新高考数学二轮复习重难点02 一元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】（举一反三）（解析版）

重难点02一元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1

一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 2【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 4【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 6【题型4一元二次不等式在实数集上有解问题】 9【题型5一元二次不等式在某区间上有解问题】 11【题型6一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】 14一元二次不等式是高考数学的重要内容.其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力都起到很好的作用.一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用.【知识点1一元二次不等式恒成立、能成立问题】1．一元二次不等式恒成立、能成立问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：(1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立SKIPIF1<0a>f(x)max；若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解SKIPIF1<0a>f(x)min；若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解SKIPIF1<0a≤f(x)min.(2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立SKIPIF1<0a<f(x)min；若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解SKIPIF1<0a<f(x)max；若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解SKIPIF1<0a≥f(x)max.【题型1

\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在实数集上恒成立问题"一元二次不等式在实数集上恒成立问题】【例1】（2023·江西九江·校考模拟预测）无论x取何值时，不等式x2−2kx+4>0恒成立，则k的取值范围是（

）A．−∞,−2 B．−∞,−4【解题思路】由题知4k【解答过程】解：因为无论x取何值时，不等式x2所以，4k2−16<0所以，k的取值范围是−2,2故选：D.【变式1-1】（2023·山东潍坊·统考一模）“b∈−2,2”是“∀x∈R，x2−bx+1≥0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】由不等式x2−bx+1≥0恒成立，可求得【解答过程】因为∀x∈R，x2−bx+1≥0成立，则Δ=所以，“b∈−2,2”是“∀x∈R，x故选：A.【变式1-2】（2023上·福建三明·高一校联考期中）己知函数f(x)=−x(1)当a=5时，解不等式f(x)<0;(2)若不等式f(x)≤0的解集为R，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）不等式变形，使得二次项系数为正，确定相应方程的根后可得不等式的解；（2）由Δ≤0【解答过程】（1）当a=5时，fx<0⇔x解方程x2−5x+4=0得x1∴不等式的解集为{x∣x<1或x>4}；（2）若不等式f(x)≤0的解集是R，则Δ=解得−4≤a≤4，故实数a的取值范围是[−4,4]．