2023北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习-第七章 概率

2023北师大版新教材高中数学必修第一册

第七章概率

（全卷满分150分，考试用时120分钟）

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1.在天气预报中，有"降水概率预报"，例如预报"明天降水的概率为80%",则

（）

A.明天该地区有80%的地方降水，有20%的地方不降水

B.明天该地区降水的可能性为80%

C.气象台的专家中有80%的专家认为会降水，另外20%的专家认为不降水

D.明天该地区有80%的时间降水，其他时间不降水

2.抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出

的点数的差为X,则"X>4"表示试验的结果为（）

A.第一枚为5点，第二枚为1点

B.第一枚为6点，第二枚为1点或第一枚为1点，第二枚为6点

C.第一枚为6点，第二枚为1点

D.第一枚为1点，第二枚为6点

3.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P（A）=2-a,P（B）=4a-5,则

实数a的取值范围是（）

呜2）B©|）

C[?l]D.（|t

4.盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个,从中随机取出1个，若它是肉馅

包子的概率为|,它不是豆沙馅包子的概率为乙则素馅包子的个数为（）

A.lB.2C.3D.4

5.投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，在战国时期较为盛行.如

图为一幅投壶图，假设甲、乙、丙是三位投壶游戏参与者,且甲、乙、丙每次投壶

时投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投

中的概率为（）

315

A1C

3-8-2-D.8-

B.

6.古代"五行"学说认为:物质分"金、木、水、火、土"五种属性，"金克木，木

克土，土克水,水克火，火克金".从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽到的

两种物质不相克的概率为（）

A.1B.|C.|

23510

7.某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关每次闯关的过关率分别为翡数,只有

655Z

通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，目每关是否通过相互独

立.若某选手参加该节目，则他能进入第四关的概率为（）

A./B.|C.1|D.^

2552525

8.为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天

生产该产品的数量（单位:个），产品数量（单位:个）的分组区间为

[10,15）,[15,20）,[20,25）,[25,30）,[30,35]濒率分布直方图如图所示.工厂规定从生

产低于20个产品的工人中随机选取2名进行培训，则这2名工人不在同一组的

概率是（）

二、多项选择题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0

分）

9.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片，则

下列事件中与事件"2张卡片都为红色"互斥而不对立的事件为()

A.2张卡片都不是红色

B.2张卡片中恰有1张为红色

C.2张卡片中至少有1张为红色

D.2张卡片都为绿色

10.在一个古典概型中，若两个不同的随机事件A、B发生的概率相等，则称A和B

是"等概率事件"，如:随机抛掷一枚骰子一次，事件"朝上的面的点数为奇数"和

"朝上的面的点数为偶数"是"等概率事件".若事件C中只含有一个样本点，则

称事件C为基本事件.关于"等概率事件"，以下判断正确的是()

A.在同一个古典概型中，所有的基本事件之间都是"等概率事件"

B.若一个古典概型的事件总数大于2,则在这个古典概型中除基本事件外没有其

他"等概率事件"

C.因为所有必然事件的概率都是L所以任意两个必然事件都是"等概率事件”

D.同时抛掷三枚硬币一次则事件"仅有一次正面向上"和"仅有两次正面向上"

是"等概率事件"

11利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合

格品有70件，其余为不合格品.现在这个工厂随机抽查T牛产品，设事件A为"是

一等品"，B为"是合格品"(为"是不合格品"，则下列结果正确的是()

A.P(B)=(B.P(AUB)竦

C.P(AnB)=0D.P(AUB)=P(C)

12.已知事件A,B,且P(A)=0.6,P(B)=0.3,则下列结论正确的是()

A.如果BGA,那么P(AUB)=0.6,P(AB)=0.3

B.如果A与B互斥，那么P(AUB)=0.9,P(AB)=0

C.如果A与B相互独立，那么P(AB)=0

D.如果A与B相互独立，那么P(Z^)=0.28,P(XB)=0.12

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分洪20分.将答案填

在题中横线上)

13.A,B,C三人站成三角形相互传球，由A开始传球,每次可传给另外两人中的任

何一人按此规则继续往下传，传球4次后，球又回到A手中的传球方式的种数

为.

14.某人捡到了一个形状不规则的五面体石块,他在各个面上用数字1~5进行了

标记投掷100次，记录朝向桌面的数字彳导到如下数据：

朝向桌面的数字12345

频数3218151322

用频率估计概率，则朝向桌面的数字不小于4的概率为.

