新高考数学二轮复习培优专题训练专题10 导数的综合运用（解析版）

专题10导数的综合运用1、【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex【答案】1【解析】解：f'因为x1,x所以函数fx在−∞,x1所以当x∈−∞,x1∪x若a>1时，当x<0时，2lna⋅a故a>1不符合题意，若0<a<1时，则方程2lna⋅a即方程lna⋅ax即函数y=lna⋅a∵0<a<1,∴函数y=a又∵lna<0,∴y=lna⋅ax的图象由指数函数设过原点且与函数y=gx的图象相切的直线的切点为x则切线的斜率为g'故切线方程为y−ln则有−lna⋅a则切线的斜率为ln2因为函数y=lna⋅a所以eln2a<又0<a<1，所以1e综上所述，a的范围为1e2、【2021年新高考2卷】已知函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则SKIPIF1<0取值范围是_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<03、（2023年新课标全国Ⅰ卷）1．已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【详解】（1）因为SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；综上：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.（2）方法一：由（1）得，SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，证毕.方法二：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，证毕.4、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（1）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（2）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点，求a的取值范围．【答案】（1）证明见详解（2）SKIPIF1<0【详解】（1）构建SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；构建SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，构建SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；综上所述：SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在定义域内单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点，不合题意，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在定义域内为偶函数，由题意可得：SKIPIF1<0，（i）当SKIPIF1<0时，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，结合偶函数的对称性可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点，不合题意；（ⅱ）当SKIPIF1<0时，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，构建SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内存在唯一的零点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，结合偶函数的对称性可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点，符合题意；综上所述：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故a的取值范围为SKIPIF1<05、（2023年全国乙卷数学（理））8．已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)存在SKIPIF1<0满足题意，理由见解析.(3)SKIPIF1<0.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，据此可得SKIPIF1<0，函数在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）由函数的解析式可得SKIPIF1<0，函数的定义域满足SKIPIF1<0，即函数的定义域为SKIPIF1<0，定义域关于直线SKIPIF1<0对称，由题意可得SKIPIF1<0，由对称性可知SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，经检验SKIPIF1<0满足题意，故SKIPIF1<0.即存在SKIPIF1<0满足题意.（3）由函数的解析式可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0存在极值点，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在变号零点;令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0存在极值点，等价于SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在变号零点，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上无零点，不合题意;当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上无零点，不符合题意；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在定义域内单调递增，SKIPIF1<0，据此可得SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0(取等条件为SKIPIF1<0)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且注意到SKIPIF1<0，根据零点存在性定理可知:SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在唯一零点SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减，注意到SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数SKIPIF1<0得取值范围是SKIPIF1<0.6、【2022年全国甲卷】已知函数fx(1)若fx≥0，求(2)证明：若fx有两个零点x1,【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞f'(x)=(令f(x)=0,得x=1当x∈(0,1),f当x∈(1,+∞),f若f(x)≥0,则e+1−a≥0,即所以a的取值范围为(−(2)由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1不妨设x要证x1x因为x1,因为f(x1即证e即证e下面证明x>1时，e设g(x)=e则g=(1−设φ(x)=所以φ(x)>φ(1)=e,而所以exx所以g(x)在(1,+∞即g(x)>g(1)=0,所以e令ℎ(x)=ℎ所以ℎ(x)在(1,+∞即ℎ(x)<ℎ(1)=0,所以lnx−综上,exx−x7、【2022年全国乙卷】已知函数f(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)若fx在区间−1,0,0,+【解析】(1)f(x)的定义域为(−1,+当a=1时,f(x)=ln(1+x)+xex所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x(2)f(x)=设g(x)=1°若a>0,当x∈(−1,0),g(x)=e所以f(x)在(−1,0)上单调递增,f(x)<f(0)=0故f(x)在(−1,0)上没有零点,不合题意2°若−1⩽a⩽0,当x∈(0,+∞所以g(x)在(0,+∞)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a⩾0所以f(x)在(0,+∞)故f(x)在(0,+∞3°若(1)当x∈(0,+∞),则g'(x)=ex所以存在m∈(0,1),使得g(m)=0,即f当x∈(0,m),f当x∈(m,+∞所以当x∈(0,m),f(x)<f(0)=0当x→+所以f(x)在(m,+∞又(0,m)没有零点,即f(x)在(0,+∞(2)当x∈(−1,0),g(x)=设ℎ(x)=所以g'(x)在(−1,0)所以存在n∈(−1,0),使得g当x∈(−1,n),g当x∈(n,0),g'又g(−1)=所以存在t∈(−1,n),使得g(t)=0,即f当x∈(−1,t),f(x)单调递增,当x∈(t,0),f(x)单调递减有x→−1,f(x)→−而f(0)=0,所以当x∈(t,0),f(x)>0所以f(x)在(−1,t)上有唯一零点,(t,0)上无零点即f(x)在(−1,0)上有唯一零点所以a<−1,符合题意所以若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a题组一、函数的零点、极值点的综合性问题1-1、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）设函数fx=xlnA．不等式gx>0的解集为B．函数在0,e单调递增，在e,+C．当x∈1e,1D．若函数Fx=f【答案】ACD【解析】由题意得f'(x)=对于A：由g(x)=lnx+1x>0，可得lnx>−1对于B：g'(x)=1x⋅x−(所以当时，g'(x)>0，函数为增函数，当x∈(1,+∞)时，g'对于C：当x∈1e,1时，若f所以xlnx−ln令ℎ(x)=x则ℎ'ℎ″当x∈1e,1时，ℎ又ℎ'(1)=0+1−1=0，所以ℎ'所以ℎ(x)=x又ℎ(x)max=ℎ1e所以当x∈1e,1对于D：若函数Fx则F'(x)=lnx+1−2ax=0有两个根，即令m(x)=lnx+1x所以当时，m'(x)>0，函数m(x)当x∈(1,+∞)时，m'又当时，m(x)→−∞，当时，m(x)→0，m(1)=1，所以2a∈(0,1)，解得a∈0,故选：ACD1-2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值；(2)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用导数分析函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性，即可求得函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值；（2）由SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可知直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个交点，利用导数分析函数SKIPIF1<0的单调性与极值，数形结合可得出实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】（1）解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以，SKIPIF1<0.（2）解：函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.由题意可知，直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个交点，如下图所示：由图可知，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个交点，故实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.1-3、（2022·河北深州市中学高三期末）已知函数SKIPIF1<0．(1)证明：函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一的零点；(2)若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值为1，求a的值．【解析】(1)证明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，∴函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一的零点．(2)解：由（1）可知存在唯一的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（*）．