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文档简介
第七章空间向量与立体几何7.3.2空间向量在立体几何中的应用(针对练习)针对练习针对练习一空间向量的线性运算1.如图,在四面体中,点在棱上,且满足,点,分别是线段,的中点,则用向量,,表示向量应为(
)A. B.C. D.2.已知四棱锥,底面为平行四边形,M,N分别为棱BC,PD上的点,,,设,,,则向量用为基底表示为(
)A. B.C. D.3.在平行六面体中,,设,,,则向量(
)A. B.C. D.4.如图,在正方体中,,,,若为的中点,在上,且,则等于(
)A. B.C. D.5.如图,在四面体中,,,,点M、N分别在线段OA、BC上,且,,则等于(
)A.B.C. D.针对练习二空间向量的坐标运算6.向量,分别是直线,的方向向量,且,,若,则(
)A., B.,C., D.,7.已知向量,b=1,−2,,若,则实数(
)A.-2 B.2 C.1 D.-18.空间中,与向量同向共线的单位向量为(
)A. B.或C. D.或9.若向量,,则向量与的夹角为(
)A.0 B. C. D.10.已知向量a=−3,2,4,,则(
)A. B.40 C.6 D.36针对练习三空间向量共面定理11.,若三向量共面,则实数(
)A.3 B.2 C.15 D.512.已知空间向量,,,若,,共面,则m+2t=(
)A.-1 B.0 C.1 D.-613.已知,,三点不共线,为平面外一点,下列条件中能确定,,,四点共面的是(
)A. B.C. D.14.在下列等式中,使点与点一定共面的是(
)A.B.C.D.15.已知动点Q在所在平面内运动,若对于空间中任意一点P,都有,则实数m的值为(
)A.0 B.2 C. D.针对练习四线线角的向量求法16.如图:在多面体中,底面是正方形,,.底面.(1)证明:平面.(2)求异面直线与所成角的余弦值.17.如图:在长方体中,,,,是的中点,是的中点.(1)求异面直线,所成角的余弦值.(2)求三棱锥的体积18.如图,在平行六面体中,底面是边长为2的正方形,侧棱的长度为4,且.用向量法求:(1)的长;(2)直线与所成角的余弦值.19.等边的边长为3,点,分别是,上的点,且满足.(如图(1)),将沿折起到的位置,使面平面,连接,(如图(2)).(1)求证:平面;(2)在线段上是否存在点,使直线与直线所成角的余弦值为?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.20.在直三棱柱中,,,,M是侧棱上一点,设.(1)若,求多面体的体积;(2)若异面直线BM与所成的角为,求h的值.针对练习五线面角的向量求法21.如图,在三棱柱中,为等边三角形,四边形是矩形,,为的中点,且.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.22.如图,在三棱柱中,为等边三角形,侧面为菱形,,且侧面底面ABC,点D为的中点,点E为直线与平面ABC的交点.(1)试确定点E的位置,并证明平面;(2)求直线AB与平面所成角的正弦值.23.如图,四边形中,,且,沿着翻折,当三棱锥体积最大值时.(1)求此时三棱锥的体积;(2)求此时直线与平面夹角的正弦值.24.如图,在长方体中,,,E是线段上的动点.(1)求证:;(2)是否存在点E,使得直线AC与平面所成角为45°,若存在,求出DE的长;若不存在,请说明理由.25.在四棱锥中,已知,,,,,,是上的点.(1)求证:底面;(2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为?若存在,求出该点的位置;不存在,请说明理由.针对练习六二面角的向量求法26.如图,在直三棱柱中,为棱上靠近的三等分点,为棱的中点,点在棱上,且直线平面.(1)求的长;(2)求二面角的余弦值.27.如图,在四棱雉中,底面,点在线段上,.(1)求证:;(2)若,且,求平面与平面夹角的余弦值.28.如图,平面平面,,,,,,,平面与平面交于.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.29.长方形中,,是中点(图),将沿折起,使得(图)在图中(1)求证:平面平面;(2)在线段上是否存点,使得二面角的余弦值为,说明理由.30.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ABB1A1为正方形,四边形AA1C1C为菱形,且∠AA1C=60°,平面AA1C1C⊥平面ABB1A1,点D为棱BB1的中点.(1)求证:AA1⊥CD;(2)棱B1C1(除两端点外)上是否存在点M,使得二面角B-A1M-B1的余弦值为?若存在,请指出点M的位置;若不存在,请说明理由.针对练习七空间向量中的距离问题31.如图,长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1.求:(1)顶点B到平面的距离;(2)直线到平面的距离.32.如图所示,平面平面,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,,,,,.