15.甲、乙二人进行射击游戏，目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝色，已知

甲击中红、黄、蓝区域的概率依次是|舄乙击中红、黄、蓝区域的概率依次是

制］二人射击情况互不影响,若甲、乙各射击一次，则二人命中同色区域的概率

624

为，二人命中不同色区域的概率为.（第一空2分,第二空3

分）

16.甲、乙两人投篮命中的概率分别为p,q,已知pg,且他们各投2次，甲比乙投

中次数多的概率为看则q的值为.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤）

17.（10分）现有8名马拉松志愿者（他们都只通晓一门外语），其中志愿者

Ai,A2,A3通晓日语,Bi,B2,B3通晓俄语,QC2通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和

英语的志愿者各1名，组成一个小组.

⑴列出该试验包含的所有样本点；

⑵求Ai被选中的概率；

⑶求Bi和G不全被选中的概率.

18.（12分）某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯，已知开关第一次闭合后，出现

红灯和出现绿灯的概率都是去从开关第二次闭合起，若前一次出现红灯，则下一次

出现红灯的概率是也出现绿灯的概率是|；若前一次出现绿灯,则下一次出现红灯的

概率是|,出现绿灯的概率是|•求：

（1）开关第二次闭合后出现红灯的概率；

（2）三次发光后，出现一次红灯、两次绿灯的概率.

19.（12分）下面是某市某年2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量

指数与空气质量等级对应表.某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到

该市出差，第二天返回（往返共两天）.

空气.质量理数

01234567891011121314日期

空气质量指数空气质量等级

小十或等十1UU优良

.UU且小于或等于15U轻度污染

.5U且小于或等于2UU中度污染

100且小于或等于300重度污染

大于300严重污染

(1)观察空气质量指数趋势图，你认为从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最

大?(只写出结论，不要求证明)

⑵求此人到达当日空气质量优良的概率；

(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率.

20.(12分)小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下

的两张表格：

项目A

10%5%

50%40%

项目B

10%5%

40%X

项目B的表格中两个数据丢失，现用x,y代替.调研时发现:投资A,B这两个项目的

平均利润率相同以下用频率代替概率AB两个项目的利润情况互不影响.

(1)求x,y的值,并分别求投资A,B项目不亏损的概率；

(2)小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资.现在小张与投

资方决定选择其中的一个项目进行投资,请你从统计学的角度给出一个建议，并阐

述你的理由.

21.(12分)某村为提高村民收益，种植了一批蜜柚，现为了更好地销售，从该村的蜜

柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量(单位:克)均分布在区间［1

500,3000］内，并绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间［1750,2000),［2000,2250)内的蜜

柚中随机抽取5个,再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2

000克的概率；

(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的

蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：

方案A:所有蜜柚均以10元/千克收购；

方案B:低于2250克的蜜柚以15元/个的价格收购，高于或等于2250克的蜜柚

以20元/个的价格收购.

请你通过计算为该村选择收益最好的方案.

22.（12分）某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用

电动交通工具出行,决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测

服务.现从全市已挂牌照的50000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免

费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四

个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，统计结果如图所示

Q）采用分层随机抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆,再从这9

辆车中随机抽取2辆，求至少有1辆为电动汽车的概率；

（2）为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为所有电动车车主发放补

助,标准如下:①每辆电动自行车补助300元;②每辆电动汽车补助500元;③对电

池需要更换的电动车每辆额外补助400元.试求抽取的100辆电动车执行此方案

的预算，并估计市政府执行此方案的预算.

答案与解析

第七章概率

1.13

2c由题意得"X>4"即"X=5",表示的试验结果为"第一枚为6点,第二枚

为1点”.故选C.

（0<2-a<1,

3.D由题意得{o<即0<4a-5<l,

（0<P（6+P（B）41,（0<3a-3<l,

1<a<2,

?<a<Up!<a4

{1<a<5，

所以实数a的取值范围是信J故选D.

4C由题意可知这个包子是肉馅或素馅的概率为看又它是肉馅包子的概率为I，

所以它是素馅包子的概率为言|4,故素馅包子的个数为10xA=3.

5c甲、乙、丙3人投中与否的所有情况有仲，中，中）,（中，中，不中）,（中,不中，

中）,（不中，中，中）,（中，不中，不中）,（不中用不中）,（不中，不中，中）,（不中，不中，不中）洪

8种，其中至多有1人投中的有仲，不中，不中）,（不中用不中）,（不中，不中，中）,（不中,

不中,不中），共4种,故所求概率为^

6.A从五种不同属性的物质中随机抽取两种,所有的抽法有10种，而相克的有5

种，则抽取的两种物质相克的概率是玄壬，故抽取的两种物质不相克的概率是1一

A3故选A.

