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文档简介
第4练空间点、直线、平面之间的位置关系eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一.选择题1.用符号语言表示下列语句,正确的个数是(1)点在平面内,但不在平面内:,;(2)直线经过平面外的点,且不在平面内:,,;(3)平面与平面相交于直线,且经过点,.A.1 B.2 C.3 D.02.在空间中,“直线与没有公共点”是“直线与异面”的A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3.给出下列判断,其中正确的是A.三点唯一确定一个平面 B.一条直线和一个点唯一确定一个平面 C.两条平行直线与同一条直线相交,三条直线在同一平面内 D.空间两两相交的三条直线在同一平面内4.如图所示的是平行四边形所在的平面,有下列表示方法:①平面;②平面;③平面;④平面;⑤;⑥平面.其中不正确的是A.④⑤ B.③⑤ C.③④⑤ D.②③④⑤5.下列结论错误的个数是(1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行;(2)若直线平面,,则过点且平行于直线的直线有无数条;(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行;(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.A.0 B.1 C.3 D.26.在正方体中,,分别为棱,的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.7.过直线外两点,作与平行的平面,则这样的平面A.不可能作出 B.只能作出一个 C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在8.如图是一正方体的表面展开图,和是两条面对角线,则在正方体中,直线与直线的位置关系为A.相交 B.平行 C.异面 D.重合9.在长方体中,直线与平面的交点为,为线段的中点,则下列结论错误的是A.,,三点共线 B.,,,四点共面 C.,,,四点共面 D.,,,四点共面10.下列说法正确的是A.空间中的任意三点可以确定一个平面 B.四边相等的四边形一定是菱形 C.两条相交直线可以确定一个平面 D.正四棱柱的侧面都是正方形11.下列条件中,能够确定一个平面的是A.两个点 B.三个点 C.一条直线和一个点 D.两条相交直线12.图中,、、、分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在的棱的中点,则表示直线、是异面直线的图形有A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④13.若和是异面直线,和是异面直线,则和的位置关系是A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面14.在空间四边形的各边,,,上依次取点,,,,若、所在直线相交于点,则A.点必在直线上 B.点必在直线上 C.点必在平面外 D.点必在平面内15.对于平面外一直线,下列说法正确的是A.内的所有直线都与异面 B.内有无数条直线与垂直 C.内没有直线与相交 D.内有无数条直线与平行16.在以下四个图中,直线与直线平行的位置关系只能是A. B. C. D.17.设点为正方形的中心,为平面外一点,为等腰直角三角形,且,若是线段的中点,则A.,且直线、是相交直线 B.,且直线、是相交直线 C.,且直线、是异面直线 D.,且直线、是异面直线18.已知直线,,,若,异面,,则,的位置关系是A.异面 B.相交 C.平行或异面 D.相交或异面19.若直线,是异面直线,点是空间中不在直线,上的任意一点,则A.不存在过点且与直线,都相交的直线 B.过点一定可以作一条直线与直线,都相交 C.过点可以作无数多条直线与直线,都相交 D.过点至多可以作一条直线与直线,都相交20.如图,在直四棱柱中,下列结论正确的是A.与是两条相交直线 B.平面 C. D.,,,四点共面二.多选题21.下列说法正确的是A.三点确定一个平面 B.三角形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 D.四边形一定是平面图形22.如图,在空间四边形中,,分别为,的中点,,分别在,上,且,则A.平面 B.平面 C.平面 D.直线,,交于一点23.如图是一个正方体的平面展开图,在这个正方体中,以下四个命题中,正确的是A. B. C.与为异面直线 D.24.已知直线平面,直线平面,则直线,可能A.平行 B.异面 C.相交 D.垂直25.若、为异面直线,直线与平行,则与的位置关系可以是A.相交 B.平行 C.异面 D.重合三.填空题(共12小题)26.不共线的三点确定个平面.(填数字)27.