概率与数理统计1-9章-课后习题解答

第一章

思考题

1.事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？

2.医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救

活.”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经

看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死”，医生的说法对吗？为什么？

3.圆周率t=3.1415926……是一个无限不循环小数，我国数学家祖冲之第一次把它计

算到小数点后七位，这个记录保持了1000多年！以后有人不断把它算得更精确.1873年,

英国学者沈克士公布了•个万的数值，它的数目在小数点后一共有707位之多！但儿十

年后，曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑.他统计了万的608位小数，得到了下表：

数字0123456789

出现次数60626768645662445867

你能说出他产生怀疑的理由吗？

答：因为％是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或

它们出现的频率应都接近于0.1,但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.

4.你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？

5.两事件A、B相互独立ijA、B互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容

事件又有何区别和联系？

6.条件概率是否是概率？为什么？

习题一

1.写出下列试验下的样本空间：

(1)将一枚硬币抛掷两次

答：样本空间由如下4个样本点组成。={(正正,)任反,)反正,)反反)}

(2)将两枚骰子抛掷一次

答：样本空间由如下36个样本点组成Q={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6}

(3)调查城市居民(以户为单位)烟、酒的年支出

答：结果可以用(x,y)表示，x,y分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本

空间由坐标平面第一象限内一切点构成.C={(x,y)|x>0,y>0}

2.甲，乙，丙三人各射一次靶，记4-“甲中靶”B-“乙中靶”C-“闪中靶”则可用上述

三个事件的运算来分别表示下列各事件：

(1)“甲未中靶”:A；

(2)“甲中靶而乙未中靶，，：AB-,

(3)“三人中只有丙未中靶”：ABC;

(4)“三人中恰好有一人中靶”：ABC\JABC\JABC-,

(5)“三人中至少有一人中靶”：4UBUC;

(6)“三人中至少有一人未中靶”:

(7)“三人中恰有两人中靶”：ABC\JABC\JABC;

(8)“三人中至少两人中靶”：ABUACU«C;

(9)“三人均未中靶”：ABC;

(10)”三人中至多一人中靶”：ABCUABCUABCUABC;

(11)“三人中至多两人中靶”：而不;或彳U豆U不；

3.设A,B是两随机事件，化简事件

(1)(彳UB)0U8)(2)(彳U万)(4U万)

解：(1)(彳UB)(AUB)=1BUABUB=B,

(2)(彳U万)(AU万)=彳万UA万U万=(彳UAUC))=》.

4.某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，

求电话号码由五个不同数字组成的概率.

P5

解：P=T=0.3024.

105

5.〃张奖券中含有m张有奖的，火个人购买，每人一张，求其中至少有一人

中奖的概率.

解法-：试验可模拟为，"个红球，个白球，编上号，从中任取2个构成•组，则

总数为C：,而全为白球的取法有C3.种，故所求概率为1_冬.

解法二：令A,一第i人中奖，:口…人加一无一人中奖，则8=a见…4，注意到

川,彳2,…，4不独立也不互斥：由乘法公式

P⑻=?区)尸()

二子y…叫洋理*,故所求概率沏令

6.从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双"(事件A)的

概率是多少？

解:P(A)=C/《

do

7.在［-1,1］上任取一点X,求该点到原点的距离不超过;的概率.

解：此为儿何概率问题：。=[-1川,所求事件占有区

间从而所求概率为尸=」=L

5525

8.在长度为a的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角

形的概率.

解：设一段长为x,另一段长为y,样本空间Q:0cx<a,0<y<a,0<x+y<a,

0<x<—

2

所求事件满足：-0<y<y

x+y>(a-x-y)

qi

从而所求概率=33=

SOAB4

9.从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的乘

积小于■!■的概率.

4

解：设所取两数为X,y,样本空间占有区域C,

两数之积小于L：xy<L故所求概率

44

p5(Q)-5(D)1-5(D)

s(c)=—r-'

11I

而S(£>)=j(l——)dx=l--(l+ln4),故所求概率为

%4X4

；(l+ln4).