7.P第一种情况:该选手一次性通过前三关，进入第四关，其概率为泌"|=|；第二

种情况:该选手通过前两关，第三关第一次没有通过，第二次通过，进入第四关，其概

率为伊3（1词胃胃.

所以该选手能进入第四关的概率为|+卷=奈故选D.

8C根据题中频率分布直方图可知,生产产品数量(单位:个)在［10,15),［15,20)内

的人数分别为5x0.02x20=2,5x0.04x20=4.设生产产品数量在［10,15)内的2

人分别是人后在［15,20)内的4人分别为C,D,E,F,则从生产低于20个产品的工人

中随机选取2名工人的样本点有

(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(

E,F),共15个，目这15个样本点发生的可能性相等，其中2名工人不在同一组的

样本点有(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F)^8个厕选取的2名工

人不在同一组的概率为出

9.ABD从6张卡片中一次任意取出2张卡片的所有情况有："2张卡片都为红

色”"2张卡片都为绿色""2张卡片都为蓝色""1张卡片为红色,1张卡片为

绿色""1张卡片为红色,1张卡片为蓝色""1张卡片为绿色,1张卡片为蓝

色”.选项中给出的四个事件中与"2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件为

"2张卡片都不是红色""2张卡片中恰有1张为红色""2张卡片都为绿色”,

其中"2张卡片中至少有1张为红色"包含事件"2张卡片都为红色"，故二者

并不互斥.

10.AP对于A,由古典概型的概念知，在同一个古典概型中,所有基本事件发生的

概率都相等，故在同一个古典概型中，所有的基本事件之间都是"等概率事件"，故

A正确;对于B,如在135,7,9这五个数中任取两个数，"所得两数和为8"和"所

得两数和为10"这两个事件发生的概率相等，故B错误;对于C,由题可知"等概

率事件"是针对同一个古典概型来说的，故C错误;对于D,同时抛掷三枚硬币一

次共有8种不同的结果，其中"仅有一次正面向上"包含3种结果，其概率为

也“仅有两次正面向上"包含3种结果，其概率为也故这两个事件是"等概率事

件"，故D正确.故选AD.

11.ABC由题意知A,B,C为互斥事件，故C正确;因为从100件产品中抽取符合

古典概型的条件，所以P(A)=言畤P(B)=^=春P(C)=M喘3=七则

P(AUB)=^P(C),故A、B正确,D错误.故选ABC.

12.ABD对于A,如果BwA,那么P(AUB)=P(A)=0.6,P(AB)=P(B)=0.3,故A正

确;对于B,如果A与B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)=0.9,P(AB)=0,故B正确；

对于C如果A与B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)=0.18,故C错误;对于D,如

果A与B相互独立，那么P(I

功二P(©P(动=0.4x0.7=0.28,PWB)=Pa)P(B)=0.4x0.3=0.12,故D正确.故选

ABD.

13答案6

解转A,B,C三人传球4次的所有结果用树状图表示如下:

由图可知，传球4次后，球又回到A手中的传球方式的种数为6.

14.答案0.35

解析朝向桌面的数字不小于4的频数为13+22=35,所以频率为需=0.35,用频

率估计概率,则所求概率为0.35.

15答案1Z-2.

上，口木60'20

解析设甲射中红、黄、蓝区域分别为事件A1,A2,A3,乙射中红、黄、蓝区域分

别为事件BI,B2,B3厕P(AI)=1P(A2)=|ZP(A3)=1P(BI)=1P(B2)=1P(B3)=1

,••二人射击情况互不影响，

.，二人命中同色区域的概率为

P(AiBi+A2B2+A3B3)=P(Ai)P(Bi)+P(A2)P(B2)4-P(A3)P(B3)=lxl+^xl+lxl=lZ；-

□O□Z□4oU

人命中不同色区域的概率为

P(A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+

P(A2)P(B3)+P(A3)P(Bi)+P(A3)-P(B2)=ixl+lxl+|xl+|xl+lxl+lxl=A.