已知定直线,定点,则直线与点确定的平面有个(请填写个数).28.正方体中,、分别是棱,的中点,则直线与的位置关系是.29.在正方体中,与棱所在直线异面的棱有条.30.已知、是异面直线,直线直线,则直线与直线的位置关系是.31.直线与直线为两条异面直线,已知直线,那么直线与直线的位置关系为.32.已知空间直线,,且与是异面直线,那么与的位置关系是.33.空间两个平面最多将空间分成部分.(填数字)34.与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是.35.给出下列说法:①和直线都相交的两条直线在同一个平面内;②三条两两相交的直线一定在同一个平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两相交且不过同一点的四条直线共面.其中正确说法的序号是.36.在长方体的12条棱之中,我们把两条异面的棱称为“一对”,则12条棱中,共有对异面直线.37.已知直线,如果直线同时满足条件:①与异面;②与成定角;③与的距离为定值.那么这样的直线有条.四.解答题38.如图所示,四边形和都是直角梯形,,,,,,,分别为,的中点.(1)证明:四边形是平行四边形;(2),,,四点是否共面?为什么?39.如图,在正方体中,点、分别是、的中点.求证:(1)和共面;(2)和是异面直线.40.已知、、、是空间四个点,且直线与是两条异面直线.用反证法证明:直线与也是异面直线.41.如图所示,在空间四边形中,,分别为,的中点,,分别在,上,且,求证:(1),,,四点共面;(2)与的交点在直线上.第4练空间点、直线、平面之间的位置关系eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一.选择题1.用符号语言表示下列语句,正确的个数是(1)点在平面内,但不在平面内:,;(2)直线经过平面外的点,且不在平面内:,,;(3)平面与平面相交于直线,且经过点,.A.1 B.2 C.3 D.0【解析】(1)点和平面的关系应是,,故(1)错误;易判断(2)(3)正确.故选:.2.在空间中,“直线与没有公共点”是“直线与异面”的A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】根据题意,在空间中,直线与没有公共点,直线和平行或异面,反之,若直线与异面,则直线与没有公共点,故“直线与没有公共点”是“直线与异面”的必要不充分条件,故选:.3.给出下列判断,其中正确的是A.三点唯一确定一个平面 B.一条直线和一个点唯一确定一个平面 C.两条平行直线与同一条直线相交,三条直线在同一平面内 D.空间两两相交的三条直线在同一平面内【解析】对于,三点共线时,平面不唯一,故错误,对于,点在直线上时,平面不唯一,故错误,对于,两条平行直线与同一条直线相交,三条直线在同一平面内,故正确,对于,三直线过同一点时,可不在同一平面内,故错误,故选:.4.如图所示的是平行四边形所在的平面,有下列表示方法:①平面;②平面;③平面;④平面;⑤;⑥平面.其中不正确的是A.④⑤ B.③⑤ C.③④⑤ D.②③④⑤【解析】如图所示的是平行四边形所在的平面,对于①,由平面的定义得:可以表示为平面,故①正确;对于②,平面可以用封闭图形有对角字母表示,可以表示为平面,故②正确;对于③,平面不能表示这个表面,故③错误;对于④,这个平面可以表示为平面,故④正确;对于⑤,平面可以用封闭图形有对角字母表示,可以表示为平面,但是不能表示为,故⑤错误;对于⑥,这个平面可以表示为平面,故⑥正确.故选:.5.下列结论错误的个数是(1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行;(2)若直线平面,,则过点且平行于直线的直线有无数条;(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行;(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.A.0 B.1 C.3 D.2【解析】对于(1),若一条直线和平面内一条直线平行,当该直线也在平面内时,那么这条直线和这个平面不平行,故(1)错误;对于(2),若直线平面,,则过点且平行于直线的直线只有一条,故(2)错误;对于(3),如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,当这两条直线平行时,这两个平面平行或相交,故(3)错误;对于(4),如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面,故(4)正确.所以错误的有3个.故选:.6.在正方体中,,分别为棱,的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【解析】根据题意,设正方体的棱长为1,连接,和,又由,分别为棱,的中点,则,故或其补角异面直线与所成角,在△中,,则,故异面直线与所成角为,其余弦值为;故选:.7.