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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.2.下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”,例如.执行该程序框图,则输出的等于()A.16 B.17 C.18 D.193.已知函数的值域为,函数,则的图象的对称中心为()A. B.C. D.4.已知数列中,,(),则等于()A. B. C. D.25.已知集合,,若,则()A.4 B.-4 C.8 D.-86.已知全集,集合,,则阴影部分表示的集合是()A. B. C. D.7.已知函数,,若方程恰有三个不相等的实根,则的取值范围为()A. B.C. D.8.双曲线的渐近线方程为()A. B.C. D.9.已知是偶函数,在上单调递减,,则的解集是A. B.C. D.10.已知双曲线的一条渐近线为,圆与相切于点,若的面积为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.11.关于函数,下列说法正确的是()A.函数的定义域为B.函数一个递增区间为C.函数的图像关于直线对称D.将函数图像向左平移个单位可得函数的图像12.正三棱柱中,,是的中点,则异面直线与所成的角为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若一组样本数据7,9,,8,10的平均数为9,则该组样本数据的方差为______.14.现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是________.15.满足线性的约束条件的目标函数的最大值为________16.已知椭圆的下顶点为,若直线与椭圆交于不同的两点、,则当_____时,外心的横坐标最大.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在平面四边形中,,,.(1)求;(2)求四边形面积的最大值.18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρcos2θ=4asinθ (a>0),直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-1+(I)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程(不要求具体过程);(II)设P(-2,-1),若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.19.(12分)已知点、分别在轴、轴上运动,,.(1)求点的轨迹的方程;(2)过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点,,求的取值范围.20.(12分)已知A是抛物线E:y2=2px(p>0)上的一点,以点A和点B(2,0)为直径两端点的圆C交直线x=1于M,N两点.(1)若|MN|=2,求抛物线E的方程;(2)若0<p<1,抛物线E与圆(x﹣5)2+y2=9在x轴上方的交点为P,Q,点G为PQ的中点,O为坐标原点,求直线OG斜率的取值范围.21.(12分)已知函数,.(1)若不等式对恒成立,求的最小值;(2)证明:.(3)设方程的实根为.令若存在,,,使得,证明:.22.(10分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记分,“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩,统计结果及对应的频率分布直方图如下所示:等级不合格合格得分频数624(Ⅰ)若测试的同学中,分数段内女生的人数分别为,完成列联表,并判断:是否有以上的把握认为性别与安全意识有关?是否合格性别不合格合格总计男生女生总计(Ⅱ)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中,共选取人进行座谈,现再从这人中任选人,记所选人的量化总分为,求的分布列及数学期望;(Ⅲ)某评估机构以指标(,其中表示的方差)来评估该校安全教育活动的成效,若,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在(Ⅱ)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?附表及公式:,其中.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
投影即为,利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量与向量的夹角为,由题意,得,,所以,向量在向量方向上的投影为.故选:A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.2.B【解析】
由已知中的程序框图可知,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,代入四个选项进行验证即可.【详解】解:由程序框图可知,输出的数应为被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整数.若输出,则不符合题意,排除;若输出,则,符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多,或有规律时,常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.3.B【解析】
由值域为确定的值,得,利用对称中心列方程求解即可【详解】因为,又依题意知的值域为,所以得,,所以,令,得,则的图象的对称中心为.故选:B【点睛】本题考查三角函数的图像及性质,考查函数的对称中心,重点考查值域的求解,易错点是对称中心纵坐标错写为04.A【解析】
分别代值计算可得,观察可得数列是以3为周期的周期数列,问题得以解决.【详解】解:∵,(),
,
,
,
,
…,
∴数列是以3为周期的周期数列,
,
,
故选:A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用:求数列中的项,考查运算能力,属于基础题.5.B【解析】
根据交集的定义,,可知,代入计算即可求出.【详解】由,可知,又因为,所以时,,解得.故选:B.【点睛】本题考查交集的概念,属于基础题.6.D【解析】
先求出集合N的补集,再求出集合M与的交集,即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由,,可得或,又所以.故选:D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合,集合的交集和补集的运算,属于基础题.7.B【解析】
由题意可将方程转化为,令,,进而将方程转化为,即或,再利用的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程在上恰有三个不相等的实根,即,①.因为,①式两边同除以,得.所以方程有三个不等的正实根.记,,则上述方程转化为.即,所以或.因为,当时,,所以在,上单调递增,且时,.当时,,在上单调递减,且时,.所以当时,取最大值,当,有一根.所以恰有两个不相等的实根,所以.故选:B.【点睛】本题考查了函数与方程的关系,考查函数的单调性与最值,转化的数学思想,属于中档题.8.A【解析】
将双曲线方程化为标准方程为,其渐近线方程为,化简整理即得渐近线方程.【详解】双曲线得,则其渐近线方程为,整理得.故选:A【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程,双曲线的简单性质的应用.9.D【解析】