10.设A、8为两个事件，P(A)=0.9,P(AB)=0.36,求尸(A万).

解：P(AB)=P(A)-P(AB)=0.9-0.36=0.54;

11.设A、B为两个事件，P(8)=0.7,P(AB)=0.3,求P(彳U万).

解：P(AUfi)=/>(X^)=l-P(AB)=l-[P(B)-P(AB)]=l-[0.7-0.3]=0.6.

12.假设P(4)=0.4,P(AUB)=0.7,若A、B互不相容，求尸(8)；若A、

8相互独立，求产(8).

解：若A、B互不相容，尸(8)=尸(AU8)-P(A)=0.7—0.4=0.3；

若A、8相互独立，贝I」由P(4+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)可得P(B)=05

13.飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1,2,3号仓库的概率分别为

0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.

解：设4=｛命中仓库｝,则彳=｛没有命中仓库｝,又设4=｛命中第i仓库｝(i=1,2,3)

则P(A[)=0.01,P(A2)=0.02,P(A3)=0.03,

根据题意4=4I1)421143(其中4,424两两互不相容)

^P(A)=P(A,)+P(A2)+P(A3)=0.0l+0.02+0.03=0.06

所以P(A)=1-P(A)=1-0.06=0.94

即飞机投•弹没有命中仓库的概率为0.94

14.某市有50%住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少

订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比

解：设4=｛用户订有日报｝,B=｛用户订有晚报｝，则AUB=｛用户至少订有日报和晚

报一种｝,AB=｛用户既订日报又订晚报｝,已知

P(A)=0.5,P(B)=0.65,P(AUB)=0.85,所以

P(AB)=P(4)+P(B)_P(AUB)=0.5+0.65-0.85=0.3

即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%

15.一批零件共100个,次品率为10%,接连两次从这批零件中任取一个零件,第诙取

出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率.

解：设A=｛第一次取得次品｝,8=｛第二次取得正品｝,则

A8=｛第二次才取得正品｝,又因为尸(4)=川,尸画4)=%，贝IJ

100199

P(A6)=P⑷P(%)=3也=0.0909

10099

16.设随机变量A、B、C两两独立，A叮8互不相容.已知P(B)=2P(C)>0

且「(BUC)=2,求尸(4UB).

8

解：依题意P(4B)=0且P(A3)=尸(A)P(B),因此有P(A)=O.又因

P(B+C)=P(B)+P(C)-P(B)P(C)=3P(C)-2[P(C)]2=-,解方程

8

05

2[P(C)]2-3P(C)+-=0

8

p(C)=L[尸(0=2舍去]=>2(8)=l，P(4UB)=P(A)+P(B)-P(4B)=P(B)=05

442

17.设A是小概率事件，即P(A)=e是给定的无论怎么小的正数.试证明：当

试验不断地独立重复进行下去，事件A迟早总会发生(以概率1发生).

解：设事件4一第i次试验中A出现。=1,2,…，〃)，：P(4)=£,P(4)=l-£,

(/•=1,2,…次试验中，至少出现4一次的概率为

P(AUA2U-LM“)=I—P(&认U…ua“)=1-P(A4--4)

=1-P(^)P(A)••…P(4)(独立性)

=l-(l-£)"

limPUN&U…LM,)=1,证毕.

n—»oo

18.三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是』，--求

534

此密码被译

出的概率.

解:设A,B,C分别表示｛第一、二、三人译出密码｝,D表示｛密码被译出｝,则

P(。)=P(AUBUC)=1-P(AUBUC)

----———4233

=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1--.-.-=-.

5345

19.求下列系统(如图所示)的可靠度，假设元件i的可靠度为p,.，各元件正

常工作或失效相互独立

解：(1)系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为P1P2P3，从而所求

概率为1—(1—P[p2P3)3；

3

(2)同理得^[l-(l-p2)].

20.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概

率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率.

