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文档简介
9.7事件的相互独立性和条件概率【题型解读】【知识储备】1.相互独立事件(1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与eq\x\to(B),eq\x\to(A)与B,eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立.2.条件概率(1)概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=eq\f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.(2)两个公式①利用古典概型:P(B|A)=eq\f(nAB,nA);②概率的乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A).3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=eq\i\su(i=1,n,P)(Ai)P(B|Ai).4.贝叶斯公式(1)一般地,当且时,有(2)定理若样本空间中的事件满足:①任意两个事件均互斥,即,,;②;③,.则对中的任意概率非零的事件,都有,且【题型精讲】【题型一相互独立事件的概率】例1(2023·华师大二附中高三练习)某士兵进行射击训练,每次命中目标的概率均为,且每次命中与否相互独立,则他连续射击3次,至少命中两次的概率为(
)A. B. C. D.例2(多选题)九月伊始,佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶,小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个,每人选择各社团的概率均为,且每人选择相互独立,则(
)A.三人选择社团一样的概率为B.三人选择社团各不相同的概率为C.至少有两人选择篮球社的概率为D.在至少有两人选择羽毛球社的前提下,小王选择羽毛球社的概率为例3(2023·浙江省桐庐中学高三阶段练习)甲、乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出3人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错或不答都得0分,己知甲队3人每人答对的概率分别为,乙队每人答对的概率都是,设每人回答正确与否相互之间没有影响,用X表示甲队总得分.(1)求的概率;(2)求甲队和乙队得分之和为4的的概率.【题型精练】1.(2023·河南高三月考)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立2.(2023·全国高三课时练习)“五一”劳动节放假期间,甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为,,,假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(
)A. B. C. D.3.(2023·枣庄模拟)女排世界杯比赛采用5局3胜制,前4局比赛采用25分制,每个队只有赢得至少25分,并同时超过对方2分时,才胜1局;在决胜局(第五局)采用15分制,每个队只有赢得至少15分,并领先对方2分为胜.在比赛中,每一个回合,赢球的一方可得1分,并获得下一球的发球权,输球的一方不得分.现有甲乙两队进行排球比赛.(1)若前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为,求甲队最后赢得整场比赛的概率;(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中,两队当前的得分均为14分,且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为,乙发球时甲赢1分的概率为.求甲队在4个球以内(含4个球)赢得整场比赛的概率.【题型二条件概率】必备技巧求条件概率的常用方法(1)定义法:P(B|A)=eq\f(PAB,PA).(2)样本点法:P(B|A)=eq\f(nAB,nA).(3)缩样法:去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解.例4(2023·四川模拟)为庆祝建党100周年,讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进全体党员干部职工对党史知识的了解,某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛,某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题),不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中正确的是()A.P(A)=eq\f(3,5) B.P(AB)=eq\f(3,10)C.P(B|A)=eq\f(1,2) D.P(B|eq\x\to(A))=eq\f(1,2)例5(2023·武昌模拟)甲、乙两人到一商店购买饮料,他们准备分别从加多宝、农夫山泉、雪碧这3种饮品中随机选择一种,且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”,事件“甲和乙选择的饮品不同”,则(
)A. B. C. D.【题型精练】1.(2023·石家庄模拟)端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒.现有9个粽子,其中2个为蜜枣馅,3个为腊肉馅,4个为豆沙馅,小明随机取两个,设事件A为“取到的两个为同一种馅”,事件B为“取到的两个均为豆沙馅”,则(