(1)证明:C、D、F、E四点共面;(2)设,求点F到平面的距离.33.图1是直角梯形,,,,,,,以为折痕将折起,使点到达的位置,且,如图2.(1)求证:平面平面;(2)若点P为线段上靠近点的三等分点,求点到平面的距离?34.如图,已知边长为4的正三角形ABC,E、F分别为BC和AC的中点,,且平面ABC,设Q是CE的中点.(1)求证:平面PFQ;(2)求直线AE与平面PFQ间的距离.35.如图,在三棱柱中,平面,,,M为线段上的动点.(1)证明:;(2)若E为的中点,求点到平面的距离.第七章空间向量与立体几何7.3.2空间向量在立体几何中的应用(针对练习)针对练习针对练习一空间向量的线性运算1.如图,在四面体中,点在棱上,且满足,点,分别是线段,的中点,则用向量,,表示向量应为(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可.【详解】解:因为,所以,因为点,分别是线段,的中点,所以,所以.故选:A.2.已知四棱锥,底面为平行四边形,M,N分别为棱BC,PD上的点,,,设,,,则向量用为基底表示为(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】由图形可得,根据比例关系可得,,再根据向量减法,代入整理并代换为基底向量.【详解】即故选:D.3.在平行六面体中,,设,,,则向量(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】利用向量的线性运算法则即可计算.【详解】.故选:C.4.如图,在正方体中,,,,若为的中点,在上,且,则等于(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可.【详解】.故选:B.5.如图,在四面体中,,,,点M、N分别在线段OA、BC上,且,,则等于(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理,结合图形即可得解.【详解】根据题意可得:故选:D.针对练习二空间向量的坐标运算6.向量,分别是直线,的方向向量,且,,若,则(
)A., B.,C., D.,【答案】C【分析】根据空间向量平行的坐标运算计算得解.【详解】因为,所以,所以,,所以,解得,.故选:C.7.已知向量,b=1,−2,,若,则实数(
)A.-2 B.2 C.1 D.-1【答案】B【分析】由向量坐标运算求出,根据,得,计算可得.【详解】,因为,所以,所以,所以2.故选:B8.空间中,与向量同向共线的单位向量为(
)A. B.或C. D.或【答案】C【分析】由已知条件,先求出,从而即可求解.【详解】解:因为,所以,所以与向量同向共线的单位向量,故选:C.9.若向量,,则向量与的夹角为(
)A.0 B. C. D.【答案】D【分析】利用向量数量积的定义,直接计算即可.【详解】设向量与的夹角为,且,所以,,所以,故选:D10.已知向量a=−3,2,4,,则(
)A. B.40 C.6 D.36【答案】C【分析】利用向量线性关系的坐标运算求,再利用向量模长的坐标公式求模长.【详解】由题设,则.故选:C针对练习三空间向量共面定理11.,若三向量共面,则实数(
)A.3 B.2 C.15 D.5【答案】D【分析】利用向量共面的坐标运算进行求解即可.【详解】∵,∴与不共线,又∵三向量共面,则存在实数m,n使即,解得.故选:D.12.已知空间向量,,,若,,共面,则m+2t=(
)A.-1 B.0 C.1 D.-6【答案】D【分析】根据向量共面列方程,化简求得.【详解】,所以不共线,由于,,共面,所以存在,使,即,,,,,即.故选:D13.已知,,三点不共线,为平面外一点,下列条件中能确定,,,四点共面的是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】根据点与点共面,可得,验证选项,即可得到答案.【详解】设,若点与点共面,则,对于选项A:,不满足题意;对于选项B:,不满足题意;对于选项C:,不满足题意;对于选项D:,满足题意.故选:D.14.在下列等式中,使点与点一定共面的是(
)A.B.C.D.【答案】C【分析】结合共面性质,或且判断即可.【详解】对ABD,变形后均不满足且,故ABD错误;对C,,满足,故C正确.故选:C15.已知动点Q在所在平面内运动,若对于空间中任意一点P,都有,则实数m的值为(
