高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)7.3.2空间向量在立体几何中的应用(针对练习)(原卷版+解析)

第七章空间向量与立体几何7.3.2空间向量在立体几何中的应用（针对练习）针对练习针对练习一空间向量的线性运算1．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（

）A． B．C． D．2．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（

）A． B．C． D．3．在平行六面体中，，设，，，则向量(

)A． B．C． D．4．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（

）A． B．C． D．5．如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段OA、BC上，且，，则等于（

）A．B．C． D．针对练习二空间向量的坐标运算6．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（

）A．， B．，C．， D．，7．已知向量，b=1,−2，，若，则实数（

）A．－2 B．2 C．1 D．－18．空间中，与向量同向共线的单位向量为（

）A． B．或C． D．或9．若向量，，则向量与的夹角为（

）A．0 B． C． D．10．已知向量a=−3,2,4，，则（

）A． B．40 C．6 D．36针对练习三空间向量共面定理11．，若三向量共面，则实数（

）A．3 B．2 C．15 D．512．已知空间向量，，，若，，共面，则m＋2t＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．－613．已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（

）A． B．C． D．14．在下列等式中，使点与点一定共面的是（

）A．B．C．D．15．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（

）A．0 B．2 C． D．针对练习四线线角的向量求法16．如图：在多面体中，底面是正方形，，．底面．(1)证明：平面．(2)求异面直线与所成角的余弦值．17．如图：在长方体中，，，，是的中点，是的中点.(1)求异面直线，所成角的余弦值.(2)求三棱锥的体积18．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:(1)的长;(2)直线与所成角的余弦值.19．等边的边长为3，点，分别是，上的点，且满足.（如图（1）)，将沿折起到的位置，使面平面，连接，(如图（2）).（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.20．在直三棱柱中，，，，M是侧棱上一点，设．（1）若，求多面体的体积；（2）若异面直线BM与所成的角为，求h的值．针对练习五线面角的向量求法21．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是矩形，，为的中点，且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.22．如图，在三棱柱中，为等边三角形，侧面为菱形，，且侧面底面ABC，点D为的中点，点E为直线与平面ABC的交点．(1)试确定点E的位置，并证明平面；(2)求直线AB与平面所成角的正弦值．23．如图，四边形中，，且，沿着翻折，当三棱锥体积最大值时．(1)求此时三棱锥的体积；(2)求此时直线与平面夹角的正弦值．24．如图，在长方体中，，，E是线段上的动点．(1)求证：；(2)是否存在点E，使得直线AC与平面所成角为45°，若存在，求出DE的长；若不存在，请说明理由．25．在四棱锥中，已知，，，，，，是上的点．(1)求证：底面；(2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出该点的位置；不存在，请说明理由．针对练习六二面角的向量求法26．如图，在直三棱柱中，为棱上靠近的三等分点，为棱的中点，点在棱上，且直线平面.(1)求的长;(2)求二面角的余弦值.27．如图，在四棱雉中，底面，点在线段上，．(1)求证：;(2)若，且，求平面与平面夹角的余弦值．28．如图，平面平面，，，，，，，平面与平面交于．(1)求证：；(2)若，求二面角的余弦值．29．长方形中，，是中点（图），将沿折起，使得（图）在图中(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存点，使得二面角的余弦值为，说明理由．30．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．(1)求证：AA1⊥CD；(2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．针对练习七空间向量中的距离问题31．如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求：(1)顶点B到平面的距离；(2)直线到平面的距离．32．如图所示，平面平面，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，，，，，．(1)证明：C、D、F、E四点共面；(2)设，求点F到平面的距离．33．图1是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．(1)求证：平面平面；(2)若点P为线段上靠近点的三等分点，求点到平面的距离？34．如图，已知边长为4的正三角形ABC，E、F分别为BC和AC的中点，，且平面ABC，设Q是CE的中点．(1)求证：平面PFQ；(2)求直线AE与平面PFQ间的距离．35．如图，在三棱柱中，平面，，，M为线段上的动点.(1)证明：；(2)若E为的中点，求点到平面的距离.第七章空间向量与立体几何7.3.2空间向量在立体几何中的应用（针对练习）针对练习针对练习一空间向量的线性运算1．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可．【详解】解：因为，所以，因为点，分别是线段，的中点，所以，所以．故选：A．2．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．【详解】即故选：D．3．在平行六面体中，，设，，，则向量(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量的线性运算法则即可计算.【详解】．故选：C．4．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可.【详解】.故选：B.5．如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段OA、BC上，且，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图形即可得解.【详解】根据题意可得:故选：D.针对练习二空间向量的坐标运算6．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据空间向量平行的坐标运算计算得解.【详解】因为，所以，所以，，所以，解得，.故选：C.7．已知向量，b=1,−2，，若，则实数（