先由是偶函数,得到关于直线对称;进而得出单调性,再分别讨论和,即可求出结果.【详解】因为是偶函数,所以关于直线对称;因此,由得;又在上单调递减,则在上单调递增;所以,当即时,由得,所以,解得;当即时,由得,所以,解得;因此,的解集是.【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式,熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可,属于常考题型.10.D【解析】
由圆与相切可知,圆心到的距离为2,即.又,由此求出的值,利用离心率公式,求出e.【详解】由题意得,,,.故选:D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,直线与圆相切的性质,离心率的求法,属于中档题.11.B【解析】
化简到,根据定义域排除,计算单调性知正确,得到答案.【详解】,故函数的定义域为,故错误;当时,,函数单调递增,故正确;当,关于的对称的直线为不在定义域内,故错误.平移得到的函数定义域为,故不可能为,错误.故选:.【点睛】本题考查了三角恒等变换,三角函数单调性,定义域,对称,三角函数平移,意在考查学生的综合应用能力.12.C【解析】
取中点,连接,,根据正棱柱的结构性质,得出//,则即为异面直线与所成角,求出,即可得出结果.【详解】解:如图,取中点,连接,,由于正三棱柱,则底面,而底面,所以,由正三棱柱的性质可知,为等边三角形,所以,且,所以平面,而平面,则,则//,,∴即为异面直线与所成角,设,则,,,则,∴.故选:C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角,考查计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】
根据题意,由平均数公式可得,解得的值,进而由方差公式计算,可得答案.【详解】根据题意,数据7,9,,8,10的平均数为9,则,解得:,则其方差.故答案为:1.【点睛】本题考平均数、方差的计算,考查运算求解能力,求解时注意求出的值,属于基础题.14.【解析】
由题意容积,求导研究单调性,分析即得解.【详解】由题意:容积,,则,由得或(舍去),令则为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时.故答案为:【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用,考查了学生数学建模,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.15.1【解析】
作出不等式组表示的平面区域,将直线进行平移,利用的几何意义,可求出目标函数的最大值。【详解】由,得,作出可行域,如图所示:平移直线,由图像知,当直线经过点时,截距最小,此时取得最大值。由,解得,代入直线,得。【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。16.【解析】
由已知可得、的坐标,求得的垂直平分线方程,联立已知直线方程与椭圆方程,求得的垂直平分线方程,两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标,再由导数求最值.【详解】如图,由已知条件可知,不妨设,则外心在的垂直平分线上,即在直线,也就是在直线上,联立,得或,的中点坐标为,则的垂直平分线方程为,把代入上式,得,令,则,由,得(舍)或.当时,,当时,.当时,函数取极大值,亦为最大值.故答案为:.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用,训练了利用导数求最值,是中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)【解析】
(1)根据同角三角函数式可求得,结合正弦和角公式求得,即可求得,进而由三角函数(2)设根据余弦定理及基本不等式,可求得的最大值,结合三角形面积公式可求得的最大值,即可求得四边形面积的最大值.【详解】(1),则由同角三角函数关系式可得,则,则,所以.(2)设在中由余弦定理可得,代入可得,由基本不等式可知,即,当且仅当时取等号,由三角形面积公式可得,所以四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用,余弦定理及不等式式求最值的综合应用,属于中档题.18.(I)x2=4aya>0,x-y+1=0【解析】
(I)利用所给的极坐标方程和参数方程,直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程;(II)联立直线的参数方程和C的直角坐标方程,结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.【详解】(I)曲线C:ρcos2可得ρ2cos2直线l的参数方程为x=-2+22t,x-y=-1,得x-y+1=0;(II)将x=-2+22t,y=-1+2t韦达定理:t1由题意得MN2=PM可得(t即32(a+1)解得a=【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化,以及参数方程的综合知识,结合等比数列,熟练运用知识,属于较易题.19.(1)(2)【解析】
(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程,用坐标表示出,得到,所以,代入韦达定理即可求解.【详解】(1)设,,则,设,由得.又由于,化简得的轨迹的方程为.(2)设直线的方程为,与的方程联立,消去得,,设,,则,,由已知,,则,故直线.,令,则,由于,,.所以,的取值范围为.【点睛】此题考查轨迹问题,椭圆和直线相交,注意坐标表示向量进行转化的处理技巧,属于较难题目.20.(1).(2)【解析】
(1)设A的坐标为A(x0,y0),由题意可得圆心C的坐标,求出C到直线x=1的距离.由半个弦长,圆心到直线的距离及半径构成直角三角形可得p的值,进而求出抛物线的方程;(2)将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理,进而求出中点G的坐标,再求出直线OG的斜率的表达式,换元可得斜率的取值范围.【详解】(1)设A(x0,y0)且y02=2px0,则圆心C(),圆C的直径|AB|,圆心C到直线x=1的距离d=|1|=||,因为|MN|=2,所以()2+d2=()2,即1,y02=2px0,整理可得(2p﹣4)x0=0,所以p=2,所以抛物线的方程为:y2=4x;(2)联立抛物线与圆的方程整理可得x2﹣2(5﹣p)x+16=0,△>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2(5﹣p),x1x2=16,所以中点G的横坐标xG=5﹣p,yG(),所以kOG(0<P<1),令t=5﹣p(t∈(4,5)),则kOG(),解得0<kOG,所以直线OG斜率的取值范围(0,).【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合,换元方法的应用,属于中档题.21.(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】
(1)由题意可得,,令,利用导数得在上单调递减,进而可得结论;(2)不等式转化为,令,,利用导数得单调性即可得到答案;(3)由题意可得,进而可将不等式转化为,再利用单调性可得,记,,再利用导数研究单调性可得在上单调递增,即,即,即可得到结论.【详解】(1),即,化简可得.令,,因为,所以,.所以,在上单调递减,.所以的最小值为.(2)要证,即.两边同除以可得.设,则.在上,,所以在上单调递减.在上,,所以在上单调递增,所以.设,因为在上是减函数,所以.所以
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