初中数学试题大全（六十）三角形难题

60初中数学组卷：三角形难题

一.选择题（共10小题）

1.4ABC中，AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点，过点P作PD_LAB于点

D,PELAC于点E,则PD+PE的长是（）

A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5

2.在如图所示的5X5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，aABC是格

点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与4ABC有一条公共边且全等的所

有格点三角形的个数是（）

3.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的

两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重

叠部分四边形EMCN的面积为（）

3499

4.如图，在4ABC和ABDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC=BD,

AB=ED,BC=BE,则NACB等于（）

E

BCD

A.ZEDBB.ZBEDC.工/AFBD.2ZABF

2

5.如图，4ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD1AC

6.如图，四边形ABCD中，AB=AD,AD〃BC,ZABC=60°,ZBCD=30°,BC=6,

那么4ACD的面积是（）

A.«B.返C.2V3D.当历

24

7.已知锐角三角形的边长是2,3,X,那么第三边x的取值范围是（）

A.l<x<V5B.V5<X<V13C.V13<X<5D.V5<X<V15

8.如图，有一ZXABC,今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C

为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点.若NB=40。，ZC=36°,则关于AD、

AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（）

A.AD=AEB.AD<AEC.BE=CDD.BE<CD

9.如图，在钝角^ABC中，分别以AB和AC为斜边向^ABC的外侧作等腰直角

三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分NAEB交AB于点M,取BC中点D,

AC中点N,连接DN、DE、DF.下列结论：①EM=DN；②SMDN=LS四边形ABDN；③

3

DE=DF；@DE±DF.其中正确的结论的个数是（）

10.如图，AABC中，NABC、NEAC的角平分线PA、PB交于点P,下列结论:

①PC平分NACF；

（2）ZABC+ZAPC=180°；

③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；

④NBAC=2NBPC.

其中正确的是（）

A.只有①②③B.只有①③④C.只有②③④D.只有①③

二.填空题（共10小题）

11.如图，四边形ABCD中，ZA=90°,AB=3a，AD=3,点M,N分别为线段BC,

AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E,F分别为DM,MN的中

点，则EF长度的最大值为

12.如图，AABC中，AB=AC,NBAC=54。，点D为AB中点，且OD^AB,ZBAC

的平分线与AB的垂直平分线交于点0,将NC沿EF（E在BC上，F在AC上）

折叠，点C与点。恰好重合，则NOEC为度.

13.如图，ZSABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G,若S&ABC=12,则图中

阴影部分的面积是

14.在^ABC中，AB=13cm,AC=20cm,BC边上的高为12cm,则4ABC的面积

为cm2.

15.如图，^ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交

于点。，则SAABO：SABCO：SACAO=

16.如图，^ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF_LAE于F,AB=5,AC=2,

则DF的长为

A

BDEC

17.如图，NB0C=9。，点A在OB上，且OA=1,按下列要求画图：

以A为圆心，1为半径向右画弧交0C于点Ai，得第1条线段AAi；

再以Ai为圆心，1为半径向右画弧交0B于点A2,得第2条线段A02；

再以A2为圆心，1为半径向右画弧交0C于点A3,得第3条线段A2A3；…

这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则

18.如图，^EAABC中，AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点，ZAOC=60°,

则当4PAB为直角三角形时，AP的长为.

19.已知AABC中，ZA=a.在图（1）中NB、NC的角平分线交于点01，则可

计算得NBO1C=9（T+La；在图（2）中，设/B、ZC的两条三等分角线分别对

2

应交于01、02,则NB02C=；请你猜想，当NB、NC同时n等分时，（n

-1）条等分角线分别对应交于01、。2,••.，On1，如图（3）,则NB0n-1C=（用

含n和a的代数式表示）.

A

图（2）图（3）

20.如图，在△AIBIJ中,已知AiB]=7,BiCi=4,AiCi=5,依次连接△AiBiJ二

边中点，得^A2B2c2,再依次连接4A2B2c2的三边中点得aAsB3c3,…，则aAsBsCs

三.解答题（共10小题）

21.如图1,在AABC中，NACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD,以

AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

（1）如果AB=AC,NBAC=90°,

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2,线段CF、BD所在直线的位

置关系为，线段CF、BD的数量关系为；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3,①中的结论是否仍然成立，并说明

理由；

（2）如果ABWAC,NBAC是锐角，点D在线段BC上，当NACB满足什么条件

时，CF1BC（点C、F不重合），并说明理由.

22.已知两个等腰Rt^ABC,RtACEF有公共顶点C,ZABC=ZCEF=90°,连接AF,

M是AF的中点，连接MB、ME.

(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时，求证：MB〃CF；

(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长；

(1)如图1,过点A作AF,AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断4CDF

的形状并证明；

(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,ZAPD

的匚度数是一个固定的值吗？「若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.