）A．－2 B．2 C．1 D．－1【答案】B【分析】由向量坐标运算求出，根据，得，计算可得.【详解】，因为，所以，所以，所以2.故选：B8．空间中，与向量同向共线的单位向量为（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】由已知条件，先求出，从而即可求解.【详解】解：因为，所以，所以与向量同向共线的单位向量，故选：C.9．若向量，，则向量与的夹角为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】利用向量数量积的定义，直接计算即可.【详解】设向量与的夹角为，且，所以，，所以，故选：D10．已知向量a=−3,2,4，，则（

）A． B．40 C．6 D．36【答案】C【分析】利用向量线性关系的坐标运算求，再利用向量模长的坐标公式求模长.【详解】由题设，则.故选：C针对练习三空间向量共面定理11．，若三向量共面，则实数（

）A．3 B．2 C．15 D．5【答案】D【分析】利用向量共面的坐标运算进行求解即可.【详解】∵，∴与不共线，又∵三向量共面，则存在实数m，n使即，解得．故选：D．12．已知空间向量，，，若，，共面，则m＋2t＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．－6【答案】D【分析】根据向量共面列方程，化简求得.【详解】，所以不共线，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故选：D13．已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.【详解】设，若点与点共面，则，对于选项A：，不满足题意；对于选项B：，不满足题意；对于选项C：，不满足题意；对于选项D：，满足题意.故选：D.14．在下列等式中，使点与点一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】结合共面性质，或且判断即可.【详解】对ABD，变形后均不满足且，故ABD错误；对C，，满足，故C正确.故选：C15．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（