)A. B. C. D.2.(2023·临沂二模)现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游,每人只去一处景点,设事件为“4个人去的景点各不相同”,事件为“只有甲去了中山陵”,则____________.【题型三全概率公式】必备技巧利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n);(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai);(3)代入全概率公式计算.例6(2023·唐山二模)英国数学家贝叶斯(1701-1763)在概率论研究方面成就显著,创立了贝叶斯统计理论,对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论,事件,,(的对立事件)存在如下关系:.若某地区一种疾病的患病率是,现有一种试剂可以检验被检者是否患病,已知该试剂的准确率为,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测,有的可能呈现阳性,该试剂的误报率为,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测,有5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者,用该试剂来检验,结果呈现阳性的概率为()A. B. C. D.例7鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼,是具有云南特色的云南经典点心代表,鲜花饼的保质期一般在三至四天.据统计,某超市一天鲜花饼卖出3箱的概率为,卖出箱的概率为,卖出箱的概率为,没有卖出的概率为,为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼,该超市规定当天结束营业后检查货架上存货,若卖出箱及以上,则需补货至箱,否则不补货.假设第一天该超市开始营业时货架上有箱鲜花饼.(1)在第一天结束营业后货架上有箱鲜花饼的条件下,求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率;(2)求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率.【题型精练】1.(2023·高三课时练习)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为,则甲正点到达目的地的概率为(
)A. B. C. D.2.(2023·广东高三模拟)某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析,根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1,且当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时,球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.从以上数据可知,当乙球员参加比赛时,求该球队某场比赛不输球的概率.【题型四贝叶斯公式】例8(多选题)(2023·山东·高密三中高三阶段练习)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件、存在如下关系:.某高校有甲、乙两家餐厅,王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.6;如果第一天去乙餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.5,则王同学(
)A.第二天去甲餐厅的概率为0.54B.第二天去乙餐厅的概率为0.44C.第二天去了甲餐厅,则第一天去乙餐厅的概率为D.第二天去了乙餐厅,则第一天去甲餐厅的概率为【题型精练】1.(2023·常州市新桥高级中学高三模拟)某工厂有两个生产车间,所生产的同一批产品合格率分别是和,已知某批产品的和分别是两个车间生产,质量跟踪小组从中随机抽取一件,发现不合格,则该产品是由A车间生产的概率为(
)A. B. C. D.2.(2023·济北中学高三月考)一道考题有4个答案,要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为,在乱猜时,4个答案都有机会被他选择,若他答对了,则他确实知道正确答案的概率是(
)A. B. C. D.3.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)甲箱中有个红球,个白球和个黑球,乙箱中有个红球,个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别以和表示由甲箱取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以表示由乙箱取出的球是红球的事件,则下列结论正确的是(
)A.事件与事件相互独立 B.C. D.9.7事件的相互独立性和条件概率【题型解读】【知识储备】1.相互独立事件(1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与eq\x\to(B),eq\x\to(A)与B,eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立.2.条件概率(1)概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=eq\f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.(2)两个公式①利用古典概型:P(B|A)=eq\f(nAB,nA);②概率的乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A).3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=eq\i\su(i=1,n,P)(Ai)P(B|Ai).4.贝叶斯公式(1)一般地,当且时,有(2)定理若样本空间中的事件满足:①任意两个事件均互斥,即,,;②;③,.则对中的任意概率非零的事件,都有,且【题型精讲】【题型一相互独立事件的概率】例1(2023·华师大二附中高三练习)某士兵进行射击训练,每次命中目标的概率均为,且每次命中与否相互独立,则他连续射击3次,至少命中两次的概率为(
)A. B. C. D.答案:A【解析】因为每次命中目标的概率均为,且每次命中与否相互独立,所以连续射击3次,至少命中两次的概率,故选:A.例2(多选题)九月伊始,佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶,小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个,每人选择各社团的概率均为,且每人选择相互独立,则(