过直线外两点,作与平行的平面,则这样的平面A.不可能作出 B.只能作出一个 C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在【解析】过直线外两点作与平行的平面,如果两点所在的直线与已知直线相交,则这样的平面不存在;如果两点所在的直线与已知直线平行,则这样的平面有无数个;如果两点所在的直线与已知直线异面,则这样的平面只有一个.因此只有正确.故选:.8.如图是一正方体的表面展开图,和是两条面对角线,则在正方体中,直线与直线的位置关系为A.相交 B.平行 C.异面 D.重合【解析】根据题意,由正方体的表面展开图还原成正方体,如图,易得直线与异面,故选:.9.在长方体中,直线与平面的交点为,为线段的中点,则下列结论错误的是A.,,三点共线 B.,,,四点共面 C.,,,四点共面 D.,,,四点共面【解析】连接,,则,,,,四点共面,所以平面,因为,所以平面,又平面,所以在平面与平面的交线上,同理在平面与平面的交线上,所以,,三点共线.选项、、均正确,选项错误.故选:.10.下列说法正确的是A.空间中的任意三点可以确定一个平面 B.四边相等的四边形一定是菱形 C.两条相交直线可以确定一个平面 D.正四棱柱的侧面都是正方形【解析】对于,空间中的不共线的三点可以确定一个平面,故错误;对于,四边相等的四边形也可能是空间四边形,故错误;对于,两条相交直线可以确定一个平面,故正确;对于,正四棱柱的侧面都是矩形,故错误.故选:.11.下列条件中,能够确定一个平面的是A.两个点 B.三个点 C.一条直线和一个点 D.两条相交直线【解析】对于:两点确定一直线,故错误;对于:不在同一直线上的三点确定一个平面,故错误;对于:一条直线和不在直线上的一个点确定一个平面,故错误;对于:两条相交直线确定一个平面,故正确.故选:.12.图中,、、、分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在的棱的中点,则表示直线、是异面直线的图形有A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④【解析】在①中,、分别是所在棱的中点,,故①错误;在②中,直线、既不平行又不相交,是异面直线,故②正确;在③中,与平行且不相等,与相交,故③错误;在④中,直线、既不平行又不相交,是异面直线,故④正确.故选:.13.若和是异面直线,和是异面直线,则和的位置关系是A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面【解析】在长方体中,①若直线记为直线,直线记为直线,直线记为直线,则满足和是异面直线,和是异面直线,而和相交;②若直线记为直线,直线记为直线,直线记为直线,此时和平行;③若直线记为直线,直线记为直线,直线记为直线,此时和异面;故选:.14.在空间四边形的各边,,,上依次取点,,,,若、所在直线相交于点,则A.点必在直线上 B.点必在直线上 C.点必在平面外 D.点必在平面内【解析】如图:连接、、,、所在直线相交于点,且,平面,平面,平面,且平面,由平面平面,,故选:.15.对于平面外一直线,下列说法正确的是A.内的所有直线都与异面 B.内有无数条直线与垂直 C.内没有直线与相交 D.内有无数条直线与平行【解析】直线为平面外的直线,或与相交,当时,内的直线与平行或异面,当与相交时,内的直线与相交或异面.错误,内有无数条直线与垂直,正确.故选:.16.在以下四个图中,直线与直线平行的位置关系只能是A. B. C. D.【解析】选项中,平面,内的两直线异面,则与异面;选项中,平面,内的两直线异面,则与异面;选项中,平面,内的两直线异面,则与异面;选项中,平面,内的两直线相交,两相交直线可以求得一个平面,则与相交或平行,由图可知,与平行.故选:.17.设点为正方形的中心,为平面外一点,为等腰直角三角形,且,若是线段的中点,则A.,且直线、是相交直线 B.,且直线、是相交直线 C.,且直线、是异面直线 D.,且直线、是异面直线【解析】连接,如图,由题意,,,,由,,,分别为、的中点,则,,四边形是等腰梯形,,且直线、是相交直线.故选:.18.已知直线,,,若,异面,,则,的位置关系是A.异面 B.相交 C.平行或异面 D.相交或异面【解析】在正方体中,如图,和是异面直线,,,和是异面直线,,和是异面直线,直线,,,,异面,,则,的位置关系是相交或异面.故选:.19.若直线,是异面直线,点是空间中不在直线,上的任意一点,则A.不存在过点且与直线,都相交的直线 B.过点一定可以作一条直线与直线,都相交 C.过点可以作无数多条直线与直线,都相交 D.过点至多可以作一条直线与直线,都相交【解析】直线,是异面直线,点是空间中不在直线,上的任意一点,点是空间中不在直线,上的任意一点,设直线与点确定平面,由题意可知,直线与平面相交或平行,(1)若直线与平面相交,如图1,记,①若,则不存在过点且与直线,都相交的直线;②若与不平行,则直线即为过点且与直线,都相交的直线.