)A.0 B.2 C. D.【答案】B【分析】先将题中条件:“”化成:“”利用四点共面的充要条件,列出方程求出m.【详解】P∈平面ABC,若则x+y+z=1..又动点Q在所在平面内运动,所以,解得.故选:B针对练习四线线角的向量求法16.如图:在多面体中,底面是正方形,,.底面.(1)证明:平面.(2)求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接,交于点,取的中点,连接,,证得,,得到四边形是平行四边形,得出,进而证得平面;(2)以点为坐标原点建立空间直角坐标系,求得则,,结合向量的夹角公式,即可求解.(1)证明:如图(1),连接,交于点,取的中点,连接,,因为底面是正方形,所以是的中点,所以,,又由,,所以,,故四边形是平行四边形,所以.又因为平面,平面,所以平面.(2)解:以点为坐标原点,建立如图(2)所示的空间直角坐标系,设,则,则,,设异面直线与所成角的大小为,则,所以异面直线与所成角的余弦值为.17.如图:在长方体中,,,,是的中点,是的中点.(1)求异面直线,所成角的余弦值.(2)求三棱锥的体积【答案】(1)(2)8【分析】(1)以A为原点,,,为,,轴建立空间直角坐标系,求出和的坐标,利用向量法即可求解;(2)求出平面的法向量,即可用向量法求出到平面的距离,从而根据三棱锥的体积公式即可求解.(1)解:以A为原点,,,为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,,设异面直线,所成角为,则;(2)解:,,,设为平面的法向量,则,即,令,得,所以到平面的距离,又,所以.18.如图,在平行六面体中,底面是边长为2的正方形,侧棱的长度为4,且.用向量法求:(1)的长;(2)直线与所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用基底表达,求解,从而求出;(2)计算出,用向量夹角余弦公式求解.(1),,故,所以的长为;(2),由(1)知:,设直线与所成角为∴cosθ∴直线与所成角的余弦值为.19.等边的边长为3,点,分别是,上的点,且满足.(如图(1)),将沿折起到的位置,使面平面,连接,(如图(2)).(1)求证:平面;(2)在线段上是否存在点,使直线与直线所成角的余弦值为?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)存在,.【解析】(1)由已知条件推导出,从而得到,折叠后有,由此能够证明平面;(2)由(1)知,平面,以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系,可求得,,由题意根据两向量的夹角公式即可求解.【详解】(1)证明:题图(1)中,由已知可得:,,.从而故得,所以,.所以题图(2)中,,,∵面面面面面∴面(2)解:存在.由(1)知,平面.以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系,如图,,,,∴,∴∴.【点睛】思路点睛:该题考查的是有关立体几何的问题,解题思路如下:(1)利用面面垂直的性质,结合线线垂直的条件,证得线面垂直;(2)结合(1)的条件,建立空间直角坐标系,假设存在对应的点P,设,利用空间向量解决线线角的余弦值,建立关于的关系式,求得结果.20.在直三棱柱中,,,,M是侧棱上一点,设.(1)若,求多面体的体积;(2)若异面直线BM与所成的角为,求h的值.【答案】(1);(2)2【分析】(1)多面体的体积为,由此能求出结果;(2)以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出h的值.【详解】解:(1)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,,M是侧棱C1C上一点,设MC=,∴多面体ABM﹣A1B1C1的体积为:=﹣==.(2)以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),M(2,0,h),A1(0,2,2),C1(2,0,2),=(2,0,h),=(2,﹣2,0),∵异面直线BM与A1C1所成的角为60°,∴cos60°==,由h>0,解得h=2.【点睛】本题考查多面体的体积、线段长的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.针对练习五线面角的向量求法21.如图,在三棱柱中,为等边三角形,四边形是矩形,,为的中点,且.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)结合勾股定理证明线线垂直,利用线线垂直证明线面垂直;(2)利用坐标法求线面夹角正弦值.(1)由已知得,,,,,,,,又,且,平面,平面,又平面,,在正三角形中,为的中点,则,又,且,平面平面;(2)如图所示,取的中点为,的中点为,由(1)得三棱柱的侧面与底面垂直,从而,,两两垂直,以为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,设平面的法向量为,则,即,令,则,,所以,设直线与平面所成角为,则.22.如图,在三棱柱中,为等边三角形,侧面为菱形,,且侧面底面ABC,点D为的中点,点E为直线与平面ABC的交点.(1)试确定点E的位置,并证明平面;(2)求直线AB与平面所成角的正弦值.