新高考数学二轮复习培优专题训练专题18 圆锥曲线的综合应用（解答题）（解析版）

专题18圆锥曲线的综合应用（解答题）1、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率是SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点分别为SKIPIF1<0，证明：线段SKIPIF1<0的中点为定点．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见详解【详解】（1）由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0.（2）由题意可知：直线SKIPIF1<0的斜率存在，设SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，消去y得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,同理可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以线段SKIPIF1<0的中点是定点SKIPIF1<0.

2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点P．证明:点SKIPIF1<0在定直线上.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析.【详解】（1）设双曲线方程为SKIPIF1<0，由焦点坐标可知SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线方程为SKIPIF1<0.（2）由(1)可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，显然直线的斜率不为0，所以设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，

直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的方程可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，据此可得点SKIPIF1<0在定直线SKIPIF1<0上运动.3、【2022年全国甲卷】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点Dp,0，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．【解析】(1)抛物线的准线为x=−p2，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为此时|MF|=p+p所以抛物线C的方程为y2(2)设M(y12由{x=my+1y2=4x可得由斜率公式可得kMN=y直线MD:x=x1−2Δ>0,y1y3所以k又因为直线MN、AB的倾斜角分别为α,β，所以kAB若要使α−β最大，则β∈(0,π设kMN=2k当且仅当1k=2k即所以当α−β最大时，kAB=2代入抛物线方程可得y2Δ>0,y3所以直线AB:x=24、【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A0,−2(1)求E的方程；(2)设过点P1,−2的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH【解析】(1)解：设椭圆E的方程为mx2+n则4n=194m+n=1，解得m=所以椭圆E的方程为：y2(2)A(0,−2),B(32,−1)①若过点P(1,−2)的直线斜率不存在，直线x=1.代入x2可得M(1,263)，N(1,−2T(6+3,263)，由y=(2−263②若过点P(1,−2)的直线斜率存在，设kx−y−(k+2)=0,M(x联立kx−y−(k+2)=0x23可得x1+x且x联立y=y1可求得此时HN:y−y将(0,−2)，代入整理得2(x将(∗)代入，得24k+12显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,−2).【点睛】

5、【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求【解析】(1)因为点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，Px联立y=kx+mx22所以，x1+x所以由kAP+k即x1即2kx所以2k×2化简得，8k2+4k−4+4m所以k=−1或m=1−2k，当m=1−2k时，直线l:y=kx+m=kx−2+1过点故k=−1．(2)不妨设直线PA,PB的倾斜角为α,βα<β，因为kAP+因为tan∠PAQ=22，所以tanβ−α即2tan2α−于是，直线PA:y=2x−2+1联立y=2x−2+1因为方程有一个根为2，所以xP=10−423同理可得，xQ=10+423所以PQ:x+y−53=0点A到直线PQ的距离d=2+1−故△PAQ的面积为12×163×223=(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点Px1,y1,Qx2,y2在C上，且x1>①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解析】(1)右焦点为F(2,0)，∴c=2,∵渐近线方程为y=±3x，∴ba=3，∴b=3a，∴c∴C的方程为：x2(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x1总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x−2),则条件①M在AB上，等价于y0两渐近线的方程合并为3x联立消去y并化简整理得：k设A(x3,y3设M(x则条件③|AM|=|BM|等价于x0移项并利用平方差公式整理得：x32x0−即x0由题意知直线PM的斜率为−3,直线QM的斜率为3∴由y1∴y1所以直线PQ的斜率m=y直线PM:y=−3x−x代入双曲线的方程3x2−得：y0解得P的横坐标：x1同理：x2∴x∴m=3∴条件②PQ//AB等价于m=k⇔ky综上所述：条件①M在AB上，等价于ky条件②PQ//AB等价于ky条件③|AM|=|BM|等价于x0选①②推③:由①②解得：x0=2选①③推②：由①③解得：x0=2∴ky0=3选②③推①：由②③解得：x0=2k2k∴ky0=题型一圆锥曲线中的最值问题1-1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E：SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0，且经过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点SKIPIF1<0作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求SKIPIF1<0的最大值．【分析】（1）由待定系数法求解析式；（2）设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出SKIPIF1<0，进而讨论最值.【详解】（1）由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即椭圆方程为SKIPIF1<0；（2）当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0不妨设SKIPIF1<0在x轴上方，则SKIPIF1<0在x轴下方．椭圆在x轴上方对应方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则A处切线斜率为SKIPIF1<0，得切线方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.同理可得B处的切线方程为SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入①得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值是2．另解：当直线l的斜率存在时，设l：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆在x轴上方的部分方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则过SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得过SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，为2．1-2、（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别SKIPIF1<0、SKIPIF1<0焦距为2，且与双曲线SKIPIF1<0共顶点．P为椭圆C上一点，直线SKIPIF1<0交椭圆C于另一点Q．(1)求椭圆C的方程；(2)若点P的坐标为SKIPIF1<0，求过P、Q、SKIPIF1<0三点的圆的方程；(3)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【分析】（1）由焦距为2得到SKIPIF1<0，再由双曲线的顶点求出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，椭圆方程；（2）求出SKIPIF1<0的方程，与椭圆方程联立后得到点Q的坐标，待定系数法求出圆的方程；（3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由向量共线得到SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0两点坐标代入椭圆方程中，求出SKIPIF1<0，从而表达出SKIPIF1<0，结合基本不等式求出最值.【详解】（1）双曲线SKIPIF1<0的顶点坐标为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故椭圆的方程为SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得点Q的坐标为SKIPIF1<0．设过P，Q，SKIPIF1<0三点的圆为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆的方程为SKIPIF1<0；（3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，取等号．SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<01-3、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且椭圆的长轴长为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据已知条件可得出SKIPIF1<0的值，将点SKIPIF1<0的坐标代入椭圆SKIPIF1<0的方程，可得出SKIPIF1<0，即可得出椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）分析可知直线SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0轴重合，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，将直线SKIPIF1<0的方程与椭圆SKIPIF1<0的方程联立，列出韦达定理，写出直线SKIPIF1<0的方程，可求得点SKIPIF1<0的坐标，利用三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得SKIPIF1<0的取值范围.