【变式1-3】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数fx(1)若对∀x∈R，都有fx>−1成立，求实数(2)解关于x的不等式fx【解题思路】（1）化简不等式fx>−1，根据a2（2）化简不等式fx>0，对【解答过程】（1）对∀x∈R，都有fx>−1成立，即①a2②a2−2a>0Δ=2a−2综上，a∈−（2）fx=a①当a=0时，−2x+1>0，∴x<1②当a=2时，2x+1>0，∴x>−1③当0<a<2时，−1a<0<−④当a<0或a>2时，−1a−2<−1综上，当a=0时，原不等式解集为−∞当a=2时，原不等式解集为x∈−当0<a<2时，原不等式解集为−1当a<0或a>2时，原不等式解集为−【题型2\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在某区间上的恒成立问题"一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】【例2】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知当x>0时，不等式：x2−mx+16>0恒成立，则实数m的取值范围是（A．−8,8 B．−∞,8 C．−【解题思路】先由x2−mx+16>0得m<x+16x，由基本不等式得【解答过程】当x>0时，由x2−mx+16>0得因x>0，故x+16x≥2x×16因当x>0时，m<x+16x恒成立，得故选：C.【变式2-1】（2023上·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知∀x∈1,2，∀y∈2,3，y2−xy−mxA．4,+∞ B．0,+∞ C．6,+【解题思路】首先将不等式转化为关于yx【解答过程】因为x∈1,2，y∈2,3，则1x又y2−xy−mx2≤0则原题意等价于∀t∈1,3，m≥t2t2−t=t−122−所以实数m的取值范围是6,+∞故选：C.【变式2-2】（2023上·福建莆田·高一校考期中）设函数fx=x(1)若t=1，且对任意的x∈a,a+2，都有fx≤5(2)若对任意的x1,x2∈【解题思路】（1）根据fx≤5得到（2）将“对任意的x1，x2∈0,4，都有fx1−fx2≤8”转化为“M−m≤8【解答过程】（1）当t=1时，fx令fx≤5，解得所以a≥−1a+2≤3，解得−1≤a≤1所以a的取值范围为−1,1.（2）设函数fx在区间0,4上的最大值为M，最小值为m所以“对任意的x1，x2∈0,4，都有fx①当t≤0时，M=f4=18−8t，由M−m=18−8t−2=16−8t≤8，得t≥1，从而此时t∈∅；②当0<t≤2时，M=f4=18−8t，由M−m=18−8t−2−t2从而4−22③当2<t≤4时，M=f0=2，由M−m=2−2−t2从而2<t≤22④当t>4时，M=f0=2，由M−m=2−18−8t=8t−16≤8得从而此时t∈∅；综上可得，t的取值范围为4−22【变式2-3】（2023上·江苏盐城·高一校联考期中）设函数f(x)=mx(1)若对于x∈[−1,1],f(x)<−m+5恒成立，求m的取值范围；(2)若对于m∈[−2,2],f(x)<−m+5恒成立，求x的取值范围．【解题思路】（1）先转化为m<6x2−x+1对于x∈−1,1（2）题设条件可以转化为m(x2−x+1)−6<0对于m∈[−2,2]恒成立,将m=−2,m=2【解答过程】（1）由题意得，fx<−m+5在即mx2−x+1∵x2∴m<6x2∵函数y=x2−x+1在−1,∴ymax=1+1+1=3，∴6x2−x+1在x∈故m的取值范围为−∞（2）∵mx2−mx−1<−m+5∴m(x2−x+1)−6<0∴−2(解得−1<x<2,故x的取值范围为(−1,2).【题型3给定参数范围的\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在某区间上的恒成立问题"一元二次不等式恒成立问题】【例3】（2022下·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知当−1≤a≤1时，x2+a−4x+4−2a>0恒成立，则实数A．−∞,3C．−∞,1【解题思路】将x2+a−4x+4−2a>0化为x−2a+x2−4x+4>0，将a看成主元，令【解答过程】解：x2即x−2a+x2令fa=x−2当x=2时，fa=0，不符题意，故当x>2时，函数fa在a∈则fa解得x>3或x<2（舍去），当x<2时，函数fa在a∈则fa解得x<1或x>2（舍去），综上所述，实数x的取值范围是−∞故选：D.【变式3-1】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）若命题“∃−1≤a≤3，ax2−2a−1x+3−a<0A．x−1≤x≤4 B．C．