北师大新版七年级下学期《5.2探索轴对称的性质》同步练习卷

北师大新版七年级下学期《5.2探索轴对称的性质》

同步练习卷

填空题（共50小题）

1.如图，矩形中，A2=2,BC=3,点E为AD上一点，且/ABE=30°,将△ABE

沿BE翻折，得到BE,连接CA'并延长，与AD相交于点F,则DF的长为.

2.如图，已知RtZXABC中，ZB=90°,ZA=60°,AC=2心4,点M、N分别在线段

AC,AB±,将△AMI沿直线MV折叠，使点A的对应点。恰好落在线段3c上，"

OCM为直角三角形时，折痕MN的长为.

3.如图，已知正方形A2C。的边长是4,点E是AB边上一动点，连接CE,过点8作BG

LCE于点G,点P是A2边上另一动点，则尸。+PG的最小值为.

4.如图，在Rt^ABC中，NC=90°,BC=2如,AC=2,点。是BC的中点，点£是边

AB上一动点，沿。E所在直线把△2OE翻折到△4OE的位置，B'。交A2于点?若

△AB'尸为直角三角形，则AE的长为

5.如图，将面积为32我的矩形ABC。沿对角线8。折叠，点A的对应点为点P,连接AP

交BC于点、E.若BE=啦,则AP的长为.

6.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,将菱形折叠，使点A恰好落在对角线2。上的

点G处（不与8、。重合），折痕为EF,若DG=2,BG=6,则BE的长为.

7.如图，等腰△A8C的底边BC=20,面积为120,点尸在边8c上，MBF=3FC,EG是

腰AC的垂直平分线，若点。在EG上运动，则△CDF周长的最小值为.

'E

8.如图，在菱形ABC。中，tanA=_l,M,N分别在边AD,BC上,将四边形AMN2沿MN

3

翻折，使AB的对应线段所经过顶点。，当跖，时，型的值为

CN

9.如图，在RtaABC中，ZACB=90°，BC=6,CD是斜边48上的中线，将△BCD沿

直线C。翻折至的位置，连接AE.DE//AC,计算AE的长度等于.

10.如图，在等边三角形ABC中，42=2/&根，点M为边BC的中点，点N为边AB上的

任意一点（不与点A,B重合），若点B关于直线MN的对称点B恰好落在等边三角形ABC

的边上，则BN的长为cm.

11.在△ABC中，ZC=90°,8c=3,AB=5,点。在△ABC的边上，且AZ）=1,WAABC

折叠，使点8落在点。处，折痕交边A8于点E,交另一边于点尸，则.

12.如图，在矩形纸片ABC。中，AB=2,AO=3,点E1是AB的中点，点厂是A。边上的

一个动点，将△入£尸沿EF所在直线翻折，得到EF,则A'C的长的最小值

13.在矩形纸片ABC。中，AD=S,AB=6,E是边8c上的点，将纸片沿AE折叠，使点8

落在点尸处，连接尸C,当△£人?为直角三角形时，BE的长为.

14.如图，将nABCO沿EF对折，使点A落在点C处，若NA=60°,AD=4,AB=6,则

AE的长为

D'

15.如图所示，正方形ABC。的边长为6,ZVIBE是等边三角形，点E在正方形A8CZ）内，

在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为.

5

16.如图，在RtZxABC中，ZA=90°,AB=AC,8C=J^1,点M,N分别是边8C,AB

上的动点，沿MN所在的直线折叠48,使点B的对应点B'始终落在边AC上，若

C为直角三角形，则8M的长为.

17.如图，已知AO〃BC,AB±BC,AB=3,点E为射线2C上一个动点，连接AE,将4

ABE沿AE折叠，点2落在点正处，过点3'作的垂线，分别交A。，BC于点M,

N.当点2,为线段MN的三等分点时，BE的长为.

18.如图，矩形ABC。中，AB=6,8C=8,点E是BC边上一点，连接AE,把沿AE

折叠，使点B落在点次处，当ACEB'为直角三角形时，BE的长为.

19.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,45=10,AC=8,E、尸分别为AB、AC上的点,

沿直线跖将N2折叠，使点2恰好落在AC上的。处，当△AZ3E恰好为直角三角形时,

BE的长为

20.如图，在△A8C中，ZACB=90°,AC=2,8C=4,E为边A8的中点，点D是BC

边上的动点，把△AC。沿AD翻折，点C落在C'处，若△AC'E是直角三角形，则CD

的长为.