）A．0 B．2 C． D．【答案】B【分析】先将题中条件：“”化成：“”利用四点共面的充要条件，列出方程求出m．【详解】P∈平面ABC，若则x+y+z＝1．.又动点Q在所在平面内运动，所以，解得.故选：B针对练习四线线角的向量求法16．如图：在多面体中，底面是正方形，，．底面．(1)证明：平面．(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，交于点，取的中点，连接，，证得，，得到四边形是平行四边形，得出，进而证得平面；（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求得则，，结合向量的夹角公式，即可求解.(1)证明：如图（1），连接，交于点，取的中点，连接，，因为底面是正方形，所以是的中点，所以，，又由，，所以，，故四边形是平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面．(2)解：以点为坐标原点，建立如图（2）所示的空间直角坐标系，设，则，则，，设异面直线与所成角的大小为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为．17．如图：在长方体中，，，，是的中点，是的中点.(1)求异面直线，所成角的余弦值.(2)求三棱锥的体积【答案】(1)(2)8【分析】（1）以A为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用向量法即可求解；（2）求出平面的法向量，即可用向量法求出到平面的距离，从而根据三棱锥的体积公式即可求解.（1）解：以A为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设异面直线，所成角为，则；（2）解：，，，设为平面的法向量，则，即，令，得，所以到平面的距离，又，所以.18．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:(1)的长;(2)直线与所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用基底表达，求解，从而求出；（2）计算出，用向量夹角余弦公式求解.(1)，，故，所以的长为；(2)，由（1）知：，设直线与所成角为∴cosθ∴直线与所成角的余弦值为.19．等边的边长为3，点，分别是，上的点，且满足.（如图（1）)，将沿折起到的位置，使面平面，连接，(如图（2）).（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】（1）由已知条件推导出，从而得到，折叠后有，由此能够证明平面；（2）由（1）知，平面，以为坐标原点，以射线､､分别为轴､轴､轴的正半轴建立空间直角坐标系，可求得，，由题意根据两向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：题图（1）中，由已知可得：，，.从而故得，所以，.所以题图（2）中，，，∵面面面面面∴面（2）解：存在.由（1）知，平面.以为坐标原点，以射线､､分别为轴､轴､轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，，，，∴，∴∴.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下：（1）利用面面垂直的性质，结合线线垂直的条件，证得线面垂直；（2）结合（1）的条件，建立空间直角坐标系，假设存在对应的点P，设，利用空间向量解决线线角的余弦值，建立关于的关系式，求得结果.20．在直三棱柱中，，，，M是侧棱上一点，设．（1）若，求多面体的体积；（2）若异面直线BM与所成的角为，求h的值．【答案】（1）；（2）2【分析】（1）多面体的体积为，由此能求出结果；（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出h的值.【详解】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，，M是侧棱C1C上一点，设MC＝，∴多面体ABM﹣A1B1C1的体积为：＝﹣＝＝.（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），M（2，0，h），A1（0，2，2），C1（2，0，2），＝（2，0，h），＝（2，﹣2，0），∵异面直线BM与A1C1所成的角为60°，∴cos60°＝＝，由h＞0，解得h＝2.【点睛】本题考查多面体的体积、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.针对练习五线面角的向量求法21．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是矩形，，为的中点，且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）结合勾股定理证明线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直；（2）利用坐标法求线面夹角正弦值.（1）由已知得，，，，，，，，又，且，平面，平面，又平面，，在正三角形中，为的中点，则，又，且，平面平面；（2）如图所示，取的中点为，的中点为，由（1）得三棱柱的侧面与底面垂直，从而，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，则.22．如图，在三棱柱中，为等边三角形，侧面为菱形，，且侧面底面ABC，点D为的中点，点E为直线与平面ABC的交点．(1)试确定点E的位置，并证明平面；(2)求直线AB与平面所成角的正弦值．【答案】(1)点E的位置见解析，证明见解析(2)【分析】（1）延长线段，交AC的延长线于点P，可得点P即为所求的点E，连接，交于点F，连接BE，FD，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）取AC的中点O，连接，OB，证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法即可解决直线AB与平面所成角的正弦值（1）延长线段，交AC的延长线于点P，∵，平面ABC，∴平面ABC，又∵，∴平面，故点P即为所求的点E，连接，交于点F，连接BE，FD，∵，D为的中点，所以，∴，∴，在三棱柱中，四边形为平行四边形，∴F为线段的中点，∴DF为的中位线，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）取AC的中点O，连接，OB，不妨设，∵侧面为菱形，，所以在中，解得，所以，所以，又∵侧面底面ABC，侧面底面，侧面，∴平面ABC，又∵平面ABC，∴，又∵为等边三角形，∴，∴，，两两垂直，以O为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，，，，，，则，，，，设平面的法向量为，则即，取，则，，即为平面的一个法向量，设直线AB与平面所成的角为，则，即直线AB与平面所成角的正弦值为23．如图，四边形中，，且，沿着翻折，当三棱锥体积最大值时．(1)求此时三棱锥的体积；(2)求此时直线与平面夹角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意知当平面平面时，体积最大，取中点，根据已知可知为高，为底面，根据数量关系可求得；（2）由题意以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，代入公式即可求得.（1）解：沿折叠，当平面平面时，体积最大，由平面平面，平面平面，取中点，，，，，且平面，，且，，且平面，，；（2）沿BD折叠，取中点，由（1）得到，平面平面，，且，以为原点，以分别为轴，如图建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，，AC=(0,−2,23)，，令，，又AD设直线与平面夹角为，，所以直线与平面夹角的正弦值为.24．如图，在长方体中，，，E是线段上的动点．(1)求证：；(2)是否存在点E，使得直线AC与平面所成角为45°，若存在，求出DE的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，.【分析】（1）利用线面垂直的性质定理进行证明.