【答案】(1)点E的位置见解析,证明见解析(2)【分析】(1)延长线段,交AC的延长线于点P,可得点P即为所求的点E,连接,交于点F,连接BE,FD,利用线面平行的判定定理即可证明;(2)取AC的中点O,连接,OB,证明,,两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向量法即可解决直线AB与平面所成角的正弦值(1)延长线段,交AC的延长线于点P,∵,平面ABC,∴平面ABC,又∵,∴平面,故点P即为所求的点E,连接,交于点F,连接BE,FD,∵,D为的中点,所以,∴,∴,在三棱柱中,四边形为平行四边形,∴F为线段的中点,∴DF为的中位线,∴,又∵平面,平面,∴平面;(2)取AC的中点O,连接,OB,不妨设,∵侧面为菱形,,所以在中,解得,所以,所以,又∵侧面底面ABC,侧面底面,侧面,∴平面ABC,又∵平面ABC,∴,又∵为等边三角形,∴,∴,,两两垂直,以O为坐标原点,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由已知可得,,,,,,则,,,,设平面的法向量为,则即,取,则,,即为平面的一个法向量,设直线AB与平面所成的角为,则,即直线AB与平面所成角的正弦值为23.如图,四边形中,,且,沿着翻折,当三棱锥体积最大值时.(1)求此时三棱锥的体积;(2)求此时直线与平面夹角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】(1)由题意知当平面平面时,体积最大,取中点,根据已知可知为高,为底面,根据数量关系可求得;(2)由题意以为原点建立空间直角坐标系,求出平面的法向量和直线的方向向量,代入公式即可求得.(1)解:沿折叠,当平面平面时,体积最大,由平面平面,平面平面,取中点,,,,,且平面,,且,,且平面,,;(2)沿BD折叠,取中点,由(1)得到,平面平面,,且,以为原点,以分别为轴,如图建立空间直角坐标系,设平面的法向量为,,AC=(0,−2,23),,令,,又AD设直线与平面夹角为,,所以直线与平面夹角的正弦值为.24.如图,在长方体中,,,E是线段上的动点.(1)求证:;(2)是否存在点E,使得直线AC与平面所成角为45°,若存在,求出DE的长;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在,.【分析】(1)利用线面垂直的性质定理进行证明.(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.(1)如图,连接,DB,在长方体中,∵底面ABCD,底面ABCD,∴.又,,∴平面,又平面,(2)假设存在这样的点E,使得直线AC与平面所成角为45°.设,如图,以D为原点,直线DA,DC,分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则,,,,.∴,,.设平面的法向量为,则令,则,.∴平面的一个法向量为.∴,解得.∴存在这样的点E,当时,直线AC与平面所成角为45°.25.在四棱锥中,已知,,,,,,是上的点.(1)求证:底面;(2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为?若存在,求出该点的位置;不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在,点为上靠近点的三等分点【分析】(1)首先证明面,再结合线面垂直的判断定理,证明面;(2)以为原点,建立空间直角坐标系,求平面的法向量,利用,即可求得的值.(1)在中:,,所以.在中:,,,由余弦定理有:,所以,所以①又因为②,由①②,,所以面,所以③.在中:,,,所以④,由③④,,所以面.(2)以为原点,以,,竖直向上分别为、、轴建立直角坐标系.则有,,,,,设,则,,,设为面的法向量,则有:,解得,设所求线面角为,则有,解得,所以.所以点为上靠近点的三等分点,满足条件.针对练习六二面角的向量求法26.如图,在直三棱柱中,为棱上靠近的三等分点,为棱的中点,点在棱上,且直线平面.(1)求的长;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】(1)在上取一点,使得,根据面面平行判定定理证明平面平面,再根据面面平行性质定理确定的长即可,(2)建立空间直角坐标系,求出平面,平面的法向量,根据二面角向量公式求二面角的余弦值.(1)在上取一点,使得,连接.由已知得,所以所以.因为平面,平面,所以平面.又因为平面,平面,所以平面平面.平面平面,平面平面,根据面面平行的性质可知.在矩形中,可得,所以,所以.(2)以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则.,,设平面的法向量为,则,所以,取得设平面的法向量为,则所以取,得所以结合图可知二面角的余弦值为.27.如图,在四棱雉中,底面,点在线段上,.(1)求证:;(2)若,且,求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)先证明平面,再利用,即可证明结论;(2)建立空间直角坐标系,求得相关点坐标,求出平面的法向量,利用向量的夹角公式即可求得答案.(1)证明:因为平面,平面,所以;又,平面,故平面,又因为,故平面,而平面,故;(2)由题意可知两两垂直,故以A为坐标原点,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设AD=3,则,由于,由(1)可知,故DE=1,AE=2,所以,则,设平面PEC的一个法向量为,则,即,取,则,平面PAB的一个法向量可取为,则,由图可知平面与平面夹角为锐角,故其余弦值为.28.