21.如图，矩形A8C。中，AD=4,AB=7,点、E为DC上一动点、,△ADE沿AE折叠，点

。落在矩形A8CD内一点。'处，若ABCD'为等腰三角形，则。E的长为.

22.如图，在菱形ABC。中，ZDAB=45°,AB=4,点尸为线段AB上一动点，过点尸作

PE1AB交AD于点E,沿PE将/A折叠，点A的对称点为点F,连接EF、DF、CF,

当△C。尸为等腰三角形时，AP的长为.

23.如图，在四边形ABC。中，AB//CD,ZB=90°,AB=2,BC=4.尸为线段8C上的

一动点，且和点2,C不重合，连接B4,过点P作外交所在直线于点E,

将△PEC沿PE翻折至△PEG的位置，连接AG,若N3AG=90°,则线段BP的长

为.

24.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,48=5,AC=3,点。是BC上一动点，连结

AD,将△AC。沿AQ折叠，点C落在点C',连结C'D交AB于点E,连结8C'.当

ABC'。是直角三角形时，的长为.

25.如图，矩形ABC。中，AB=6,BC=8,点尸为BC边上的一个动点，把△AB歹沿AF

折叠.当点B的对应点次落在矩形A2C。的对称轴上时，则8尸的长为.

26.如图，已知△A8C中，ZB=90°,BC=3,AB=4,。是边A8上一点，DE//BC交

AC于点E,将△&£)£沿。E翻折得到DE,若封EC是直角三角形，则A。长

为.

27.如图，矩形A8CD中，AB=2,4。=4,点E在边3c上，把△OEC沿。E翻折后，点

C落在C'处.若△ABC'恰为等腰三角形，则CE的长为

28.已知在矩形ABC。中，AB=6,BC=10,沿着过矩形顶点的一条直线将折叠，使点

8的对应点夕落在矩形的边上，则折痕长为.

29.如图，在矩形ABC。中，42=6,2C=8,点E在边上（E不与2,C重合），连接

AE,把△ABE沿直线AE折叠，点3落在点9处，当为直角三角形时，则△CE8'

的周长为.

30.如图，在矩形中，AB：8c=3：5,点E是对角线3。上一动点（不与点8,D

重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A,B的对应点G,F分别在直线AD

与2C上，当△£）斯为直角三角形时，CN：BN的值为.

31.如图，等边三角形ABC中，A8=8,8O_LAC于点。，点E、尸分别是BC、ZJC上的动

点，沿所所在直线折叠△（?£/,使点C落在3。上的点C'处，当△BEC'是直角三角

形时，8C'的值为.

32.已知△ABC中，AC=2,NC=30°,点加为边AC中点，把△2CM沿中线3M对折后

与重叠部分的面积为原△ABC面积的工，则原△ABC的面积是.

4

33.如图，在RZXABC中，ZACB=90°,ZABC=6Q°,AB=4,点。是BC上一动点，

以为边在BC的右侧作等边△瓦汨，尸是。E的中点，连结AF,CF,则AP+CF的最

小值是_______

34.如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在8。边上的点E处.若BC=10,BE

=2,则AB2-AC2的值为.

35.如图，在锐角△ABC中，AB=5圾,ZBAC=45°,N84C的平分线交2C于点。，M,

N分别是A。，A8上的动点，则8M+MN的最小值是.

36.如图，点尸在平行四边形ABCD的边BC上，将沿直线AP翻折，点2恰好落在

边A。的垂直平分线上，如果AB=5,AD=8,tanB=_l,那么3P的长为.

37.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,8C=4,点。是边BC的中点，点E是

边AB上的任意一点（点E不与点3重合），沿。E翻折△OBE使点B落在点尸处，连接

AF,则线段AF长的最小值为

38.如图，矩形ABC。中，A3=4,AD=6,点E为AD中点，点尸为线段AB上一个动点,

连接EP,将沿PE折叠得到△■FPE,连接CE,CF,当△£（手为直角三角形时，

AP的长为.

39.如图，在矩形4BCD中，AB=5,8c=3,点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE

折叠，得到△AB'E.若V恰好落在射线CD上，则BE的长为

40.如图，在RtZXABC中，NC=90°,ZB=30°,AC=3,点。是BC的中点，点E是

边AB上一动点，沿QE所在直线把△BDE翻折到△夕的位置，B'。交A8于点R

若△A"尸为直角三角形，则AE的长为.