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调通增；∴SKIPIF1<0，由（*）式得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0是方程的解，又∵SKIPIF1<0是单调递减函数，方程SKIPIF1<0有且仅有唯一的解SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入（*）式，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即所求实数SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0题组二、利用导数研究不等式及证明问题2-1、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0且函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调递增函数，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)设SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)见解析【分析】(1)由题意可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，求导，分SKIPIF1<0、SKIPIF1<0讨论SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立即可；(2)由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，①，令SKIPIF1<0，求导得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，于是得以SKIPIF1<0，代入①式中化简即可得证.【详解】（1）解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调递增函数，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，符合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为单调递增函数，所以存在唯一SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不符合题意；综上所述SKIPIF1<0；（2）证明：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由（1）可知SKIPIF1<0是增函数，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，移项得SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入①式中得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，命题得证.2-2、（2023·江苏南通·统考一模）已知函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有相同的最大值.(1)求实数SKIPIF1<0；(2)设直线SKIPIF1<0与两条曲线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共有四个不同的交点，其横坐标分别为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)见解析【分析】(1)利用导函数分别讨论两个函数的单调性和最值即可求解；(2)构造函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，利用导数和单调性讨论函数的零点，结合函数SKIPIF1<0分类讨论对应方程根的个数和分布证明.【详解】（1）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0.SKIPIF1<0有最大值，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0至多两个零点，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；SKIPIF1<0上单调递减；SKIPIF1<0至多两个零点.令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0方程无解，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0方程有唯一解SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，注意到SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上各有一个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0示意图如下注意到SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，因此SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上各有一个零点SKIPIF1<0.且由SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，由SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，由SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证毕2-3、（2023·江苏南通·统考模拟预测）设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若函数SKIPIF1<0图象恰与函数SKIPIF1<0图象相切，求实数SKIPIF1<0的值；(2)若函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点连线的斜率SKIPIF1<0.【答案】(1)1；(2)证明见解析【分析】（1）设切点为SKIPIF1<0，结合导数的几何意义求解即可；（2）由SKIPIF1<0有两个极值点，可得SKIPIF1<0有两个不等的正根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，要证：SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0证SKIPIF1<0，进而构造函数，再利用导数求解即可；【详解】（1）设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0切于SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）解法一：由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0有两个极值点，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有两个不等的正根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，要证：SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0.不妨设SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0证SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，证毕!解法二：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.不妨设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，证毕!2-4、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求a的取值范围；(3)设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)见解析【分析】（1）求出SKIPIF1<0，讨论其符号后可得SKIPIF1<0的单调性.（2）设SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，先讨论SKIPIF1<0时题设中的不等式不成立，再就SKIPIF1<0结合放缩法讨论SKIPIF1<0符号，最后就SKIPIF1<0结合放缩法讨论SKIPIF1<0的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，从而可得SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为连续不间断函数，故存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0，与题设矛盾.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，下证：对任意SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0成立，证明：设SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0成立.由上述不等式有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0总成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，所以SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0.（3）取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立.所以对任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故不等式成立.题组三、利用导数研究含参问题3-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为自然对数的底数）.(1)若不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先判断SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，再利用单调性解不等式得解；（2）等价于SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，利用二次求导对SKIPIF1<0分类讨论求函数SKIPIF1<0的最大值得解.【详解】（1）解：SKIPIF1<0，由复合函数的单调性原理得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）解：SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0符合题意.若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，（i）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0这与题设矛盾，舍去.（ii）若SKIPIF1<0，则存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，此时SKIPIF1<0这与题设也矛盾，舍去.综上：实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<03-2、（2023·江苏南京·校考一模）已知函数SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0为自然对数的底数).（1）当SKIPIF1<0时，求证：函数SKIPIF1<0图象上任意一点处的切线斜率均大于SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）代入SKIPIF1<0的值，求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可；（2）求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0得到结论成立即可确定SKIPIF1<0的取值范围．【详解】解：（1）证明：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，故函数SKIPIF1<0图象上任意一点处的切线斜率均大于SKIPIF1<0；（2）先证对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0递增，在SKIPIF1<0递减，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0递减，在区间SKIPIF1<0递增，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，综上：SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.3-3、（2023·云南曲靖·统考一模）已知函数SKIPIF1<0的图像与直线l：SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的图像在点SKIPIF1<0处的切线在x轴上的截距；(2)求c与a的函数关系SKIPIF1<0；(3)当a为函数g（a）的零点时，若对任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0