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文档简介
2024-2025学年成都市重点中学高三下第二次阶段(期中)数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积(单位:)为()A. B.6 C. D.2.已知函数若恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.设,则“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙5.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,若函数的图象的一条对称轴是,则的最小值为A. B. C. D.6.已知向量与向量平行,,且,则()A. B.C. D.7.定义域为R的偶函数满足任意,有,且当时,.若函数至少有三个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.8.在复平面内,复数对应的点的坐标为()A. B. C. D.9.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面10.若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是()A. B. C. D.11.下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为的是()A. B. C. D.12.已知,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若奇函数满足,为R上的单调函数,对任意实数都有,当时,,则________.14.已知三棱锥中,,,,且二面角的大小为,则三棱锥外接球的表面积为__________.15.已知随机变量服从正态分布,,则__________.16.在一块土地上种植某种农作物,连续5年的产量(单位:吨)分别为9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.则该农作物的年平均产量是______吨.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在直三棱柱中,,点分别为和的中点.(Ⅰ)棱上是否存在点使得平面平面?若存在,写出的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由.(Ⅱ)求二面角的余弦值.18.(12分)已知数列和满足,,,,.(Ⅰ)求与;(Ⅱ)记数列的前项和为,且,若对,恒成立,求正整数的值.19.(12分)设数列,的各项都是正数,为数列的前n项和,且对任意,都有,,,(e是自然对数的底数).(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前n项和.20.(12分)已知函数.(1)若,,求函数的单调区间;(2)时,若对一切恒成立,求a的取值范围.21.(12分)已知.(1)求的单调区间;(2)当时,求证:对于,恒成立;(3)若存在,使得当时,恒有成立,试求的取值范围.22.(10分)在直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,射线的极坐标方程为,射线的极坐标方程为.(Ⅰ)写出曲线的极坐标方程,并指出是何种曲线;(Ⅱ)若射线与曲线交于两点,射线与曲线交于两点,求面积的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
根据几何体的三视图,该几何体是由正方体去掉三棱锥得到,根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.【详解】如图,该几何体为正方体去掉三棱锥,所以该几何体的体积为:,故选:D本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法,考查了空间想象力,属于中档题.2.D【解析】
由恒成立,等价于的图像在的图像的上方,然后作出两个函数的图像,利用数形结合的方法求解答案.【详解】因为由恒成立,分别作出及的图象,由图知,当时,不符合题意,只须考虑的情形,当与图象相切于时,由导数几何意义,此时,故.故选:D此题考查的是函数中恒成立问题,利用了数形结合的思想,属于难题.3.C【解析】
根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可.【详解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b⇒logab<1,logab<1⇒a>b,∴a>b是logab<1的充分必要条件,故选C.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的解法是解决本题的关键.4.A【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲,乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意,故选A.本题将数学知识与时政结合,主要考查推理判断能力.题目有一定难度,注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.5.C【解析】
将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,因为函数的图象的一条对称轴是,所以,即,所以,又,所以的最小值为.故选C.6.B【解析】
设,根据题意得出关于、的方程组,解出这两个未知数的值,即可得出向量的坐标.【详解】设,且,,由得,即,①,由,②,所以,解得,因此,.故选:B.本题考查向量坐标的求解,涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算,考查计算能力,属于中等题.7.B【解析】
由题意可得的周期为,当时,,令,则的图像和的图像至少有个交点,画出图像,数形结合,根据,求得的取值范围.【详解】是定义域为R的偶函数,满足任意,,令,又,为周期为的偶函数,当时,,当,当,作出图像,如下图所示:函数至少有三个零点,则的图像和的图像至少有个交点,,若,的图像和的图像只有1个交点,不合题意,所以,的图像和的图像至少有个交点,则有,即,.故选:B.本题考查函数周期性及其应用,解题过程中用到了数形结合方法,这也是高考常考的热点问题,属于中档题.8.C【解析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【详解】解:复数i(2+i)=2i﹣1对应的点的坐标为(﹣1,2),故选:C本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.9.B【解析】
本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B.面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误.10.B【解析】