41.在RtZ\ABC中，BC=3,AC=4,点。，E是线段AB,AC上的两个动点（不与A,B,

C重合）沿DE翻折使得点A的对应点厂恰好落在直线BC上,当DF与RTAABC

的一条边垂直的时候，线段的长为

A

42.如图，正方形ABC。中，AB=4,点E是8c的四等分点，连接AE,将AABE沿AE

折叠，点B落在点尸处,则sinZC£F=.

43.如图，在矩形A2CZ）中，AB=5,A£>=9,点P为边上点，沿BP折叠△A8P,点A

的对应点为£,若点E到矩形两条较长边的距离之比为1：4,则AP的长为.

AD

B'--------1

44.如图，矩形ABC。中，A£>=5,AB=4,点E为。C上一动点，把△AOE沿AE折叠,

点。的对应点为。'，连接。，当C是直角三角形时，的长为.

45.如图，已知矩形纸片ABCD,4B=4,BC=10,M是的中点，点P沿折线84-A。

运动，以MP为折痕将矩形纸片向右翻折，使点B落在矩形的边上，则折痕MP的

46.如图，正方形48C。的边长是2,点E是C£>边的中点，点厂是边2C上不与点2,C

重合的一个动点，把NC沿直线所折叠，使点C落在点。处.当△AOC'为等腰三角

形时，PC的长为.

47.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(7,0),B(0,4),C(7,4),连接AC,8C得

到矩形A08C,点。在边上，将边沿。。折叠，点B的对应点为8',若点B'

到矩形较长两对边的距离之比为1：3,则.

48.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点E,尸分别为48,AC上一个

动点，连接EF,以为轴将△AEE折叠得到△£>£/,使点。落在8C上，当ABDE为

直角三角形时，8E的值为.

49.如图，在A8C中，AB=AC=642>ZBAC=90°,点。、E为8C边上的两点，分别

沿A。、AE折叠，B、C两点重合于点R若。E=5,则A。的长为.

50.已知，在中，ZC=90°,AC=15,8c=8,。为A8的中点，E点在边AC

上，将△BZ5E沿。E折叠得到△B1DE,若△SOE与△AZJE重叠部分面积为△ADE面积

的一半，则CE=

北师大新版七年级下学期《5.2探索轴对称的性质》2019

年同步练习卷

参考答案与试题解析

填空题（共50小题）

1.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点E为上一点，且NABE=30°,将△ABE

沿BE翻折，得到△&'BE,连接CA'并延长，与相交于点R则£＞尸的长为6-

2A/3_.

【分析】如图作A'”_LBC于H.由△CJDPSZ\A'HC,可得"■=一旦”延长构建方

CHA'H

程即可解决问题；

【解答】解：如图作A'H_L8C于H.

A豆FED

B项c

VZABC=90°,ZABE^ZEBA'=30°,

.'./A'BH=30°,

.•.A7H=1-BA'=1,BH=Jy['H=yf3,

2

:.CH=3-、后,

■:XCDfsXNHC,

•DF=CD

"CHh'H'

•DF=2

.'W丁

:卅=6-2如,

故答案为6-2M.

【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、相似三

角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问

题，属于中考常考题型.

2.如图，已知RtZkABC中，ZB=90°,NA=60°,4。=2/5+4,点、M、N分别在线段

AC、AB上，将沿直线MN折叠，使点A的对应点。恰好落在线段BC上，当A

0cM为直角三角形时，折痕MN的长为__组|正近_.

3

【分析】依据△OCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当NCZMf=90°时，△

COM是直角三角形；当/CMC=90°时，△CZJM是直角三角形，分别依据含30°角的

直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长.

【解答】解：分两种情况：

①如图，当NCZ)M=90°时，△CNW是直角三角形，

:在RtZXABC中，ZB=90°,ZA=60°,AC=2后4,

.•.NC=30°,AB=Lc=我+2,

2

由折叠可得，ZMDN=ZA=60°,

:.NBDN=30°,

:.BN=lj)N=l~AN,

22

:.BN=UB=M+2,

33

/.AN=2BN=2'J3+4,

3

•：/DNB=60°,

：.ZANM=ZDNM=60°,

/.ZAMN^60°,

:.AN=MN=2«+4；

3

②如图，当/。0。=90°时，△CAM是直角三角形,

由题可得，ZCDM^60°,ZA=ZMDN^60°,

：.ZBDN=6Q°,NBND=3Q°,

又•.,48=北+2,

：.AN=2,BN=北,

过N作NHL4M于H,则/ANH=30°,

：.AH=1AN=1,HN=yJs，

2

由折叠可得，/AMN=/DMN=45°,

4MNH是等腰直角三角形，

:.HM=HN=M，

:.MN=K

故答案为：2独+4或泥.