F_A

图1图2

24.(1)如图，在四边形ABCD中,AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分别是边BC、

CD上的点，且NEAF=LNBAD.

2

求证：EF=BE+FD；

BEC

(2)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分别是边BC、CD

(1)中的结论是否仍然成立?

(3)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、F分别是边BC、

CD延长线上的点，且NEAF=L/BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请

2

证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

25.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中NC=90。,

ZB=ZE=30°.

(1)操作发现

如图2,固定aABC,使ADEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空:

①线段DE与AC的位置关系是

②设aBDC的面积为Si，△AEC的面积为S2，则Si与S2的数量关系是.

图1图2

(2)猜想论证

当ADEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中均与S2的数量关

系仍然成立，并尝试分别作出了^BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明

小明的猜想.

(3)拓展探究

已知NABC=60。，点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE〃AB交BC于点E(如

图4).若在射线BA上存在点F,使SADCF=SABDE，请直接写出相应的BF的长.

26.已知：^ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC,点F在CE的

27.已知aABC中，AB=AC.

(1)如图1,在aADE中，若AD=AE,且NDAE=NBAC,求证：CD=BE；

(2)如图2,在4ADE中，若NDAE=NBAC=60°,且CD垂直平分AE,AD=3,CD=4,

求BD的长；

(3)如图3,在4ADE中，当BD垂直平分AE于H,且NBAC=2NADB时，试探

图1

28.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A,B重合），分别过

A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.

（1）如图1,当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是,QE与QF

的数量关系式;

（2）如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关

系，并给予证明；

（3）如图3,当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是

否成立？请画出图形并给予证明.

29.已知：在^ABC中，AC=BC,ZACB=90°,点D是AB的中点，点E是AB边

上一点.

（1）直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G（如图1）,求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M（如图2）,

找出图中与BE相等的线段，并证明.

30.CD经过NBCA顶点C的一条直线，CA=CB.E,F分别是直线CD上两点，且

ZBEC=ZCFA=Za.

(1)若直线CD经过/BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问

题：

①如图1,若NBCA=90°,Za=90°,

则BECF；EF|BE-AF|(填"V"或"=")；

②如图2,若0°<ZBCA<180°,请添加一个关于/a与NBCA关系的条

件,使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.

(2)如图3,若直线CD经过NBCA的外部，Na=NBCA,请提出EF,BE,AF

三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).

60初中数学组卷：三角形难题

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2015•黑龙江）△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点，过点P

作PDLAB于点D,PELAC于点E,则PD+PE的长是（）

A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5

【分析】过A点作AF_LBC于F,连结AP,根据等腰三角形三线合一的性质和勾

股定理可得AF的长，由图形得SABC=SABP+SACP，代入数值，解答出即可.

【解答】解：过A点作AFLBC于F,连结AP,

•..△ABC中,AB=AC=5,BC=8,

，BF=4,

,△ABF中，AF=^AB2_BF^3,

，LX8X3=LX5XPD+LX5XPE,

222

12=LX5X（PD+PE）

2

PD+PE=4.8.

故选:A.

【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三

角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想.

2.（2016•桐城市模拟）在如图所示的5X5方格中，每个小方格都是边长为1

的正方形，AABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与AABC有

一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）

【分析】根据全等三角形的判定分别求出以BC为公共边的三角形，以AB为公

共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可.

【解答】解：以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个,

以AC为公共边的三角形有1个，

共3+0+1=4个，

故选D.

【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解

此题的关键.

3.（2014•山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE,直角

三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边

长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为（）

F

A..2a2B.la2C.la2D.Aa2

3499

【分析】过E作EPLBC于点P,EQ_LCD于点Q,AEPM^AEQN,利用四边形

EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解.

【解答】解：过E作EPLBC于点P,EQ_LCD于点Q,

1AG

F

•.•四边形ABCD是正方形，

；.NBCD=90°,

又•.•NEPM=NEQN=90°,

，NPEQ=90°,

NPEM+NMEQ=90",

•.•三角形FEG是直角三角形，

,NNEF=NNEQ+NMEQ=90",

，NPEM=NNEQ,

VAC是/BCD的角平分线，NEPC=NEQC=90。，

，EP=EQ,四边形PCQE是正方形，

在△EPM和△EQN中，

'NPEM=/NEQ

<EP=EQ，

NEPM=/EQN

.,.△EPM四△EQN(ASA)

,,SAEQN=SAEPM，

，四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积,

•.•正方形ABCD的边长为a,

••AC=^2a,

VEC=2AE,

.•.EC=2忆,

3

，EP=PC=2a,

3

，正方形PCQE的面积=2ax2a=£2,

339

，四边形EMCN的面积=曳2,

9

故选：D.

【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键

是作出辅助线，证出△EPM之△EQN.

4.（2014•厦门）如图，在AABC和4BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE

于点F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则NACB等于（）

A.ZEDBB.ZBEDC.1.ZAFBD.2ZABF

2

【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得NACB与NDBE的关系，根据三角

形外角的性质，可得答案.

