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文档简介
4.4ω的最值范围问题【题型解读】【题型精讲】【题型一单调性有关的ω最值范围问题】例1(2023·重庆市育才中学高三阶段练习)已知函数相邻两个对称轴之间的距离为2π,若f(x)在(-m,m)上是增函数,则m的取值范围是(
)A.(0,] B.(0,] C.(0,] D.(0,]例2(2023·河南洛阳·模拟预测)已知函数的图象关于点对称,且在区间上是单调函数,则的值不可能是(
)A. B.4 C. D.【跟踪精练】1.(2023·江苏连云港市高三一模)函数在上是减函数,则的取值范围是(
)A. B. C. D.2.(2023·全国·模拟预测)已知函数,若在区间内单调递减,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【题型二对称性有关的ω最值范围问题】例3(2023·陕西省洛南中学模拟预测)已知函数在内有且仅有三条对称轴,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【跟踪精练】1.(2023·全国高三课时练习)已知函数,若且在区间上有最小值无最大值,则_______.2.(2023·重庆巴蜀中学高三月考)已知函数,若,,则(
)A.点不可能是的一个对称中心B.在上单调递减C.的最大值为D.的最小值为【题型三最值、值域有关的ω最值范围问题】例4(2023·天津高三月考)函数在内恰有两个最小值点,则的范围是(
)A. B.C. D.例5(2023·吉林高三期末)已知函数,,且在区间内有最小值无最大值,则(
)A. B.2 C. D.8【跟踪精练】1.(2023·江苏泰州·高三阶段练习))已知函数在区间内有唯一的最值,则的取值范围是___________.2.(2023·全国·专题练习)已知函数在(0,2]上有最大值和最小值,且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的,则的取值范围是___________.【题型四零点有关的ω最值范围问题】例6(2023·重庆·模拟预测)已知函数在上有且仅有个零点,则的取值范围是(
)A. B.C. D.例7(2023·河南商丘市高三模拟))若函数在区间上有且仅有个零点,则的取值范围为(
)A. B.C. D.【跟踪精练】1.(2023·上海高三模拟)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是(
)A. B. C. D.2.(2023·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测)已知在有且仅有6个实数根,则实数的取值范围为(
)A. B.C. D.【题型五综合性质有关的ω最值范围问题】例8(2023·湖南周南中学高三月考)(多选题)已知函数,则下列结论中正确的是(
)A.若ω=2,则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称B.若,且的最小值为,则ω=2C.若在[0,]上单调递增,则ω的取值范围为(0,3]D.若在[0,π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是例9(2023·天津·静海一中高三阶段练习)(多选题)设函数,且函数在上是单调的,则下列说法正确是(
)A.若是奇函数,则的最大值为3B.若,则的最大值为C.若恒成立,则的最大值为2D.若的图象关于点中心对称,则的最大值为【跟踪精练】1.(2023·湖南益阳高三月考)(多选题)已知函数,下面结论正确的是(
)A.若,是函数的两个不同的极值点,且的最小值为,则B.存在,使得往右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称C.若在上恰有6个零点,则的取值范围是D.若,则在上单调递增2.(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知函数(ω>0),若在上恰有两个零点,且在上单调递增,则ω的取值范围是________.4.4ω的最值范围问题【题型解读】【题型精讲】【题型一单调性有关的ω最值范围问题】例1(2023·重庆市育才中学高三阶段练习)已知函数相邻两个对称轴之间的距离为2π,若f(x)在(-m,m)上是增函数,则m的取值范围是(
)A.(0,] B.(0,] C.(0,] D.(0,]答案:B【解析】因为相邻两个对称轴之间的距离2π,则,即,则,则,由,得,所以在上是增函数,由得.故选:B.例2(2023·河南洛阳·模拟预测)已知函数的图象关于点对称,且在区间上是单调函数,则的值不可能是(
)A. B.4 C. D.答案:D分析:根据余弦型函数过对称点,代入可得,,再根据区间上是单调函数可得周期范围,从而得出即可.【详解】解:由已知,,则,,即,,又函数在区间上是单调函数,可知,即,解得,所以当时,,当时,,当时,,满足题意,即或4或.故选:D.【跟踪精练】1.(2023·江苏连云港市高三一模)函数在上是减函数,则的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:A【解析】因为函数在上是减函数,所以,,,解得,所以,解得,又,所以,所以的取值范围是.故选:A2.(2023·全国·模拟预测)已知函数,若在区间内单调递减,则的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】因为在区间内单调递减,所以,在区间内单调递增,由,,得,,所以的单调递增区间为,,依题意得,,所以,,所以,,由得,由得,所以且,所以或,当时,,又,所以,当时,.