x−1≤x≤0或【解题思路】由题意可得：命题“∀−1≤a≤3,ax【解答过程】由题意可得：命题“∀−1≤a≤3,ax即ax2−则−x2−2x−1+x+3≥03即实数x的取值范围为x−1≤x≤0故选：C.【变式3-2】（2023上·浙江宁波·高一校考阶段练习）（1）解关于x不等式ax（2）若对于−2≤m≤2，不等式mx2−mx−1<−m+5【解题思路】（1）分类讨论a的取值情况，结合二次不等式的解法即可得解；（2）将问题转化为m(x2−x+1)−6<0【解答过程】（1）因为ax所以ax2+(a−3)x−3>0①当a=0时，不等式化为−3x−3>0，解得x<−1；②当a≠0时，方程(ax−3)(x+1)=0的两根分别为x1当a>0时，不等式化为x−3ax+1当a<0时，不等式化为x−3当−1<3a<0，即a<−3当−1=3a，即a=−3时，不等式的解集为当3a<−1，即−3<a<0时，不等式的解集为综上所述：当a>0时，不等式的解集为(−∞当a=0时，不等式的解集为(−∞当−3<a<0时，不等式的解集为(3当a=−3时，不等式的解集为∅；当a<−3时，不等式的解集为(−1,3（2）因为对于−2≤m≤2，mx所以m(x2−x+1)−6<0则−2(x2−x+1)−6<0故x的取值范围为(−1,2).【变式3-3】（2023上·山东潍坊·高一校考阶段练习）已知关于x的不等式2x−1>m(x(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若不等式对于m∈−2,2恒成立，求实数x(3)若不等式对x∈[2,+∞)有解，求【解题思路】将2x−1>m(x2−1)（1）讨论m=0和m≠0时的情况；（2）f(m)=(x2−1)m−(2x−1)（3）讨论当m=0时，当m<0时，当m>0时，如何对x∈[2,+∞)有解，其中m<0，【解答过程】（1）原不等式等价于mx当m=0时，−2x+1<0，即x>1当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，则m<0且Δ=4−4m(1−m)<0综上，不存在实数m，使不等式恒成立.（2）设f(m)=(x当m∈−2,2时，f(m)<0当且仅当f(2)<0f(−2)<0，即2解得1−32<x<所以x的取值范围是(−1+（3）若不等式对x∈[2,+∞等价于x∈[2,+∞)时，令g(x)=mx当m=0时，−2x+1<0即x>12，此时显然在当m<0时，x∈[2,+∞)时，结合一元二次函数图象，当m>0时，y=g(x)对称轴为x=1m，∵x∈[2,+∞)时，∴结合一元二次函数图象，易得：g(2)<0或g2解得m<1或m≥1m<又∵m>0，∴0<m<1;综上所述，m的取值范围为(−∞【题型4\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在某区间上的恒成立问题"一元二次不等式在实数集上有解问题】【例4】（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若命题“∃x∈R，x2−2mx+m+2<0”为真命题，则实数m的取值范围是（A．m<−1或m>2 B．m≤−1或m≥2C．−1≤m≤2 D．−1<m<2【解题思路】根据判别式得到不等式，求出答案.【解答过程】“∃x∈R，x2故Δ=4m2−4m+2故选：A.【变式4-1】（2023上·高一课时练习）若存在x∈R，使得4x+mx2A．mm≤0 B．C．mm≥−2 D．【解题思路】由于x2−2x+3=(x−1)2+2>0【解答过程】因为x2所以原不等式等价于4x+m≥2(x即2x所以Δ=64−8(6−m)≥0，解得m≥−2即实数m的取值范围为mm≥−2故选：C.【变式4-2】（2022上·湖南·高一统考期末）设函数fx(1)若不等式fx<0的解集为1,2，求实数a，(2)若f−1=5，且存在x∈R，使fx【解题思路】（1）根据f(x)=ax2+(b−1)x+2<0（2）根据f(−1)=5，得到a−b=2，再由存在x∈R，ax2+(a−3)x+1<0成立，分a=0，a<0【解答过程】（1）解：因为f(x)=ax2+(b−1)x+2<0所以{a>01−ba（2）（2）因为f(−1)=5，所以a−b=2，因为存在x∈R，f(x)=ax即存在x∈R，ax当a=0时，x>1当a<0时，函数y=ax当a>0时，Δ=(a−3)2解得a>9或a<1，此时，a>9或0<a<1，综上：实数a的取值范围a>9或a<1.