求得的导函数,由此构造函数,根据题意可知在上有变号零点.由此令,利用分离常数法结合换元法,求得的取值范围.【详解】,设,要使在区间上不是单调函数,即在上有变号零点,令,则,令,则问题即在上有零点,由于在上递增,所以的取值范围是.故选:B本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查方程零点问题的求解策略,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.11.B【解析】
分别作出各个选项中的函数的图象,根据图象观察可得结果.【详解】对于,图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误;对于,的图象如下图所示:则在定义域上单调递增,且值域为,正确;对于,的图象如下图所示:则函数单调递增,但值域为,错误;对于,的图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误.故选:.本题考查函数单调性和值域的判断问题,属于基础题.12.D【解析】
分别解出集合然后求并集.【详解】解:,故选:D考查集合的并集运算,基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据可得,函数是以为周期的函数,令,可求,从而可得,代入解析式即可求解.【详解】令,则,由,则,所以,解得,所以,由时,,所以时,;由,所以,所以函数是以为周期的函数,,又函数为奇函数,所以.故答案为:本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用,属于中档题.14.【解析】
设的中心为T,AB的中点为N,AC中点为M,分别过M,T做平面ABC,平面PAB的垂线,则垂线的交点为球心O,将的长度求出或用球半径表示,再利用余弦定理即可建立方程解得半径.【详解】设的中心为T,AB的中点为N,AC中点为M,分别过M,T做平面ABC,平面PAB的垂线,则垂线的交点为球心O,如图所示因为,,所以,,,又二面角的大小为,则,,所以,设外接球半径为R,则,,在中,由余弦定理,得,即,解得,故三棱锥外接球的表面积.故答案为:.本题考查三棱锥外接球的表面积问题,解决此类问题一定要数形结合,建立关于球的半径的方程,本题计算量较大,是一道难题.15.0.22.【解析】
正态曲线关于x=μ对称,根据对称性以及概率和为1求解即可。【详解】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,是一个基础题.16.10【解析】
根据已知数据直接计算即得.【详解】由题得,.故答案为:10本题考查求平均数,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)存在点满足题意,且,证明详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)可考虑采用补形法,取的中点为,连接,可结合等腰三角形性质和线面垂直性质,先证平面,即,若能证明,则可得证,可通过我们反推出点对应位置应在处,进而得证;(Ⅱ)采用建系法,以为坐标原点,以分别为轴建立空间直角坐标系,分别求出两平面对应法向量,再结合向量夹角公式即可求解;【详解】(Ⅰ)存在点满足题意,且.证明如下:取的中点为,连接.则,所以平面.因为是的中点,所以.在直三棱柱中,平面平面,且交线为,所以平面,所以.在平面内,,,所以,从而可得.又因为,所以平面.因为平面,所以平面平面.(Ⅱ)如图所示,以为坐标原点,以分别为轴建立空间直角坐标系.易知,,,,所以,,.设平面的法向量为,则有取,得.同理可求得平面的法向量为.则.由图可知二面角为锐角,所以其余弦值为.本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值,属于中档题18.(Ⅰ),;(Ⅱ)1【解析】
(Ⅰ)易得为等比数列,再利用前项和与通项的关系求解的通项公式即可.(Ⅱ)由题可知要求的最小值,再分析的正负即可得随的增大而增大再判定可知即可.【详解】(Ⅰ)因为,故是以为首项,2为公比的等比数列,故.又当时,,解得.当时,…①…②①-②有,即.当时也满足.故为常数列,所以.即.故,(Ⅱ)因为对,恒成立.故只需求的最小值即可.设,则,又,又当时,时.当时,因为.故.综上可知.故随着的增大而增大,故,故本题主要考查了根据数列的递推公式求解通项公式的方法,同时也考查了根据数列的增减性判断最值的问题,需要根据题意求解的通项,并根据二项式定理分析其正负,从而得到最小项.属于难题.19.(1),(2)【解析】
(1)当时,,与作差可得,即可得到数列是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解;对取自然对数,则,即是以1为首项,以2为公比的等比数列,即可求解;(2)由(1)可得,再利用错位相减法求解即可.【详解】解:(1)因为,,①当时,,解得;当时,有,②由①②得,,又,所以,即数列是首项为1,公差为1的等差数列,故,又因为,且,取自然对数得,所以,又因为,所以是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以,即(2)由(1)知,,所以,③,④③减去④得:,所以本题考查由与的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和.20.(1)单调递减区间为,单调递增区间为;(2)【解析】
(1)求导,根据导数与函数单调性关系即可求出.(2)解法一:分类讨论:当时,观察式子可得恒成立;当时,利用导数判断函数为单调递增,可知;当时,令,由,,根据零点存在性定理可得,进而可得在上,单调递减,即不满足题意;解法二:通过分离参数可知条件等价于恒成立,进而记,问题转化为求在上的最小值问题,通过二次求导,结合洛比达法则计算可得结论.【详解】(1)当,,,,令,解得,当时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增.(2)解法一:当时,函数,若时,此时对任意都有,所以恒成立;若时,对任意都有,,所以,所以在上为增函数,所以,即时满足题意;若时,令,则,所以在上单调递增,,,可知,一定存在使得,且当时,,所以在上,单调递减,从而有时,,不满足题意;综上可知,实数a的取值范围为.解法二:当时,函数,又当时,,对一切恒成立等价于恒成立,记,其中,则,令,则,在上单调递增,,恒成立,从而在上单调递增,,由洛比达法则可知,,,解得.实数a的取值范围为.本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题,考查了分类与整合的解题思想,涉及分离参数法等技巧、涉及到洛比达法则等知识,注意解题方法的积累,属于难题.21.(1)单调减区间为,单调增区间为;(2)详见解析;(3).【解析】
试题分析:(1)对函数求导后,利用导数和单调性的关系,可求得函数的单调区间.(2)构造
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