解：设乙一第一第三台机器发生故障，冬一第一第三台机器发生故障，A3—

第一第三台机

器发生故障，。一三台机器中至少有一台发生故障，则

P(A,)=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)=0.3,故

P(O)=P(4U8UC)=1-P(AU3UC)

=l-P(XfiC)=l-P(A)P(B)P(C)=l-0.9x0,8x0.7=0.496

21.设A、8为两事件，P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(%)=0.4,求P(AljB).

解：由尸(%)=0.4得

0(竺)=().4,P(彳8)=0.12,..P(A2)=尸(3)-P(彳8)=0.48,

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.82.

22.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8,活到25年以上的概率为0.4.问现

年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？

解：设A—某种动物由出生算起活到20年以上，P(A)=0.8,B—某种动物由出生

算起活到25年以匕P(B)=0.4,则所求的概率为

锵2=瑞嘿”

23.某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80%,40年内

发生特大洪水的概率为85%,求已过去了30年的地区在未来10年内发生特

大洪水的概率.

解：设4—某地区后30年内发生特大洪灾，P(A)=0.8,B—某地区后40年内

发生特大洪灾，P(B)=0.85,则所求的概率为

/>(%)=1-玖％)=1-0(13)=1-^£2=1-=0.25.

'/4'/Ap(A)P(A)0.2

24.设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球.今从甲

袋中任意取•球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球.

1)问取到白球的概率是多少？

2)假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？

解：设A：取到白球，B：从甲球袋取白球

__2443

1)P(A)=P(A/B)P(B)+P(A/B)P(B)——+—=5/9

6666

2)2(B/A)=P(A8)/P(A)=」黑:⑻=瑞=2/5

25.一批产品共有10个正品和2个次品，任取两次，每次取一个，抽出后不

再放回，求第二次抽出的是次品的概率.

解：设B,表示第i次抽出次品,(i=1,2),由全概率公式

P(B2)=P(B,)P(V)+P(B1)P(V)=AX1+12X2=1.

/D\/5121112116

26.一批晶体管元件，其中一等品占95%,二等品占4%,三等品占1%,它们能工作500〃

的概率分别为90%,80%,70%,求任取一个元件能工作500%以上的概率.

解：设B,=｛取到元件为i等品｝(i=l,2,3),A=｛取到元件能工作500小时以上｝

则P(B,)=95%,P(B2)=4%,P(B3)=1%

P%J=90%,P%,)=80%,P%,)=70%

95%-90%+4%-80%+1%-70%=0.894

27.某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量

分别占40%,35%和25%,目.用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65,0.70和

0.85,求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果一件产品是优质品，求它

的材料来自甲地的概率

解：以Bj分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A=｛抽到优等品｝,则有：

P(B,)=0.4,2包)=0.35,「(鸟)=0.25,

所求概率为P(4).由全概率公式得:

P(A)=)

3

0.65x0.4+0.7x0.35+0.85x0.25=0.7175.

pB/=」(当4)=四=0.26

=0.3624

鼠一P(A)-P(A)-0.7175

28.用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率

为0.95；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90.如果根据以往的统计，某

地区癌症的发病率为0.0005.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率.

解：设A=｛检查结果为阳性),B=｛癌症患者｝.据题意有

p(%)=0.95,P(%)=0.90,P(B)=0.0005,所求概率为P(%).

P(%)=040,P(万)=0.9995.由Bayes公式得

P(%)=

0.0005x0.95

=0.0047=0.47%

0.0005x0.95+0.9995x().10

29.3个射手向一敌机射击，射中的概率分别是0.4,0.6和0.7.如果一人射中，敌机被

击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.6；三人射中则必被击落.(1)求敌机

被击落的概率；(2)已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率.