【变式4-3】（2022上·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知fx=x(1)若fx<0的解集是x−3<x<6，求a(2)若不等式fx<0有解，且解区间的长度不超过5个单位长度，求实数【解题思路】（1）由题意可得方程x2−ax−6a=0的两个根分别为−3和6，从而可求出a，进而可得不等式（2）由不等式fx<0有解，可得Δ=a2+24a>0，设方程x2−ax−6a=0的两个根为【解答过程】（1）因为fx<0的解集是所以方程x2−ax−6a=0的两个根分别为所以a=−3+6=3，所以fx由fx≥0，得x2−3x−18≥0，解得所以不等式fx≥0的解集（2）由fx<0有解，得Δ=a2设方程x2−ax−6a=0的两个根为x1+x由题意得x1所以(x所以a2+24a−25≤0，解得综上，−25≤a<−24或0<a≤1，即实数a的取值范围为[−25,−24)∪(0,1].【题型5\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在某区间上的恒成立问题"一元二次不等式在某区间上有解问题】【例5】（2023·河南·长葛市统考模拟预测）已知命题“∃x0∈−1,1，−xA．−∞,−2 B．−∞,4【解题思路】由题知x0∈−1,1【解答过程】解：因为命题“∃x0∈所以，命题“∃x0∈所以，x0∈−1,1因为，y=x所以，当x∈−1,1时，ymin=−2所以，x0∈−1,1时，a>x故选：C.【变式5-1】（2023上·福建·高一校联考期中）若至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3−3x−a>x2+2xA．−374,3 B．−3,13【解题思路】化简不等式3−3x−a>x【解答过程】依题意，至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3−3x−a即至少存在一个x<0，使得关于x的不等式−x画出y=−x2−2x+3x<0以及当y=3x−a与y=−x由y=3x−ay=−x2−2x+3消去Δ=25+4a+12=0,a=−当y=−3x+a与y=−x由y=−3x+ay=−x2−2x+3消去由Δ=1−4a+12=0解得a=134解得x=1当y=−3x+a过0,3时，a=3.结合图象可知a的取值范围是−37故选：A.【变式5-2】（2023上·重庆·高一校联考阶段练习）已知函数fx(1)解关于x的不等式fx(2)若不等式fx<0在x∈−2,0【解题思路】（1）由题意得对a的值进行分类讨论可得不等式的解集；（2）将条件转化为a<x+12xmax，【解答过程】（1）fx>a+1−x，即所以2x所以2x+1x−a①当a<−12时不等式的解为x<a或②当a=−12时不等式的解为③当a>−12时不等式的解为x<−1综上：原不等式的解集为当a<−12时xx<a当a=−12时当a>−12时xx>a（2）不等式fx<0在即2x2−2ax+1<0所以a<x+12x在所以a<x+1因为−x+所以x+1当且仅当−x=−12x，即所以a<−2【变式5-3】（2023上·山东淄博·高一校考期中）设函数fx(1)若命题：∃x∈R,fx(2)若存在x∈−4,0,fx【解题思路】（1）依题意可得∀x∈R,fx≤0是真命题，分（2）依题意参变分离可得存在x∈−4,0使得m≥−x−4x成立，则只需m≥−x−4【解答过程】（1）若命题：∃x∈R,fx即mx2−mx−1≤0当m=0时，−1<0，符合题意；当m≠0时，需满足m<0Δ=m综上所述，m的取值范围为−4,0.（2）若存在x∈−4,0即存在x∈−4,0使得m≥−x−4x成立，故只需m≥因为x∈−4,0，所以−x∈0,4，则当且仅当−x=4−x，即所以−x−4xmin【题型6一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】【例6】（2023上·浙江台州·高一校联考期中）已知函数fx=2x2(1)当a=1时，解不等式fx(2)若任意x>0，都有fx>gx(3)若∀x1∈0,1，∃x【解题思路】（1）作差后解一元二次不等式即可.