【详解】（1）解：因为椭圆SKIPIF1<0的长轴长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0的坐标代入椭圆SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）解：若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴重合，则SKIPIF1<0不存在，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，不合乎题意，所以，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入直线SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.题型二圆锥曲线中的定点问题2-1、（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，过左焦点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点.当SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为3.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)证明：以SKIPIF1<0为直径的圆经过定点.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)见解析【分析】（1）根据题意，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而求解；（2）设SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立直线和双曲线方程组，可得SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0，由对称性知以SKIPIF1<0为直径的圆必过SKIPIF1<0轴上的定点，进而得到SKIPIF1<0，进而求解.【详解】（1）当SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0两点的横坐标均为SKIPIF1<0，代入双曲线方程，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由题意，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0双曲线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0；（2）方法一：设SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由对称性知以SKIPIF1<0为直径的圆必过SKIPIF1<0轴上的定点，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为直径的圆经过定点SKIPIF1<0；方法二：设SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由对称性知以SKIPIF1<0为直径的圆必过SKIPIF1<0轴上的定点.设以SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，即以SKIPIF1<0为直径的圆经过定点SKIPIF1<0.2-2、（2023·山西·统考一模）双曲线SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，证明直线SKIPIF1<0过定点.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)见解析【分析】(1)根据双曲线过点SKIPIF1<0和焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0列出方程组，解之即可；(2)设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，由题意直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的坐标，再求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点所在的直线方程即可求解.【详解】（1）由双曲线SKIPIF1<0可得渐近线为SKIPIF1<0，不妨取渐近线SKIPIF1<0即SKIPIF1<0由焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由题意得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，从而双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，由题意可知：直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0与双曲线方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0与双曲线方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0.题型三圆锥曲线中的定值问题3-1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三个点在椭圆SKIPIF1<0，椭圆外一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0为坐标原点）.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)证明：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0斜率之积为定值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)证明见解析【分析】（1）设SKIPIF1<0，根据向量关系用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，代入椭圆方程即可求解；（2）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，代入斜率公式即可求解.【详解】（1）设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在椭圆上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是定值.3-2、（2022·山东青岛·高三期末）已知SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)若点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，原点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，证明：SKIPIF1<0的面积为定值.【解析】(1)由椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，将SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0②，①②联立解得SKIPIF1<0，②故椭圆的标准方程为SKIPIF1<0.(2)证明：设SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0斜率不存在时，即SKIPIF1<0，由原点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，可知SKIPIF1<0故可得此时有SKIPIF1<0，该点在椭圆上，则SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，则此时SKIPIF1<0;当直线SKIPIF1<0斜率存在时，不妨设SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，则联立SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，且需满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以y1由原点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心知，x0=−(x1+x2),y故SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，代入到SKIPIF1<0中，化简得：(8km1+4k又原点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，故SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离的3倍，所以d=3|m|1+而|P=1+=1+k2因此S△=63综合上述可知：SKIPIF1<0的面积为定值.题型四圆锥曲线中的角度问题4-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）设抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，点SKIPIF1<0，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)设直线SKIPIF1<0与C的另一个交点分别为A，B，记直线SKIPIF1<0的倾斜角分别为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0取得最大值时，求直线AB的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）由抛物线的定义可得SKIPIF1<0，即可得解；（2）法一：设点的坐标及直线SKIPIF1<0，由韦达定理及斜率公式可得SKIPIF1<0，再由差角的正切公式及基本不等式可得SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，结合韦达定理可解.【详解】（1）抛物线的准线为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以抛物线C的方程为SKIPIF1<0；（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式设SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由斜率公式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，代入抛物线方程可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因为直线MN、AB的倾斜角分别为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若要使SKIPIF1<0最大，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，等号成立，所以当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，代入抛物线方程可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0.4-2、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线SKIPIF1<0的实轴长为4，左､右顶点分别为SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的右支分别交于SKIPIF1<0两点，其中点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方.当SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0(1)设直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）法一：根据实轴长，求得a值，根据题意，求得SKIPIF1<0，可得b值，即可得曲线C方程，设直线方程为SKIPIF1<0，与双曲线联立，根据韦达定理，可得SKIPIF1<0表达式，代入SKIPIF1<0，化简整理，即可得答案.