)A.三人选择社团一样的概率为B.三人选择社团各不相同的概率为C.至少有两人选择篮球社的概率为D.在至少有两人选择羽毛球社的前提下,小王选择羽毛球社的概率为答案:ACD【解析】对于A,三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和,它们互斥,三人选择社团一样的概率为,A正确;对于B,三人选择社团各不相同的事件,是小王从3个社团中任选1个,小李从余下两个中任选1个,最后1个社团给小张的事件,共6个不同结果,因此三人选择社团各不相同的概率为,B不正确;对于C,至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和,其概率为,C正确;对于D,令至少有两人选择羽毛球社的事件为A,由选项C知,,小王选择羽毛球社的事件为B,则事件AB是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和,其概率,所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下,小王选择羽毛球社的概率为,D正确.故选:ACD例3(2023·浙江省桐庐中学高三阶段练习)甲、乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出3人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错或不答都得0分,己知甲队3人每人答对的概率分别为,乙队每人答对的概率都是,设每人回答正确与否相互之间没有影响,用X表示甲队总得分.(1)求的概率;(2)求甲队和乙队得分之和为4的的概率.【解析】(1),则甲队有两人答对,一人答错,故.(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A,设乙队得分为Y,则.,,,,,∴.【题型精练】1.(2023·河南高三月考)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立答案:B【解析】事件甲发生的概率P(甲)=eq\f(1,6),事件乙发生的概率P(乙)=eq\f(1,6),事件丙发生的概率P(丙)=eq\f(5,6×6)=eq\f(5,36),事件丁发生的概率P(丁)=eq\f(6,6×6)=eq\f(1,6).事件甲与事件丙同时发生的概率为0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙),故A错误;事件甲与事件丁同时发生的概率为eq\f(1,6×6)=eq\f(1,36),P(甲丁)=P(甲)P(丁),故B正确;事件乙与事件丙同时发生的概率为eq\f(1,6×6)=eq\f(1,36),P(乙丙)≠P(乙)P(丙),故C错误;事件丙与事件丁是互斥事件,不是相互独立事件,故D错误.2.(2023·全国高三课时练习)“五一”劳动节放假期间,甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为,,,假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(
)A. B. C. D.答案:B【解析】∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为,,.∴他们不去北京旅游的概率分别为,,.∵至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游,∴至少有1人去北京旅游的概率为:.故选:B3.(2023·枣庄模拟)女排世界杯比赛采用5局3胜制,前4局比赛采用25分制,每个队只有赢得至少25分,并同时超过对方2分时,才胜1局;在决胜局(第五局)采用15分制,每个队只有赢得至少15分,并领先对方2分为胜.在比赛中,每一个回合,赢球的一方可得1分,并获得下一球的发球权,输球的一方不得分.现有甲乙两队进行排球比赛.(1)若前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为,求甲队最后赢得整场比赛的概率;(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中,两队当前的得分均为14分,且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为,乙发球时甲赢1分的概率为.求甲队在4个球以内(含4个球)赢得整场比赛的概率.【解析】(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢,所以甲队最后赢得整场比赛的概率为.(2)设甲队x个球后赢得比赛,根据比赛规则,x的取值只能为2或4,对应比分为两队打了2个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲得分,此时概率为;两队打了4个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲失分,打第三个球乙发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,或打第一个球甲发球甲失分,打第二个球乙发球甲得分,打第三个球甲发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,此时概率为.故所求概率为:【题型二条件概率】必备技巧求条件概率的常用方法(1)定义法:P(B|A)=eq\f(PAB,PA).(2)样本点法:P(B|A)=eq\f(nAB,nA).(3)缩样法:去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解.例4(2023·四川模拟)为庆祝建党100周年,讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进全体党员干部职工对党史知识的了解,某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛,某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题),不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中正确的是()A.P(A)=eq\f(3,5) B.P(AB)=eq\f(3,10)C.P(B|A)=eq\f(1,2) D.P(B|eq\x\to(A))=eq\f(1,2)答案:ABC【解析】P(A)=eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))=eq\f(3,5),故A正确;P(AB)=eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))=eq\f(3,10),故B正确;P(B|A)=eq\f(PAB,PA)=eq\f(\f(3,10),\f(3,5))=eq\f(1,2),故C正确;P(eq\x\to(A))=1-P(A)=1-eq\f(3,5)=eq\f(2,5),P(eq\x\to(A)B)=eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))=eq\f(3,10),P(B|eq\x\to(A))=eq\f(P\x\to(A)B,P\x\to(A))=eq\f(\f(3,10),\f(2,5))=eq\f(3,4),故D错误.