解:设A=｛敌机被击落｝,Bp｛i个射手击中｝,i=l,2,3.则ByB2,B3互不相容.由题意知:

由于3个射手射击是互相独立的，所以

P(fi,)=0.4x0.4x0.3+0.6x0.6x0.3+0.6x0.4x0.7=0.324

P(BJ=0.4x0.6x0.3+0.4x0.7x0.4+0.6x0.7x0.6=0.436

P(2)=04x0.6x0.7=0.168

因为事件A能且只能与互不相容事件B],B9,BQ之一同时发生.于是

(1)由全概率公式得

3

p(A)=ZP(B)P(AI即=0.324x0.2+0.436x0.6+0.168xl=0.4944

(2)由Bayes公式得

P(5/A)="8"⑷层)=*=034.

±P(g)P(A@)04944

/=1

30.某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，

求

(1)该厂产品能出厂的概率；(2)任取一出厂产品未经调试的概率.

解：A——需经调试A——不需调试B——出厂

则P(A)=30%,P(A)=70%,P(BIA)=80%,P(BIA)=1

(1)由全概率公式：P(B)=P(A)-P(%)+P(彳)•尸('/■)

=30%x80%+70%x1=94%.

(2)由贝叶斯公式：P(%)=P(.B)=P(」)P(")=四・

/B尸⑻94%94

31.进行一系列独立试验，假设每次试验的成功率都是p,求在试验成功2

次之前已经失败了3次的概率.

解：所求的概率为4P2(l-p)3.

32.10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第〃次才取k

次伏4w)红

球的概率

解：所求的概率为c，H儒，

33.灯泡使用寿命在lOOOh以上的概率为0.2,求3个灯泡在使用1000h后，

最多只有

一个坏了的概率.

解：由二项概率公式所求概率为

鸟(0)+乙(1)=0.23+6(0.2)2.().8=01()4

34.(Banach问题)某人有两盒火柴，每盒各有〃根，吸烟时任取一盒，并

从中任取一根，当他发现有一盒已经用完时，试求：另一盒还有r根的概率.

解：设试验E一从二盒火柴中任取一,盒，A一取到先用完的哪盒，尸(A)=L

2

则所求概率为将E重复独立作2〃-r次A发生”次的概率，故所求的概率为

第二章

思考题

1.随机变量的引入的意义是什么？

答：随机变量的引入，使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来，其

目的是将事件数量化，从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念

内.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究转化为随

机变量及其取值规律的研究，使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而

深入的研究.

随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，随机事件是从静态的观点来研究随

机现象，而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究.

2.随机变量马分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？

答：随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的自变量是样本点，不是普通实数,

故随机变量不是普通函数，不能用高等数学的方法进行研究，而分布函数一方面是高等

数学中的普通函数，另一方面它决定概率分布，故它是沟通概率论和高等数学的桥梁，

利用它可以将高度数学的方法得以引入.

3.除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？

答：有，称为混合型.例：设随机变量X令

x,0<x<1;

g(x)=«

1,1<x<2.

则随机变量y=g(x)既非离散型又非连续型.

事实上，由y=g(X)的定义可知丫只在［0,1］上取值，于是当y<0时，&(〉)=()；

y之1时，4(y)=l；当0Ky<l时，

4(y)=P(g(X)")=P(X«y)=］

于是

0,"0；

Fr(y)=.1,0<y<l;

首先Y取单点｛1｝的概率p(y=1)=耳(1)—%(1—0)=g*o,故y不是连续型随机变

量.其次其分布函数不是阶梯形函数，故y也不是离散型随机变量.

4.通常所说“x的概率分布”的确切含义是什么？

答：对离散型随机变量而言指的是分布函数或分布律，对连续型随机变量而言指的是分

布函数或概率密度函数.

5.对概率密度了。)的不连续点，如何由分布函数尸(x)求出/(尤)？

答：对概率密度/(x)的连续点，/(x)=F'(x),对概率密度/(x)的有限个不连续点处，

可令f(x)=c(c为常数)不会影响分布函数的取值.

6.连续型随机变量的分布函数是可导的，“概率密度函数是连续的”这个说法对吗？为什

么？

答：连续型随机变量密度函数不一定是连续的，当密度函数连续时其分布函数是可导的，

否则不一定可导.