综上所述:.故选:C.【题型二对称性有关的ω最值范围问题】例3(2023·陕西省洛南中学模拟预测)已知函数在内有且仅有三条对称轴,则的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:B【解析】当时,,函数在内有且仅有三条对称轴,则有,解得,故选:B.【跟踪精练】1.(2023·全国高三课时练习)已知函数,若且在区间上有最小值无最大值,则_______.答案:4或10【解析】∵f(x)满足,∴是f(x)的一条对称轴,∴,∴,k∈Z,∵ω>0,∴.当时,,y=sinx图像如图:要使在区间上有最小值无最大值,则:或,此时ω=4或10满足条件;区间的长度为:,当时,f(x)最小正周期,则f(x)在既有最大值也有最小值,故不满足条件.综上,ω=4或10.故答案为:4或10.2.(2023·重庆巴蜀中学高三月考)已知函数,若,,则(
)A.点不可能是的一个对称中心B.在上单调递减C.的最大值为D.的最小值为答案:D【解析】解:,的周期.依题意可得,,则,即,又,所以,所以,所以点是的一个对称中心,A错误;当时,B错误;当时,取最小值,C错误,D正确;故选:D.【题型三最值、值域有关的ω最值范围问题】例4(2023·天津高三月考)函数在内恰有两个最小值点,则的范围是(
)A. B.C. D.答案:B【解析】当时,即时,函数有最小值,令时,有,,,,因为函数在内恰有两个最小值点,,所以有:,故选:B例5(2023·吉林高三期末)已知函数,,且在区间内有最小值无最大值,则(
)A. B.2 C. D.8答案:C【解析】,易知当时,函数在区间上取得最小值,所以,,所以,,又,所以,所以.故选:C.【跟踪精练】1.(2023·江苏泰州·高三阶段练习))已知函数在区间内有唯一的最值,则的取值范围是___________.答案:【解析】函数,由于,所以,根据正弦函数的图象,以及在区间内有且只有一个最值,所以且,所以.故的取值范围是.故答案为:.2.(2023·全国·专题练习)已知函数在(0,2]上有最大值和最小值,且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的,则的取值范围是___________.答案:【解析】易知时不满足题意,由Z,得Z,当时,第2个正最值点,解得,第3个正最值点,解得,故;当时,第2个正最值点,解得,第3个正最值点,解得,故.综上,的取值范围是.故答案为:【题型四零点有关的ω最值范围问题】例6(2023·重庆·模拟预测)已知函数在上有且仅有个零点,则的取值范围是(
)A. B.C. D.答案:B【解析】因为,当时,,因为函数在上有且仅有个零点,则,解得.故选:B.例7(2023·河南商丘市高三模拟))若函数在区间上有且仅有个零点,则的取值范围为(
)A. B.C. D.答案:A【解析】因为,当时,,由,可得,因为函数在区间上有且仅有个零点,则,解得,则,所以,,所以,.故选:A.【跟踪精练】1.(2023·上海高三模拟)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】解:依题意可得,因为,所以,要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点,又,的图象如下所示:则,解得,即.故选:C.2.(2023·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测)已知在有且仅有6个实数根,则实数的取值范围为(
)A. B.C. D.答案:D【解析】由,得,即.设,即在有且仅有6个实数根,因为,故只需,解得,故选:D.【题型五综合性质有关的ω最值范围问题】例8(2023·湖南周南中学高三月考)(多选题)已知函数,则下列结论中正确的是(
)A.若ω=2,则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称B.若,且的最小值为,则ω=2C.若在[0,]上单调递增,则ω的取值范围为(0,3]D.若在[0,π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是答案:ABD【解析】函数选项A:若,,将的图像向左平移个单位长度得函数的图像,所以A正确;选项B:若,则是函数的最大值点或最小值点,若的最小值为,则最小正周期是,所以,B正确;选项C:若在上单调递增,则,所以,C错误;选项D:设,当时,若在仅有3个零点,即在仅有3个零点则,所以,D正确,故选:ABD.例9(2023·天津·静海一中高三阶段练习)(多选题)设函数,且函数在上是单调的,则下列说法正确是(
)A.若是奇函数,则的最大值为3B.若,则的最大值为C.若恒成立,则的最大值为2D.若的图象关于点中心对称,则的最大值为答案:BCD【解析】对于A,若是奇函数,则,当时,.要使函数在上是单调的,则,∴,又,则的最大值为1,故A错误.对于B,∵,∴,或,.∵,∴,此时,当时,.要使函数在上是单调的,则,∴,又,∴,则的最大值为,故B正确.对于C,∵恒成立,∴.∵,∴,此时.∵,∴,要使函数在上是单调的,则,∴.又,∴,则的最大值为2,故C正确.对于D,的图象关于点中心对称,则,,则,.∵,∴,此时.当时,.要使函数在上是单调的,则,∴.又,∴,则的最大值为,故D正确.故选:BCD.【跟踪精练】1.(2023·湖南益阳高三月考)(多选题)已知函数,下面结论正确的是(
)A.若,是函数的两个不同的极值点,且的最小值为,则B.存在,使得往右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称C.若在上恰有6个零点,则的取值范围是D.若,则
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