新高考数学二轮复习专题3.1 导数的概念及其几何意义与运算【八大题型】（举一反三）（原卷版）

专题3.1导数的概念及其意义与运算【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1导数的定义及其应用】 2【题型2求（复合）函数的导数的方法】 3【题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）】 3【题型4求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 4【题型5已知切线（斜率）求参数】 4【题型6切线的条数问题】 5【题型7两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 5【题型8与切线有关的最值问题】 61、导数的几何意义与运算导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.【知识点1切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2复合函数的导数】1.复合函数的定义

一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).2.复合函数的求导法则

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.3.求复合函数导数的步骤第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；第四步：变量回代：把中间变量代回.【题型1导数的定义及其应用】【例1】（2023下·山东·高二校联考阶段练习）若limΔx→0f(−2+Δx)−f(−2−Δx)Δx=−2，则f′−2=（A．1 B．-1 C．2 D．-2【变式1-1】（2022·高二课时练习）设f(x)是可导函数，且limΔx→0f(x0−2Δx)−f(A．12【变式1-2】（2022·安徽合肥·合肥校考模拟预测）如图所示，连接棱长为2cm的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点B到水面的距离h以每秒1cm的速度匀速上升，设该容器内水的体积Vcm3与时间t(s)的函数关系是VtA． B．C． D．【变式1-3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）设函数fx在点x0处附近有定义，且fxA．f′x=a B．f′【题型2求（复合）函数的导数的方法】【例2】（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数f(x)=log21A．f′(x)=ln2x B．【变式2-1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）下列求导数运算错误的是（

）A．(3xC．cosxx【变式2-2】（2023上·湖北·高二期末）已知函数f(x)=f′(π4)cosA．26 B．24 C．2【变式2-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知函数fx=x+12+sinxA．2 B．−2 C．3 D．−3【题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）】【例3】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线fx=2xcosx在x=0处的切线为A．ln2 B．−ln【变式3-1】（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线y=kx+n与曲线y=lnx+1x相切，则A．−∞,14 B．4,+【变式3-2】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）函数y=fx在P1,f1处的切线如图所示，则fA．0 B．12 C．32【变式3-3】（2023·贵州·校联考模拟预测）设点P是函数fx=x3−12f′1A．0,3π4 B．0,π【题型4求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】【例4】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）曲线y=x3+1在点a,2A．y=3x+3 B．y=3x−1C．y=−3x−1 D．y=−3x−3【变式4-1】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）过原点且与函数fx=lnA．y=−x B．y=−2ex C．【变式4-2】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数fx=1ex−1，则曲线A．ex+y+1=0 B．C．ex+y−1=0 D．【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=x3−A．y=x B．y=2x C．y=3x D．y=4x【题型5已知切线（斜率）求参数】【例5】（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线y=x+ax相切，则实数a＝（A．0 B．12 C．45【变式5-1】（2023·河南郑州·统考二模）已知曲线y=xlnx+ae−x在点x=1处的切线方程为2x−y+b=0，则A．－1 B．－2 C．－3 D．0【变式5-2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数fx=ax2+blnx的图象在点1,fA．1 B．2 C．3 D．4【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知曲线y=axex+lnx在点1,aA．a=e，b=−2 B．a=eC．a=e−1，b=−2 D．a=【题型6切线的条数问题】【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=−x3+3x，则过点−3,−9A．0 B．1 C．2 D．3【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y=1−xex有两条过点Aa,0的切线，则A．−∞,−1C．−∞,−3【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）若过点P(m,0)与曲线f(x)=x+1ex相切的直线只有2条，则mA．(−∞,+C．(−1,3) D．(−【变式6-3】（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数f(x)=x3+(a−1)x2−x+b为R上的奇函数，过点A．1 B．2 C．3 D．不确定【题型7两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】【例7】（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线fx=ex与曲线A．e+2 B．3 C．e【变式7-1】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）函数fx=x−alnx在区间1,6的图象上存在两条相互垂直的切线，则A．1,6 B．1,3 C．3,4 D．4,6【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=lnx与gx的图象关于直线y=x对称，直线l与gA．π6 B．π4 C．π【变式7-3】（2023·海南·海南华侨中学校考一模）若对函数fx=2x−sinx的图象上任意一点处的切线l1，函数gx=mexA．−e2C．−1,0 D．0,1【题型8与切线有关的最值问题】【例8】（2023·广东广州·统考一模）若点P是曲线y=x2上一动点，则点P到直线y=2x−3的最小距离为【变式8-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=alnx,gx=【变式8-2】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数fx=lnx−xn+lnm+3m>1，若曲线【变式8-3】（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知函数fx=12sin2x+π3的图像在1．（2023·全国·统考高考真题）曲线y=exx+1在点1,A．y=e4x B．y=e2．（2021·全国·统考高考真题）若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则（A．eb<aC．0<a<eb3．（2022·全国·统考高考真题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，4．（2021·全国·统考高考真题）曲线y=2x−1x+