例5(2023·武昌模拟)甲、乙两人到一商店购买饮料,他们准备分别从加多宝、农夫山泉、雪碧这3种饮品中随机选择一种,且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”,事件“甲和乙选择的饮品不同”,则(
)A. B. C. D.答案:D【解析】事件“甲选择农夫山泉”,则事件“甲和乙选择的饮品不同”,则事件=“甲选择农夫山泉,乙选择的是加多宝或者雪碧”所以所以,故选:D【题型精练】1.(2023·石家庄模拟)端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒.现有9个粽子,其中2个为蜜枣馅,3个为腊肉馅,4个为豆沙馅,小明随机取两个,设事件A为“取到的两个为同一种馅”,事件B为“取到的两个均为豆沙馅”,则(
)A. B. C. D.答案:C【解析】由题意不妨设2个蜜枣馅为:A,B,3个为腊肉馅为:a,b,c,4个为豆沙馅:1,2,3,4,则事件A为“取到的两个为同一种馅”,对应的事件为:AB,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34,所以,事件AB为“取到的两个为同一种馅,均为豆沙馅”,对应的事件为:12,13,14,23,24,34,所以,所以,故选:C2.(2023·临沂二模)现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游,每人只去一处景点,设事件为“4个人去的景点各不相同”,事件为“只有甲去了中山陵”,则____________.答案:【解析】甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游,共有种不同的方案,事件,“4个人去的景点各不相同”的方案有:种,事件,“只有甲去了中山陵”的方案有种,事件同时发生的方案有:种,,所以故答案为:【题型三全概率公式】必备技巧利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n);(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai);(3)代入全概率公式计算.例6(2023·唐山二模)英国数学家贝叶斯(1701-1763)在概率论研究方面成就显著,创立了贝叶斯统计理论,对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论,事件,,(的对立事件)存在如下关系:.若某地区一种疾病的患病率是,现有一种试剂可以检验被检者是否患病,已知该试剂的准确率为,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测,有的可能呈现阳性,该试剂的误报率为,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测,有5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者,用该试剂来检验,结果呈现阳性的概率为()A. B. C. D.答案:A【解析】设用该试剂检测呈现阳性为事件,被检测者患病为事件,未患病为事件,则,,,,故所求概率.故选:A.例7鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼,是具有云南特色的云南经典点心代表,鲜花饼的保质期一般在三至四天.据统计,某超市一天鲜花饼卖出3箱的概率为,卖出箱的概率为,卖出箱的概率为,没有卖出的概率为,为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼,该超市规定当天结束营业后检查货架上存货,若卖出箱及以上,则需补货至箱,否则不补货.假设第一天该超市开始营业时货架上有箱鲜花饼.(1)在第一天结束营业后货架上有箱鲜花饼的条件下,求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率;(2)求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率.【解析】(1)设事件:“第二天开始营业时货架上有箱鲜花饼”,事件:“第二天开始营业时货架上有箱鲜花饼”,,事件:“第二天结束营业时货架上有箱存货”,因为第一天结束营业后货架上有箱鲜花饼,故第二天只卖出箱,故;(2)由题意,,,由全概率公式得.【题型精练】1.(2023·高三课时练习)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为,则甲正点到达目的地的概率为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】设事件A表示甲正点到达目的地,事件B表示甲乘动车到达目的地,事件C表示甲乘汽车到达目的地,由题意知.由全概率公式得。故选:C2.(2023·广东高三模拟)某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析,根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1,且当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时,球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.从以上数据可知,当乙球员参加比赛时,求该球队某场比赛不输球的概率.【解析】设表示“乙球员担当前锋”,表示“乙球员担当中锋”,表示“乙球员担当后卫”,表示“乙球员担当守门员”,B表示“当乙球员参加比赛时,球队输球根据题意,则,所以当乙球员参加比赛时,该球队某场比赛不输球的
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