3

【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是

解题的关键.折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，

位置变化，对应边和对应角相等.

3.如图，已知正方形ABC。的边长是4,点£是AB边上一动点，连接CE,过点2作BG

LCE于点G,点尸是边上另一动点，则PD+PG的最小值为」旧-2_

【分析】作OC关于A8的对称点。'C,以8C中的O为圆心作半圆。，连。'。分

别交48及半圆。于P、G.将PD+PG转化为G找到最小值.

取点。关于直线4B的对称点.以8C中点。为圆心，。8为半径画半圆.

连接0。'交AB于点P,交半圆。于点G,连BG.连CG并延长交AB于点E.

由以上作图可知，8G_LEC于G.

PD+PG=PD'+PG=D'G

由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小.

,:D'C=4,0C=6

:'D0=V42+62=2A/13

：.D'G=2A/13-2

：.PD+PG的最小值为2Ji互-2

故答案为：2标-2

【点评】本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的

线段和最短.

4.如图，在中，NC=90°,8C=2«,AC=2,点。是BC的中点，点E是边

A3上一动点，沿DE所在直线把△瓦汨翻折到AB'OE的位置，B'D交AB于点F.若

AAB'歹为直角三角形，则AE的长为3或凶.

5—

【分析】利用三角函数的定义得到乙8=30°,AB=4,再利用折叠的性质得。B=OC=

如,EB'=EB,ZDB'E=/B=30°,设AE=尤，则2E=4-x,EB'=4-x,讨论：

当/AFB'=90°时，贝1]，8/=必0$30°=3,则EF=W-(4-x)=x-反，于是在

222

RtABzEF中利用EB'=2EP得到4-尤=2(x-3),解方程求出x得到此时AE的长；

2

若B'不落在C点处，作EH_LAB'于H,连接A。，如图，证明Rt^AZJB'^RtAADC

得到AB=AC=2,再计算出NEB'H=60：则4H=±(4-x),E7/=1(4-x),

22

接着利用勾股定理得到工(4-x)2+[1(4-尤)+2/=，，方程求出》得到此时AE的长.

42

【解答】解：VZC=90°,BC=2yf3,AC=2,

.'.tanB=也=—^—=2^,

BC2V33

；./8=30°,

：.AB=2AC=4,

•/点D是BC的中点，沿DE所在直线把翻折到AB'DE的位置，B'D交AB于

点、F

:.DB=DC=如,EB'=EB,ZDB'E=ZB=30°,

设AE=x,贝ij8E=4-x,EB'=4-x,

当NAF夕=90°时，

在RtZXB。尸中，cosB=里，

BD

.*.BF=A/3COS30°=-5-,

'.EF—--(4-x)=x-且

22

在RtZ\B'EE中，'：ZEB'F=30°,

：.EB'=2EF,

即4-x=2(x-旦)，解得x=3,此时AE为3；

2

若夕不落在C点处，作于H,连接A。，如图，

,:DC=DB',AD=AD,

J.RtAADB'^RtAADC,

：.AB'=AC=2,

VZAB'E=NAB'F+ZEB'尸=90°+30°=120°,

：.ZEB'H=60°,

在RtzXE/ffi'中，B'H=XB,£=工(4-尤)，EH^JSB'(4-x),

222

在RtAAEH中，,/EH2+AH2=AE1,

(4-x)2+[l-(4-x)+2]2=X2,解得X=JA,此时AE为更.

4255

综上所述，AE的长为3或旦.

5

故答案为3或凶.

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了含30度的直角三角形三

边的关系和勾股定理.

5.如图，将面积为32、历的矩形488沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P,连接AP

交BC于点、E.若BE=®,则AP的长为_上回

3-

【分析】设AB=Q,AD=b,则次?=32构建方程组求出〃、匕即可解决问题;

【解答】解：设AD=b,贝6=32加,

由△ABE's△DAB可得：巫=酗,

ABAD

2

/.cP—64,

.,.a=4,Z?=8A/2>

设外交8D于。.