习题

1.在测试灯泡寿命的试验中，试写出样本空间并在其上定义一个随机变量.

解：每一个灯泡的实际使用寿命可能是［0,+00)中任何一个实数，样本空间为

Q=｛Z\t>0｝,若用X表示灯泡的寿命(小时)，则X是定义在样本空间Q=｛”t20｝

上的函数，即X=X(f)=f是随机变量.

2.一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不

得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随

机变量的表达式表示.

解：｛报童赔钱｝O｛卖出的报纸钱不够成本｝,而当0」5X<1000X0.1时，报童赔钱，

故｛报童赔钱｝O｛X<666｝

3.若P{X<々}=1一/，P{X>xt}=]-a,其中心<々，求P{X14X<X2}.

解：Pk,£X<x2]^P{X<x2]-P[X<xt}

=P{X<x2}-[l-P{X>xt}]=i-a-j3.

0,x<0

4.设随机变量X的分布函数为F(x)=-x2,0<x<l

l,x>l

试求(l)p{x«g}(2)p1-l<X<1|(3)p{x>g}

解：⑴P{XK1}=尸(}=；；

(2)p|-l<X<!1=F(|)-F(-1)=^-O=^；

5.5个乒乓球中有2个新的，3个旧的，如果从中任取3个，其中新的乒乓

球的个数是

一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数

的图形.

解：设X表示任取的3个乒乓球中新的乒乓球的个数，由题目条件可知，

X的所有可能

取值为0,1.2,VP{X=0}=^-=—,P{X=1}=^L=A,p[x-2]=^^-=—

C；10C；10C；10

...随机变量X的概率分布律如下表所示：

由尸(x)=Z冗可求得FW如下：n-

0,x<0

P{X=0},0<x<1

/")=

P{X=0}+P{X=1}J<x<2

P{X=0}+P{X=l}+1{X=2}

0,x<0

0.1,0<x<l

=<

07/wx<2'尸⑴的图形如图所示•

1,x>2

6.某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9,如果他命中目标就停止射击,

命不中就

一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X的概率分布

解：

X12345

P0.90.090.0090.00090.0001

7.一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一

个，如果每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数的

分布律.

解：设％=（第次取得废品｝,4=｛第次取得合格品｝,由题意知，废品数X的可能值为0,

1,2,3,事件｛X=0｝即为第一次取得合格品，事件｛X=l｝即为第一次取出的零件为废

品，而第二次取出的零件为合格品，于是有

9

P[X=O}=P（A,）=—=0.75,

399

尸｛X=1｝=尸（A4）=尸（4（P）------=—。0.2045,

121144

3299

p[x=2}=P（4&4）=尸（4©——h0.0409

121110220

P｛X=3｝=尸（%可不儿）=6

AA3

3219

«0.0045

1211109220

所以x的分布律见下表

X0123

P0.750.20450.04090.0045

8.从1-10中任取一个数字，若取到数字造=1…10）的概率与i成正比，即

P（X亍i@kii=1,2,…，10，求火.

10

解：由条件i=l,2,…,10,由分布律的性质2亿=1，应有

9.已知随机变量X服从参数4=1的泊松分布，试满足条件P{X>N}=0.01的自然数

N.

解：因为X~P(1),P{X>Y}=0.01所以P{X4N}=1-P{X>N}=0.99从而

p{xWN}=ZJ=0.99

k=6k!

查附表得N=4

10.某公路一天内发生交通事故的次数X服从泊松分布，且一天内发生一次交

通事故的概率与发生两次交通事故的概率相等，求•周内没有交通事故发生

的概率.

e-'e~Ao

解：设*~PQ),由题意：P(X=1)=P(X=2),—2=—/I2,解得2=2,所

求的概率即为

-2

P(X=0)=—2°=e-2.

0!

11.一台仪器在10000个工作时内平均发生10次故障，试求在100个工作时内故障不多

于两次的概率.