法二：由题意，求得a，b的值，即可得曲线C方程，设SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，与双曲线联立，根据韦达定理，可得SKIPIF1<0表达式，代入SKIPIF1<0，化简整理，即可得答案.（2）法一：因为SKIPIF1<0，根据二倍角的正切公式，结合SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，化简计算，可得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0方程，与曲线C联立，可得M点坐标，即可得直线SKIPIF1<0的方程，根据面积公式，即可得答案.法二：设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，结合二倍角正切公式，可得SKIPIF1<0的值，进而可得直线SKIPIF1<0方程，与曲线C联立，可得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，代入面积公式，即可得答案.【详解】（1）法一：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0显然直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直，设其方程为SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.法二：由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）法一：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，（※）将SKIPIF1<0代入（※）得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.法二：设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，同理联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.题型五圆锥曲线中的探索性问题5-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率是SKIPIF1<0，P为椭圆上的动点.当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0（1）求椭圆的方程：（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有SKIPIF1<0，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）存在，SKIPIF1<0【分析】（1）根据余弦定理和基本不等式确定点P为椭圆短轴端点时，SKIPIF1<0取最大值，再根据三角形面积及SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得到答案；（2）对直线的斜率分存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用向量数量积的坐标运算及韦达定理可得SKIPIF1<0，即可得到答案；【详解】（1）依题意可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由余弦定理可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0（即P为椭圆短轴端点）时等号成立，且SKIPIF1<0取最大值；此时SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0，同时SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0和SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0.（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，原点O到直线1的距离为d，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以定圆C的方程是SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0时，存在定圆C始终与直线l相切，其方程是SKIPIF1<0.5-2、（2023·安徽·统考一模）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的“姊妺”圆锥曲线，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的离心率，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左､右顶点.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)设过点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0交双曲线SKIPIF1<0右支于SKIPIF1<0两点，若直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0.（i）试探究SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的比值SKIPIF1<0是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)（i）SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0；（ii）SKIPIF1<0；【分析】（1）根据“姊妺”圆锥曲线的定义设出双曲线方程SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0求得参数b的值，即得答案.（2）（i）设SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，结合SKIPIF1<0的表达式，化简即可得出结论；（ii）设直线SKIPIF1<0，代入双曲线方程，根据韦达定理可解得SKIPIF1<0，结合A在双曲线右支，可得SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0的范围，同理求得SKIPIF1<0的范围，结合二次函数性质，即可求得答案.【详解】（1）由题意可设双曲线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）（i）设SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消元得SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；或由韦达定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的比值为定值SKIPIF1<0.（ii）设直线SKIPIF1<0，代入双曲线方程并整理得SKIPIF1<0，由于点SKIPIF1<0为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为SKIPIF1<0，.由韦达定理得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因为点A在双曲线的右支上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，由（i）中结论可知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，其图象对称轴为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.另解：由于双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，如图，过点SKIPIF1<0作两渐近线的平行线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，由于点A在双曲线SKIPIF1<0的右支上，所以直线SKIPIF1<0介于直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间（含SKIPIF1<0轴，不含直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0.同理，过点SKIPIF1<0作两渐近线的平行线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，由于点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的右支上，所以直线SKIPIF1<0介于直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间（不含SKIPIF1<0轴，不含直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0.由（i）中结论可知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<01、（2023·安徽安庆·校考一模）已知椭圆SKIPIF1<0的焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0.（1）求椭圆的标准方程；（2）点SKIPIF1<0在椭圆上，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的大小.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【分析】(1)由焦点和顶点坐标可得c和b的值，结合SKIPIF1<0得到a,从而得到椭圆方程；（2）由点SKIPIF1<0在椭圆上和椭圆定义，得到SKIPIF1<0，然后利用余弦定理计算即可.【详解】（1）由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴椭圆的标准方程为SKIPIF1<0（2）点SKIPIF1<0在椭圆上∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<02、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知双曲线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的右顶点，直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于不同于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若以SKIPIF1<0为直径的圆经过点SKIPIF1<0且SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，证明：存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值.【分析】（1）由已知可设，双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，根据条件列出a，c关系式，解出代入方程即可；（2）对直线的斜率能否为0进行讨论.斜率不为0时，设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立直线与椭圆的方程，有垂直关系时，在圆锥曲线中常用向量法，化简得到m，k的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即可.【详解】（1）设双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为双曲线SKIPIF1