5D22=12>

在RtZvlB。中，=^AB+AD

...QP=QA=AB"AD=竺工,

BD3

3

故答案为使企.

【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

6.如图，在菱形ABC。中，ZABC=120°,将菱形折叠，使点A恰好落在对角线2。上的

点G处（不与8、。重合），折痕为ER若DG=2,BG=6,则BE的长为2.8.

【分析】作于〃，根据折叠的性质得到EG=EA,根据菱形的性质、等边三角

形的判定定理得到△ABO为等边三角形，得到A8=8。，根据勾股定理列出方程，解方

程即可.

【解答】解：作EHA.BD于H,

由折叠的性质可知，EG=EA,

由题意得，BD=DG+BG=8,

:四边形ABC。是菱形,

：.AD=AB,ZABD^XCBD^LZABC^60°,

2

△AB。为等边三角形，

：.AB^BD^S,

设BE=x,贝ljEG=AE=S-x,

在RtZ^EHB中，BH=hc,EH=^ix,

22_

在RtZ\EHG中，EG2=EH1+GH2,即(8-x)2=(2^)2+(6-Xc)2

22

解得，尤=2.8,即BE=2.8,

【点评】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握

翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应

角相等是解题的关键.

7.如图，等腰△ABC的底边8C=20,面积为120,点尸在边2C上，且3尸=3%,EG是

腰AC的垂直平分线，若点。在EG上运动，则△CDC周长的最小值为点.

'E

【分析】如图作AH_LBC于H,连接AD由EG垂直平分线段AC,推出D4=DC,推

出。F+OC=AO+Z)E可得当A、D、尸共线时，。尸+OC的值最小，最小值就是线段AF

的长；

【解答】解：如图作AXL2C于〃，连接AD

4

TEG垂直平分线段AC,

：.DA=DC,

：.DF+DC=AD+DF,

・••当A、D、b共线时，。回+OC的值最小，最小值就是线段Ab的长，

•・・L・3C・AH=120,

2

：.AH=12,

9

：AB=AC,AH±BCf

:・BH=CH=10,

•:BF=3FC,

:・CF=FH=5,

,AF=VAH2+HF2=V122+52=13,

.•.Z)F+nC的最小值为13.

...△CO/周长的最小值为13+5=18；

故答案为18.

【点评】本题考查轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等

知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型.

8.如图，在菱形ABC。中，tanA=_l,M,N分别在边ADBC上,将四边形AMN2沿MN

3

翻折，使AB的对应线段£厂经过顶点。，当EBLA。时，现的值为2.

CN一「

【分析】首先延长NF与。C交于点”，进而利用翻折变换的性质得出NH_LZ)C,再利用

边角关系得出BN,CN的长进而得出答案.

【解答】解：延长NF与。C交于点反，

VZADF=90°,

：.ZA+ZFDH=9Q°,

VZDFN+ZDFH^180°,ZA+ZB=180°,NB=NDFN,

NA=/DFH,

：.ZFDH+ZDFH=90°,

：.NH±DC,

设。M=4左，DE=3k,EM=5k,

：.AD=9k^DC,DF=6k,

tanA=tanZDFH=

3

则sin/DFH=a,

5

：.DH=i-DF=2iji,

55

:.CH=9k-0=0,

55

*/cosC=cosA=^1=—,

NC5

：.CN=^-CH=lk,

3

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出CN的长是解

题关键.

9.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,BC=6,CD是斜边A2上的中线，将△BCD沿

直线C。翻折至△EC。的位置，连接AE.DE//AC,计算AE的长度等于—2如_.

【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长.

【解答】解：由题意可得,

DE=DB=CD=1AB,

2

ZDEC=ZDCE=ZDCB,

'：DE//AC,ZDCE^ZDCB,90°,

:./DEC=ZACE,

：.NDCE=ZACE^NDCB=30°,

ZACD=60°,ZCAD=60°,

△AC。是等边三角形，

：.AC^CD,

J.AC^DE,

'：AC//DE,AC=CD,

四边形ACDE是菱形，

•.•在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=6,ZB=30°,

*'"AC=2,^3，

：.AE=2M.