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.（1）如图，连接，DB，在长方体中，∵底面ABCD，底面ABCD，∴．又，，∴平面，又平面，（2）假设存在这样的点E，使得直线AC与平面所成角为45°．设，如图，以D为原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．∴，，．设平面的法向量为，则令，则，．∴平面的一个法向量为．∴，解得．∴存在这样的点E，当时，直线AC与平面所成角为45°．25．在四棱锥中，已知，，，，，，是上的点．(1)求证：底面；(2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出该点的位置；不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为上靠近点的三等分点【分析】（1）首先证明面，再结合线面垂直的判断定理，证明面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用，即可求得的值.(1)在中：，，所以.在中：，，，由余弦定理有：，所以，所以①又因为②，由①②，，所以面，所以③.在中：，，，所以④，由③④，，所以面.(2)以为原点，以，，竖直向上分别为、、轴建立直角坐标系.则有，，，，，设，则，，，设为面的法向量，则有：，解得，设所求线面角为，则有，解得，所以.所以点为上靠近点的三等分点，满足条件.针对练习六二面角的向量求法26．如图，在直三棱柱中，为棱上靠近的三等分点，为棱的中点，点在棱上，且直线平面.(1)求的长;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】(1)在上取一点，使得，根据面面平行判定定理证明平面平面，再根据面面平行性质定理确定的长即可，(2)建立空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，根据二面角向量公式求二面角的余弦值.（1）在上取一点，使得，连接.由已知得，所以所以.因为平面，平面，所以平面.又因为平面，平面，所以平面平面.平面平面，平面平面，根据面面平行的性质可知.在矩形中，可得，所以，所以.（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则.，，设平面的法向量为，则，所以，取得设平面的法向量为，则所以取，得所以结合图可知二面角的余弦值为.27．如图，在四棱雉中，底面，点在线段上，．(1)求证：;(2)若，且，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明平面，再利用，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案.（1）证明：因为平面，平面，所以;又，平面,故平面，又因为，故平面，而平面，故；（2）由题意可知两两垂直，故以A为坐标原点，分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设AD=3，则，由于，由（1）可知,故DE=1，AE=2，所以,则,设平面PEC的一个法向量为，则，即，取，则，平面PAB的一个法向量可取为，则，由图可知平面与平面夹角为锐角，故其余弦值为.28．如图，平面平面，，，，，，，平面与平面交于．(1)求证：；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得平面，再利用线面平行的性质定理即得；（2）设的中点为，由题可得平面，建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.（1）∵，平面，平面，∴平面，∵平面平面，平面，∴；（2）设的中点为，连接，∵，，∴是等边三角形．又为的中点，∴，∵，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，故两两垂直．以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∵，，∴四边形CDEF为平行四边形，即，∴，∴，，设平面BCF的一个法向量为，则，令，则，易知平面ABC的一个法向量为，∴，由题可知二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为．29．长方形中，，是中点（图），将沿折起，使得（图）在图中(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存点，使得二面角的余弦值为，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析【分析】（1）由已知可得，得，再由，利用线面平行的判定可得平面，进一步得到平面平面；（2）建立空间直角坐标系，设为线段上的点，，分别求出平面与面的一个法向量，由已知结合两法向量所成角的余弦值求得值，可得在线段上存点，使得二面角的余弦值为．（1）在长方形中，连接，因为，是中点，所以，从而，所以．因为，，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）为平面平面，交线是，所以在面过垂直于的直线必然垂直平面．以为坐标原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系．设，则，0，，，2，，，0，，．设，则．设，，是平面的法向量，则，即，取，，．平取面的一个法向量是，1，．依题意，即，解方程得，因此是线段的中点时，二面角为大小为．30．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．(1)求证：AA1⊥CD；(2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点.【分析】（1）取棱的中点O，由题可得，进而可得平面，即得；（2）利用坐标法，设，利用二面角的向量求法列出方程，即得.（1）取棱的中点O，连接．因为四边形是菱形，所以，又因为，所以为等边三角形，所以．因为四边形为正方形且O、D分别是的中点，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以．（2）因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面．以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．不妨设，则点．设为平面的一个法向量，则由及，得，不妨取得．假设棱上（除端点外）存在点M满足题意，令得，设为平面的一个法向量，则由及，得，不妨取，得．由，解得或，所以存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点．针对练习七空间向量中的距离问题31．如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求：(1)顶点B到平面的距离；(2)直线到平面的距离．【答案】(1)(2)【分析】以点D为原点，分别以、与为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．（1）分别利用向量法求点B到平面的距离；（2）直线到平面的距离等于到平面的距离．用向量法求点到平面的距离；(1)以点D为原点，分别以、与为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则，，，，，，，.设平面的法向量为，所以，．因为，，由，得，不妨取，则.而向量，所以B到平面的距离；(2)直线到平面的距离等于到平面的距离．因为，所以到平面的距离．32．如图所示，平面平面，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，，，，，．(1)证明：C、D、F、E四点共面；(2)设，求点F到平面的距离．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】(1)由面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，由此证明C、D、F、E四点共面；(2)求平面的法向量，再求在法向量上的投影向量的长度可得点F到平面的距离．（1）因为，所以，又平面，平面平面，平面平面