如图,平面平面,,,,,,,平面与平面交于.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)利用线面平行的判定定理可得平面,再利用线面平行的性质定理即得;(2)设的中点为,由题可得平面,建立空间直角坐标系,利用坐标法即得.(1)∵,平面,平面,∴平面,∵平面平面,平面,∴;(2)设的中点为,连接,∵,,∴是等边三角形.又为的中点,∴,∵,∴,又平面平面,平面平面,平面,∴平面,∵平面,∴,故两两垂直.以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,∵,,∴四边形CDEF为平行四边形,即,∴,∴,,设平面BCF的一个法向量为,则,令,则,易知平面ABC的一个法向量为,∴,由题可知二面角的平面角为锐角,∴二面角的余弦值为.29.长方形中,,是中点(图),将沿折起,使得(图)在图中(1)求证:平面平面;(2)在线段上是否存点,使得二面角的余弦值为,说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在,理由见解析【分析】(1)由已知可得,得,再由,利用线面平行的判定可得平面,进一步得到平面平面;(2)建立空间直角坐标系,设为线段上的点,,分别求出平面与面的一个法向量,由已知结合两法向量所成角的余弦值求得值,可得在线段上存点,使得二面角的余弦值为.(1)在长方形中,连接,因为,是中点,所以,从而,所以.因为,,所以平面.因为平面,所以平面平面.(2)为平面平面,交线是,所以在面过垂直于的直线必然垂直平面.以为坐标原点,为轴,为轴,过作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系.设,则,0,,,2,,,0,,.设,则.设,,是平面的法向量,则,即,取,,.平取面的一个法向量是,1,.依题意,即,解方程得,因此是线段的中点时,二面角为大小为.30.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ABB1A1为正方形,四边形AA1C1C为菱形,且∠AA1C=60°,平面AA1C1C⊥平面ABB1A1,点D为棱BB1的中点.(1)求证:AA1⊥CD;(2)棱B1C1(除两端点外)上是否存在点M,使得二面角B-A1M-B1的余弦值为?若存在,请指出点M的位置;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点.【分析】(1)取棱的中点O,由题可得,进而可得平面,即得;(2)利用坐标法,设,利用二面角的向量求法列出方程,即得.(1)取棱的中点O,连接.因为四边形是菱形,所以,又因为,所以为等边三角形,所以.因为四边形为正方形且O、D分别是的中点,所以,又平面,所以平面,因为平面,所以.(2)因为平面平面,平面平面,且平面,所以平面.以O为坐标原点,以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.不妨设,则点.设为平面的一个法向量,则由及,得,不妨取得.假设棱上(除端点外)存在点M满足题意,令得,设为平面的一个法向量,则由及,得,不妨取,得.由,解得或,所以存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点.针对练习七空间向量中的距离问题31.如图,长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1.求:(1)顶点B到平面的距离;(2)直线到平面的距离.【答案】(1)(2)【分析】以点D为原点,分别以、与为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.(1)分别利用向量法求点B到平面的距离;(2)直线到平面的距离等于到平面的距离.用向量法求点到平面的距离;(1)以点D为原点,分别以、与为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.则,,,,,,,.设平面的法向量为,所以,.因为,,由,得,不妨取,则.而向量,所以B到平面的距离;(2)直线到平面的距离等于到平面的距离.因为,所以到平面的距离.32.如图所示,平面平面,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,,,,,.(1)证明:C、D、F、E四点共面;(2)设,求点F到平面的距离.【答案】(1)证明见详解(2)【分析】(1)由面面垂直性质定理证明平面,建立空间直角坐标系,利用向量方法证明,由此证明C、D、F、E四点共面;(2)求平面的法向量,再求在法向量上的投影向量的长度可得点F到平面的距离.(1)因为,所以,又平面,平面平面,平面平面
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