【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关

键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

10.如图，在等边三角形ABC中，A8=2小机，点M为边8c的中点，点N为边上的

任意一点（不与点A,B重合），若点B关于直线MN的对称点g恰好落在等边三角形ABC

的边上，则BN的长为—空或爽」

【分析】如图1,当点8关于直线MN的对称点8恰好落在等边三角形ABC的边AB上

时，于是得到MNLAB,,根据等边三角形的性质得到=AC=BC,ZABC^

60°,根据线段中点的定义得到如图2,当点3关于直线MN的对称

22

点8’恰好落在等边三角形A8C的边A,C上时，则MN_LB8',四边形8MN是菱形,

根据线段中点的定义即可得到结论.

【解答】解：如图1,当点8关于直线MN的对称点8恰好落在等边三角形ABC的边

上时，

贝!|MN_LAB,BN=BN',

,/AABC是等边三角形，

：.AB=AC^BC,NA3C=60°,

•..点M为边BC的中点，

BM=1-BC=IAB=-Js，

22

:.BN=LBM=^-,

22

如图2,当点8关于直线MN的对称点⑶恰好落在等边三角形ABC的边A,C上时，

则MN_L88'，四边形8MB'N是菱形，

•.•/A8C=60°,点〃为边8C的中点，

/.BN=BM=1_2C=工48=J5，

22

故答案为：亨或立.

【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论

是解题的关键.

11.在△ABC中，NC=90°,BC=3,AB=5,点。在△ABC的边上，且AD=1,将△ABC

折叠，使点B落在点D处，折痕交边AB于点E,交另一边于点F,则BE=2或型.

7-

【分析】分两种情况：①。在A8边上，易得BE=DE=LBD=2；②。在AC边上，根

2

据角平分线的性质可求

【解答】解：分两种情况：

①。在AB边上，如图1.

•..将△ABC折叠，使点8落在点。处，折痕交边AB于点E,交另一边于点F,

;.BE=DE=LBD,

2

VAB=5,AD=1,

；.BD=AB-AD=5-1=4,

：.BE=2；

②。在AC边上，如图2.

•.•在△ABC中，ZC=90°,BC=3,AB=5,

AAC=VAB2-BC2=4,

VA£>=1,

；。=3,

：.BC=CD=3,

•.•将△ABC折叠，使点8落在点。处，折痕交边AB于点E,交另一边于点尸,

；.C与"重合,

/BCE=ZDCE,

•BE=BC；

"AE而‘

•BE=3

5-BE丁

解得BE=1^-.

7

故答案为2或逝.

7

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了勾股定理以及角平分线

的性质.进行分类讨论是解题的关键.

12.如图，在矩形纸片A2CZ）中，AB=2,AD=3,点E是AB的中点，点尸是A。边上的

一个动点，将斯沿斯所在直线翻折，得到△&'跖,则A'C的长的最小值是_近5

-1

【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点A'在线段CE上时，A'

C的长取最小值，根据折叠的性质可知A'E=l,在Rt^BCE中利用勾股定理可求出CE

的长度，用CE-A'E即可求出结论.

【解答】解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点A'在线段CE上时，

A'C的长取最小值，如图所示.

根据折叠可知：A'E=AE=LAB=\.

2

在Rt/XBCE中，BE=LAB=\,8C=3,ZB=90°,

2

,C£=VBE2+BC2=

.♦.A'C的最小值=。£-1£=V10-1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出A'C取最

小值时点4的位置是解题的关键.

13.在矩形纸片ABCD中，AD=8,AB=6,E是边8C上的点，将纸片沿AE折叠，使点B

落在点F处，连接尸C,当△EFC为直角三角形时，8E的长为3或6.

【分析】由AD=8、A2=6结合矩形的性质可得出AC=10,△斯C为直角三角形分两种

情况：①当NEPC=90°时，可得出AE平分NBAC,根据角平分线的性质即可得出理=

6

8-BE,解之即可得出BE的长度；②当NFEC=90°时，可得出四边形为正方形,

10

根据正方形的性质即可得出BE的长度.

【解答】解：；AO=8,AB=6,四边形ABC。为矩形，

.•.BC=AD=8,ZB=90°,

•■-AC=VAB2+BC2=1°-

△EFC为直角三角形分两种情况：

①当/£7(=90°时，如图1所示.

VZAFE=ZB=90°,/EFC=9Q°,

点尸在对角线AC上，

平分/BAC,

・BE_ECpnBE—8-BE

ABAC610

：.BE=3；

②当NFEC=90°时，如图2所示.