16.答案|

解析甲比乙投中次数多的可能情形有两种:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2

次,乙投中1次或0次,分别记为事件A,B.P(甲投中1次)=pQ-p)+(l-p)pW，P(乙

投中0次)=Q-q)，所以P(A)W(l-q)2,P(甲投中2次)=p2=\p(乙投中1

次)=q(l-q)+(l-q)q=2q(l-q),所以P(B)Wx[2q(l-q)+(l-q)2],显然事件A,B互

斥，所以由甲比乙投中次数多的概率为[导P(A)+P(B)胃，即Xl-q)2+[x[2q(l-

q)+(l-q)2]吗，即9q2-36q+20=0,解得q=|或q=学(舍去).故q的值为|.

17.解析⑴该试验的样本空间

Q={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1ZB3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A

2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1

),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18个样本点.(3分)

(2)-.•每个样本点出现的机会相等，

这些样本点是等可能发生的，用M表示事件"A1被选中"，

则乂={61力1(1)始1心1(2)解1力2(1)始1力2(2)以1方3(1)依1方3(2)},含有6

个样本点,(5分)

二•A1被选中的概率P(M)=A=1.(6分)

⑶用N表示事件"Bi和Ci不全被选中"，则后表示事件"Bi和Ci全被选中"，

•.R={(ALBI,CI),(A2,BI,G),(A3,BLG)},含有3个样本点,(8分)

.B和J不全被选中的概率P(N)=1-A=|.(1O分)

18.解析⑴记"两次都出现红灯"为事件A,则P(A)W'A32分)

记"第一次出现绿灯，第二次出现红灯"为事件B厕P(B)Wx|=*4分)

以上两种情况彼此互斥，所以第二次出现红灯的概率为

P(AUB)=P(A)+P(B)=U^.(5分)

(2)依题意，三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的情况共有3种：

①依次出现绿、绿、红概率为£|x|彳;(7分)

②依次出现绿、红、绿，概率为界|x|V；(9分)

③依次出现红、绿、绿概率为界|x红春(11分)

以上3种情况彼此互斥，所以三次发光后，出现一次红灯、两次绿灯的概率为

白计卷成412分)

19.解析(1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.(4分)

⑵设Ai表示事件"此人于2月i日到达该市"(i=l,2,…,13).由题意可

知,P(Ai)=%且AinAj=0(iHjJ=12...,13).(6分)

设B表示事件"此人到达当日空气质量优良"，则

B=AiUA2UA3UA?UA12UA13,所以

P(B)=P(A1UA2UA3UA7UA12UA13)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A7)+P(A12)+P(A

13)=凝8分)

(3)设"此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染"为事件C即"此

人出差期间至少有一天的空气质量指数大于150且小于或等于300",

由题意可知

P(C)=P(A4UAsUAeUA7UAsUA9UA10UAn)=P(A4)+P(As)+P(Ae)+P(A7)+P(

As)+P(A9)+P(Aio)+P(Au)=^.(12分)

20.解析(1)投资项目A的平均利润率为10%x50%+5%x40%-

5%xl0%=0.065,(l分)

投资项目B的平均利润率为10%x40%+5%x-5%y=10%x40%+5%[x-(60%-

X)]=10%X40%+5%(2X-60%),(2分)

因为投资A,B这两个项目的平均利润率相同，

所以10%X40%+5%(2X-60%)=0.065,(3分)

解得x=55%,所以y=5%,(4分)

所以投资A项目不亏损的概率为50%+40%=90%,(5分)

投资B项目不亏损的概率为40%+55%=95%.(6分)

(2)建议选择B项目进行投资.理由：

由Q)得投资B项目不亏损的概率比较大.(8分)

投资A项目利润率的方差为Q0%-6.5%)2x50%+(5%-6.5%)2x40%+(-5%-

6.5%)2xl0%=2.025xl0-3,(9分)

投资B项目利润率的方差为(10%-6.5%)2x40%+(5%-6.5%)2x55%+(-5%-

6.5%)2x5%=1.275xl0-3,(10分)

所以投资A项目利润率的方差大于投资B项目利润率的方差，

即投资B项目的利润比较稳定.

综上，建议选择B项目进行投资.（12分）

21.解析Q）由题图可得蜜柚质量在区间［1750,2000）和［2000,2250）内的数

量之比为2:3,所以应分别在质量为口750,2000）,［2000,2250）内的蜜柚中抽

取2个和3个.（2分）

记抽取的质量在区间［1750,2000）的蜜柚分别为AiA,质量在区间［2000,2

250）内的蜜柚分别为BI,B2,B3,

则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有10

种:A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2BLA2B2,A