已知函数.若关于的方程在上有解,则实数的取值范围是________.答案:【解析】因为,因为,所以,所以所以的值域为,关于的方程在上有解,则关于的方程在上有解,所以,所以,所以实数的取值范围是故答案为:【题型四三角函数五大性质之单调性】方法技巧已知三角函数解析式求单调区间求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.例5(2023·重庆·模拟预测)函数的单调递减区间为(
)A. B.C. D.答案:C【解析】,令解得:Z,故f(x)的单调递减区间为故选:C例6(2023·河南商丘市高三模拟)函数在上单调递减,则的取值范围是()A. B. C. D.答案:(1)A(2)C【解析】(1)因为函数的单调递增区间为,对于函数,由,解得,取,可得函数的一个单调递增区间为,则,,A选项满足条件,B不满足条件;取,可得函数的一个单调递增区间为,且,,CD选项均不满足条件.选:A.(2)由题意可得,因为,所以,令,由此可得,因为在上单调递减,所以由此解得.故选:C.【题型精练】1.(2023·上海高三模拟)设定义在上的函数,则()A.在区间上是增函数 B.在区间上是减函数C.在区间上是增函数 D.在区间上是减函数答案:A【解析】对于A,当时,,函数为减函数,所以为增函数,故A正确;对于B,当时,,函数先递减后递增,所以先递增后递减,故B不正确;对于C,当时,,函数先递增后递减,所以先递增后递减,故C不正确;对于D,当时,,函数为递减函数,所以为递减函数,当时,,函数为递减函数,所以为增函数,故D不正确.故选:A2.(2023·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测)已知函数,则“函数在上单调递增”是“”的(
)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要件答案:A【解析】∵,∴,由于函数f(x)在上单调递增,∴()解得,()故只能取,即,∴“函数f(x)在上单调递增”是“”的充分不必要条件.故选:A.3.(2023·四川·泸县五中二模)将的图象向左平移个单位后得到的图象,则有(
)A.为奇函数,在上单调递減B.为偶函数,在上单调递增C.周期为π,图象关于点对称D.最大值为1,图象关于直线对称答案:D【解析】将函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象.为偶函数,,,函数单调递减,故A不正确;,,,,函数不单调,故B错误;的周期为,当时,,故C错误;g(x)最大值为1,当时,函数,为最小值,故的图象关于直线对称,故D正确,故选:D.【题型五三角函数五大性质之奇偶性、周期性、对称性】例7(2023·湖南周南中学高三月考)(多选)将函数的图象先向右平移个单位长度,再将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象(x∈R),下列结论错误的是()A.函数的图象最小正周期为B.函数的图象关于点对称C.函数的图象在上单调递增D.函数的图象关于直线对称答案:ABD【解析】向右平移个单位长度,得到,再将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到,即.对于A:最小正周期为.故A错误;对于B:当时,,故不是对称中心.故B错误;对于C:当时,,而,因为在上单调递增,所以函数在上单调递增.故C正确;对于D:当时,,所以不是的对称轴.故D错误.故选:ABD例8(2023·天津·静海一中高三阶段练习)关于函数,有下列命题:①函数是奇函数;②函数的图象关于直线对称;③函数可以表示为;④函数的图象关于点对称其中正确的命题的个数为(
)A.4个 B.3个 C.2个 D.1个答案:B【解析】对①,,函数不是奇函数,故①错误;对②,由,所以函数图象关于直线对称,故②正确;对③,,故③正确;对④,由函数,所以函数的图象关于点对称,故④正确
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