（2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可；解法二：分离参数，构造函数k=x+15（3）把问题转化为fx【解答过程】（1）当a=1时，fx=2所以fx−gx=x2+（2）若对任意x>0，都有fx>gx成立，即x解法一：设ℎx=x2+1−ax+①当a−12≤0，即a≤1时，ℎx在0，+②当a−12>0，即a>1时，ℎx在0,所以ℎx>ℎa−12=−所以1<a<1+15综上，a<1+15解法二：不等式可化为a−1x<x2+154，即由题意，只须a−1<kxmin，当且仅当x=154x即x=15所以a−1<15，即a<1+（3）若对任意x1∈0,1，存在x即只需满足fxmin>ggx=x2−x+a2−31gxmin=g12=a①a4≤0即a≤0时，fx在0,1②0<a4<1即0<a<4时，fx在fxmin=fa4=7③a4≥1即a≥4时，fx在0,1递减，f所以a2−a−2>a2−8【变式6-1】（2022上·重庆渝中·高一校考阶段练习）若命题p：存在1≤x≤2,x2−x+3−a<0，命题q：二次函数y=x2(1)若命题p,q中至少有一个真命题，求a的取值范围？(2)对任意的−1≤a≤1，存在0≤b≤2，使得不等式x2−2ax+a≥|b−1|+|b−2|成立，求【解题思路】（1）考虑补集思想，先求出命题p,q均为假命题时a的取值范围，再求出其补集即可；（2）先得x2−2ax+a≥[b−1+b−2]【解答过程】（1）考虑补集思想，命题p,q中至少有一个真命题的反面为：命题p,q均为假命题，¬p:∀x∈1,2,x故a≤x¬q:∃x∈1,2,xx+1x≥2故2a≥x+故1≤a≤3，再取补集：a的取值范围为(−（2）先研究b，不等式x2−2ax+a≥b−1故：x2−2ax+a≥[b−1+再研究a，将a视为主元，则该不等式左边为关于a的一次函数，故只须在−1,1的值均满足条件即可，则x2−2x+1≥1x2+2x−1≥1，得故x的取值范围为(−∞【变式6-2】（2023下·浙江·高二统考学业考试）设二次函数f(x)=x(1)若c=b，且f(x)在[0,2]上的最大值为c+2，求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的实数b，都存在实数x0∈[1,2]，使得不等式|f(x【解题思路】（1）由c=b，则f(x)=x2+bx+b，由f(x)在[0,2]上的最大值为c+2，可得f(x)max（2）只需当x∈[1,2]时|f(x)x|=|x+cx+b|≥1.设g(x)=x+cx+b【解答过程】（1）若c=b，则f(x)=x当x∈[0,2]时f故f(2)=c+2，解得：b=−1，故f(x)=x（2）由题意得：存在x∈[1,2]，使|f(x)设g(x)=x+cx+b，x∈[1,2]，则只需g1、当c=0时，g(x)2、当c<0时，g(x)在[1,2]递增，故g(x)max−g3、当0<c≤1时，g(x)在[1,2]递增，故g(x)max−g4、当1<c<4时，g(x)在[1,c]上递减，在g若1<c≤2，则g(x)max−g若2<c<4，则g(x)max−g5、当c≥4时，g(x)在[1,2]上递减，故g(x)max−g综上：c≤−2或c≥6.【变式6-3】（2023上·天津北辰·高一校考阶段练习）已知函数y1=x+m和（1）若c=2−a，关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是x−1<x<3.求实数（2）若c=2−a，b=2，a≥0，解关于x的不等式ax（3）若a=1，b=−m，c=m22+2m−3，对∀x1∈x0≤x≤1，总∃x2∈x1≤x≤2，使得y1【解题思路】(1)由一元二次方程与一元二次不等式的解集的关系求a，b，(2)根据一元二次不等式的解法求解不等式ax2+bx+c>0；（3）根据不等式恒成立问题和存在性问题的处理方法转化条件∀x1∈x【解答过程】(1)∵

关于x的不等式ax2+bx+c>0∴

−1和3是方程ax∴

−1+3=−ba，−1×3=c∴

a=−1，b=2，c=3，(2)∵

c=2−a，b=2，∴

不等式ax2+bx+c>0∴

(ax+2−a)(x+1)>0，当a=0时，原不等式可化为x+1>0∴

x>−1,当0<a<1时，方程(ax+2−a)(x+1)=0的解为−1和a−2a不等式(ax+2−a)(x+1)>0的解集为(−∞,a−2当a=1时，不等式(ax+2−a)(x+1)>0可化为(x+1)的解集为(−∞,−1)∪(−1,+∞)，当a>1时，方程(ax+2−a)(x+1)=0的解为−1和a−2a不等式(ax+2−a)(x+1)>0的解集为(−∞,−1)∪(a−2∴

当a=0时，不等式ax2+bx+c>0当0<a<1时，不等式ax2+bx+c>0当a=1时，不等式ax2+bx+c>0当a>1时，不等式ax2+bx+c>0(3)∵

对∀x1∈x0≤x≤1∴

[y又y1=x+m在[0,1]上的最小值为∵a=1，b=−m，c=m∴

y∴当m≤2