VZFEC=90°,

：.ZFEB=90°,

ZAEF=ZBEA=45°,

・•・四边形ABE尸为正方形，

:・BE=AB=6.

综上所述：BE的长为3或6.

【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质以

及勾股定理，分NEPC=90°和/FEC=90°两种情况寻找BE的长度是解题的关键.

14.如图，将口48。沿EF对折，使点A落在点C处，若NA=60°,AD=4,AB=6,则

AE的长为11.

—4―

【分析】过点C作CGLAB的延长线于点G,易证△»CF^^ECB(ASA),从而可知

D'F=EB,CF=CE,设AE=x,在ACEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值.

【解答】解：过点C作CGUB的延长线于点G,

^ABCD中，

ZD=ZEBC,AD=BC,NA=NDCB,

由于口ABC。沿EF对折，

/.ZD'=/D=/EBC,ND'CE=NA=NDCB,

D'C=AD=BC,

：.AD'CF+ZFCE=ZFCE+ZECB,

AZD'CF=/ECB,

在△»C尸与△ECB中，

'NX=ZEBC

，D'C=BC

,/D‘CF=ZECB

：./\D'CF/AECB(ASA)

：,D'F=EB,CF=CE,

•：DF=D'F,

：.DF=EB,AE=CF

设AE=x,

贝I]£B=6-x,CF=x,

：BC=4,ZCBG=60°,

.•.26=n。=2,

2

由勾股定理可知：CG=2日，

；.EG=EB+BG=6-x+2=8-x

在△CEG中，

由勾股定理可知：（8-x）2+2=，，

解得：

4

故答案为：11

4

D'

【点评】本题考查平行四边形的综合问题，解题的关键是证明△£>'CF咨4ECB,然后

利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型.

15.如图所示，正方形A2CD的边长为6,△回£是等边三角形，点E在正方形ABC。内，

在对角线AC上有一点尸，使PD+PE的和最小，则这个最小值为6.

【分析】由于点8与。关于AC对称，所以连接8。，交AC于尸点.此时PD+PE的最

小值=BE,而BE是等边△ABE的边，BE=AB,由正方形48CD的边长为6,可求出A8

的长，从而得出结果.

【解答】解：设3E与AC交于点P,连接8。，

:点B与D关于AC对称，

：.PD=PB,

：.PD+PE=PB+PE=BE最〃、.

即尸在AC与BE的交点上时，PD+PE最小,为BE的长度;

,/正方形ABCD的边长为6,

.'.AB=6.

又•••△A8E是等边三角形，

；.BE=AB=6.

故所求最小值为6.

故答案为：6.

【点评】此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题.

16.如图，在Rt^ABC中，ZA=90°，AB=AC,BC=y[^l,点、M,N分别是边8C,AB

上的动点，沿所在的直线折叠使点B的对应点B'始终落在边AC上，若△MB'

C为直角三角形，则BM的长为—1叵与1

_2

，B'与A重合，M是的中点，于是得到结论;

②如图2,当/MB'C=90°,推出△CM夕是等腰直角三角形，得到,

列方程即可得到结论.

【解答】解：①如图1,

当/B'MC=90°,B'与A重合，〃是BC的中点,

BM=LBC=kJo+L；

222

②如图2,当NMB'C=90°,

VZA=90°,AB=AC,

AZC=45°,

：.^CMB'是等腰直角三角形，

：.CM=y/2MB',

:沿MN所在的直线折叠N8,使点B的对应点夕，

：.BM=B'M,

"：BC=yp2+1,

：.CM+BM=y[2BM+BM=1，

综上所述，若△MBC为直角三角形，则的长为上正+2•或1,

22

【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是

解题的关键.

17.如图，已知A£)〃8C,ABLBC,A8=3,点E为射线BC上一个动点，连接AE,将4

ABE沿AE折叠，点B落在点B'处，过点作的垂线，分别交A。，BC于点

N.当点次为线段MN的三等分点时，8E的长为_之画或必区_.

【分析】根据勾股定理，可得EB',根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股

定理，可得答案.

由翻折的性质，得

AB=AB',BE=B'E.

①当MB'=2,B'N=1时，设EN=x,得

B'"G+r

△B'ENsAAB'M,

EN=B'E即x_=4x2+l

PTAB，，7-3~

△2'ENsAAB'M,

EN=B'E即壬=夕+4

B'MAB，，T-3一，

解得/=/BE=B'E=^L+4=^1