解：设X表示该仪器在100个工作时内故障发生的次数，X~B(100,—)，所求的概

1000

率即为尸(X=0),P(X=1),P(X=2)三者之和.而100个工作时内故障平均次数为

〃=100x—1—=0.1,根据Poisson分布的概率分布近似计算如下：

1000

012

P(X<2)»Jr+匕ej=0.90484+0.09048+0.00452=0.99984

0!1!2!

故该仪器在100个工作时内故障不多于两次的概率为0.99984.

12.设*~[/[2,5],现对X进行三次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率.

1<

解：/(x)=3'-,令A=(X>3),则p=P(A)=Z,令¥表示三次重复独立观

0，其余3

察中A出现次数，则丫~8〔3,|),故所求概率为

—颂小呢闾卷

13.设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为2/3,求在50头已感染的羊群

中发病头数的概率分布律.

解：把观察一头羊是否发病作为一次试验，发病率p=2/3,不发病率q=1/3,由于对

50头感染羊来说是否发病，可以近似看作相互独立，所以将它作为50次重复独立试验,

设50头羊群中发病的头数为X,则XX8(50,2/3),X的分布律为

p{x=H=啸)0依=0,1,2,…,50)

2xQ<r<1

14.设随机变量X的密度函数为p(x)='廿…,用y表示对X的3次

0,其匕

独立重复观察中事件{X4；}出现的次数，求P[Y=2}.

121

解：YB(3,p),p=P{X<-]=fadx由二项概率公式

2o4

Iqo

=2}=c；(；)26)=2.

4464

15.已知X的概率密度为=试求：

[0,x<0

(1)、未知系数a；(2)、X的分布函数尸(x)；(3)、X在区间(0―)内取值的

概率.

解(1)由「ax2e~Mdx=1,解得°=——.

A2

(2)尸(x)=P(X<x)=£7(x心，；.当xWO时F(x)=0,当x>0时，

F(x)=£ax2e~Axdx=1———(A2x24-22x4-2),

1—(2~x~+22x+2),x>0

尸(x)=J2

0,x<0

(3)P(0<X<%)=F(%)-F(0)=l,.

16.设X在(1,6)内服从均匀分布，求方程x2+Xx+l=0有实根的概率.

解：“方程好+内+1=0有实根”即{X>2},故所求的概率为P{X>2}=*

17.知随机变量X服从正态分布N(ad),且y=aX+b服从标准正态分布

N(0,1),求a,b.

解：由题意

a2+b=0

Ml"

解得：a=\,h=-1

18.已知随机变量X服从参数为；I的指数分布，且X落入区间(1,2)内

的概率达到最大，求人

令

解：P(1<X<2)=P(X>1)-P(X>2)=e-"-e-2*=g(㈤，令g'(2)=0,即

eY-2e-2"=0Wl_2eT=0,

Z=In2.

19.设随机变量XN(1,4),求P(04X<1.6),P(X<1).

0-1I6-1

解：P(0<X<1.6)=尸(——<X<-——)

22

16-10-1

=(D(-——)-(D(——)=0.3094

22

P(X<l)=<D(q)=(D(0)=0.5.

20.设电源电压X~N(220,25),在X4200,200<X4240,X>240电压三种情形下，电

子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2,求：

(1)该电子元件损坏的概率c；

(2)该电子元件损坏时，电压在200~240伏的概率分.

解：设A=(X4200)M=(200<X4240),4=(X>240),£>一电子元件损坏，则

（1）•.•A，&完备，由全概率公式

&=P（0=P（A）P（%）+P⑷p（%2卜尸（4）P（%）

今尸（Aj=①=©（-0.8）=1-①（0.8）=0.212,

同理P（4）=①（0.8）-①（-0.8）=2①（0.8）-1=0.576,

P（&）=1-0.212-0.576=0.212,从而a=P（D）=0.062.