(2)若直线与平面平行,如图2,则不存在过点且与,都相交的直线.综上,过点至多可以作一条直线与直线,都相交.故选:.20.如图,在直四棱柱中,下列结论正确的是A.与是两条相交直线 B.平面 C. D.,,,四点共面【解析】在直四棱柱中,由异面直线的判定定理可知,与是异面直线,故选项错误;因为,平面,平面,所以平面,故选项正确;由异面直线的判定定理可知,与是异面直线,故选项错误;由异面直线的判定定理可知,与是异面直线,故选项错误.故选:.二.多选题21.下列说法正确的是A.三点确定一个平面 B.三角形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 D.四边形一定是平面图形【解析】对于,不在同一直线上的三点确定一个平面,所以错误;对于,三角形的三个顶点不在同一条直线上,所以三角形是平面图形,选项正确;对于,梯形的一组对边平行,两条平行线确定一个平面,所以梯形是平面图形,选项正确;对于,四边形也可能是空间四边形,所以选项错误.故选:.22.如图,在空间四边形中,,分别为,的中点,,分别在,上,且,则A.平面 B.平面 C.平面 D.直线,,交于一点【解析】因为,所以,又,分别为,的中点,所以,且,则,易知平面,与为相交直线,即正确,,错误;因为为梯形,所以与必相交,设交点为,所以平面,平面,则是平面与平面的一个交点,所以,即直线,,交于一点,即正确.故选:.23.如图是一个正方体的平面展开图,在这个正方体中,以下四个命题中,正确的是A. B. C.与为异面直线 D.【解析】作出正方体的直观图,如图,由直观图可知与为互相垂直的异面直线,故错误;,故正确;与为异面直线,故正确;由正方体性质得平面,故,故正确.故选:.24.已知直线平面,直线平面,则直线,可能A.平行 B.异面 C.相交 D.垂直【解析】在正方体中,直线平面,直线平面,直线直线,且直线与直线垂直;直线平面,直线平面,直线直线;、的中点分别为,,直线平面,直线平面,直线与直线是异面直线.由直线平面,直线平面,得到直线,可能相交且垂直、平行或异面.故选:.25.若、为异面直线,直线与平行,则与的位置关系可以是A.相交 B.平行 C.异面 D.重合【解析】在正方体中,和是异面直线,,和是异面直线;和是异面直线,,和是相交直线,若、为异面直线,直线与平行,则与的位置关系是异面或相交.故选:.三.填空题26.不共线的三点确定个平面.(填数字)【解析】由平面的基本性质可知,不共线的三点唯一确定一个平面,故答案为:1.27.已知定直线,定点,则直线与点确定的平面有个(请填写个数).【解析】由平面的基本性质及推论可知,经过直线和直线外一点有且只有一个平面,定直线,定点,则直线与点确定的平面有1个,故答案为:1.28.正方体中,、分别是棱,的中点,则直线与的位置关系是.【解析】正方体中,、分别是棱,的中点,平面,平面,,直线与的位置关系是异面.故答案为:异面.29.在正方体中,与棱所在直线异面的棱有条.【解析】在正方体中,与棱所在直线异面的棱有:、、、,共4条.故答案为:4.30.已知、是异面直线,直线直线,则直线与直线的位置关系是.【解析】若,是异面直线,如图,则直线与直线的关系是相交或异面,不可能平行,否则若,又,则,与、是异面直线矛盾.故答案为:相交或异面.31.直线与直线为两条异面直线,已知直线,那么直线与直线的位置关系为.【解析】根据题意,直线与直线为两条异面直线,若直线,那么直线与直线可能异面或相交;如图,正方体中,和是异面直线,直线,则有和是异面直线,,则与相交,直线与为两条异面直线且直线平行于直线,则直线与直线的位置关系为相交或异面故答案为:异面或相交.32.已知空间直线,,且与是异面直线,那么与的位置关系是.【解析】如图所示①令直线为,直线为,直线为,直线为,当与是异面直线时,与是异面关系,②令直线为,直线为,直线为,直线为,当与是异面直线时,与是相交关系,故答案为:相交或异面.33.空间两个平面最多将空间分成部分.(填数字)【解析】两个平面的位置关系是平行与相交,若两个平面平行,则可将空间分成三部分,若两个平面相交,可将空间分成四部分,故答案为:4.34.与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是.【解析】与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是平行、相交或异面.如图:故答案为:平行、相交或异面.35.给出下列说法:①和直线都相交的两条直线在同一个平面内;②三条两两相交的直线一定在同一个平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两相交且不过同一点的四条直线共面.其中正确说法的序号是.【解析】和某一直线都相交的两条直线可以异面;三条两两相交的直线若交于同一点,则可以不共面;有三个不同公共点的两个平面可
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