(2)由贝叶斯公式

一（%）="&）：（卬0-576x0.001=0（）09

1/D）P（£＞）=0.062

21.随机变量X的分布律为

X-2-1013

尸111111

5651530

求y=x?的分布律

解：X20149

n17111

530530

22.变量X服从参数为0.7的0—1分布，求X?及X2-2X的概率分布

解.X的分布为

X01

P0.30.7

易见，X?的可能值为0和1；而X2-2X的可能值为-1和0,由于

2

P[X=U}=P[X=u]

(“=0,1),可见X?的概率分布为：

X201

P0.30.7

由于P{X2-2X=-l}=P{X=1}=Q7,P{X2-2X=0}=P{X=0}=0.3,可得X?-2X的

X2-2X-10

P0.70.3

概率分布为

23.X概率密度函数为/x（x）=—/，求Y=2X的概率密度函数九（y）.

乃（1+x）

解：y=2x的反函数为x=工，代入公式得人（y）=打（上）（二）'=-二".

2227r（4+y）

24.设随机变量X~U[0,2],求随机变量y=X?在（0,4）内概率密度九（y）.

解法一（分布函数法）当y<0时，工•（），）=（）,y>4时巴•（），）=1，当04y44时，

43=P（X4初=耳（网

从而九3=卜⑹力木g"

0，其余

解法二（公式法）），=/在（0,2）单增，由于反函数x=在（O，4）可导，父=」广，从

而由公式得

人（加卜（彳扇=志

0，其余

,X0

25./x（x）=?'-,求丫=6乂的密度.

[0,x<0

解法一（分布函数法）因为XW0,故y>l,当y>l时，5（y）=P（X41ny）=Fx（lny），

,/、\fx（lny）-=e-|nv-=-^,y>1

.・力（y）=Jyyy.

0,y<1

解法二（公式法）y="的值域（l,+8）,反函数x=1ny,故

/r(y)=f—］号刊

0,y<1

26.设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，分别求随机变量y=，和Z=|lnX|

的概率密度九(y)和启(z).

解：X的密度为/(x)=F

［0,其它

(1)函数y=e•"有唯一反函数，x=Iny,且1<丫<e,故

、人。”)|。”)1，I<y<eW,l<y<e

l。，其它(0,其它

(2)在区间(0,1)匕函数z=|lnx|=-lnx,它有唯•反函数x=d且Z>0,从而

/UW，z>0_广，z>0

/z(Z)=lo,其它一i。，其它.

27.设A(x)为X的密度函数，且为偶函数，求证-X与X有相同的分布.

证：即证y=-x与x的密度函数相同，即人()，)=£(#,

证法一(分布函数法)

6(y)=P(-X4y)=P(X>-y)=1-P(X4-y)=1-耳(一)),

•1•p?(y)=-PX(-y)-(->)=PX(y)，得证•

证法二(公式法)

由于为单调函数,%(y)=Px(-y)|(-y)|=Px(-y)=Px(y).

28.设随机变量X服从正态分布_oo<A<+oo,cr>0,尸(x)是X的分布函数,

随机变量Y=F(X).求证Y服从区间［0,1］上的均匀分布.

证明：记X的概率密度为/(x),则F(x)=1/«)力.由于尸(x)是x的严格单调增函数,

其反函数尸()

存在，又因0WF(x)41,因此1的取值范围是[0,1].即当04y41时

Fv(y)=P[YSy}=P{F(X)<y}=p{x<F'(y)}=F[F-'(y)]=y.

于是y的密度函数为

[1,0<y<1

P2=[。，其它

即y服从区间[o,n上的均匀分布.

第二章

思考题

1(答:错)2(答:错)3答:错)

习题三

1解:P{x=y}=P{x=-i,y=—i}+P{x=1,丫=1}(已知独立)

=p{x=-i}P{r=_1}+p{x=\}P{Y==+=；.

由此可看出，即使两个离散随机变量x与y相互独立同分布，x与y一般情况下也不会

以概率1相等.

2解：由EEp,了=1可得：A=0.14,从而得：

012

P{Y=j}

X00.00.10.00.3

659

10.10.30.20.7

451

0.20.50.31

P{X=i}

p