【解答】解:在^ABC和ADEB中，

"AC=BD

,AB二ED，

BC=BE

.,.△ABC^ADEB（SSS）,

，ZACB=ZDBE.

VZAFB是aBFC的外角,

，NACB+NDBE=NAFB,

NACB=LNAFB,

2

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质,

三角形外角的性质.

5.（2014•乐山）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点

上，BD1AC于点D.则BD的长为（）

【分析】利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度.

【解答】解：如图，由勾股定理得AC=G示质.

•.•±BCX2=ly\C»BD,gp±X2X2=J-XJfiBD

2222

/.BD=1叵

5

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积.利用面积法求得线段BD的长度

是解题的关键.

6.（2014•德阳）如图，四边形ABCD中，AB=AD,AD〃BC,ZABC=60°,ZBCD=30",

BC=6,那么4ACD的面积是（）

_______D

A.愿B.*C.2jjD.£百

【分析】如图，过点A作AE_LBC于E,过点D作DFJ_BC于F.构建矩形AEFD

和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，然后由三角

形的面积公式进行解答即可.

【解答】解：如图，过点A作AELBC于E,过点D作DFLBC于F.设AB=AD=x.

XVADABC,

...四边形AEFD是矩形，

，AD=EF=x.

在Rt^ABE中，ZABC=60°,则NBAE=30°,

.".BE=lAB=ix,

22_

DF=AE=7AB2-BE2=^X,

在Rt^CDF中，ZFCD=30°,贝ICF=DF・cot30°=当.

2

又•:BC=6,

BE+EF+CF=6,即_LX+X+±X=6,

22

解得x=2

.•.△ACD的面积是：L\D・DF=L<X®=Ylx22=y,

2224

故选：A.

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角形.解

题的难点是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得AADC的底边AD

以及该边上的高线DF的长度.

7.（2015•黄冈中学自主招生）已知锐角三角形的边长是2,3,X,那么第三边x

的取值范围是（）

A.l<x<VsB.V5<x<V13C.V13<x<5D.V5<X<V15

【分析】根据勾股定理可知x的平方取值范围在2与3的平方和与平方差之间.

【解答】解：因为三角形是锐角三角形，所以2?+32>X2；22+X2>32,所以5<X2

<13,即遥<x<旧.

故选B.

【点评】本题考查了锐角三角形的三边关系定理，有一定的难度.

8.（2014・台湾）如图，有一△ABC,今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC

于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点.若NB=40。，ZC=36°,

则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（）

A.AD=AEB.AD<AEC.BE=CDD.BE<CD

【分析】由NCVNB利用大角对大边得到ABVAC,进一步得到BE+EDVED+CD,

从而得到BE<CD.

【解答】W：VZC<ZB,

，AB<AC,

VAB=BDAC=EC

.♦.BE+EDVED+CD,

/.BE<CD.

故选：D.

【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对

大角.

9.（2015・齐齐哈尔）如图，在钝角AABC中，分别以AB和AC为斜边向AABC

的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分NAEB交AB于点

M,取BC中点D,AC中点N,连接DN、DE、DF.下列结论：①EM=DN；②S△

CDN=&四.ABDN;③DE=DF；®DE±DF.其中正确的结论的个数是（）

3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①首先根据D是BC中点，N是AC中点N,可得DN是aABC的中位线,

判断出DN=^•历然后判断出EM」杷，即可判断出EM=DN；

②首先根据DN//AB,可得aCDNsABC；然后根据口桂点形，可得SACDN=15AABC，

所以SACDN=-^-S叫边胫ABDN，据此判断即可.

3

③首先连接MD、FN,判断出DM=FN,ZEMD=ZDNF,然后根据全等三角形判

定的方法，判断出AEMD之△DNF,即可判断出DE=DF.

④首先判断出吗sin45°q②DM=0A,NEMD=NEAF,根据相似计三角形

判定的方法，判断出△EMDsZXNEAF,即可判断出NMED=NAEF,然后根据N

MED+NAED=45°,判断出NDEF=45°,再根据DE=DF,判断出NDFE=45°,ZEDF=90°,

即可判断出DE1DF.

【解答】解：：口是BC中点，N是AC中点，

ADN是4ABC的中位线，

；.DN〃AB,且DN=^■期；

•••三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分NAEB交AB于点M,

，M是AB的中点，

*e,EM=g皿，

^-，/DN=yAB>

；.EM=DN,

二结论①正确；

：DN〃AB,

.,.△CDNSABC,

DN9AB，

△ABC，

13S四边形ABDN，

...结论②正确；

BDC

如图1,连接MD、FN,图1

•.•D是BC中点，M是AB中点，

ADM是AABC的中位线，

，DM〃AC,且DM=/AC；

•.•三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，

FN=yAO

XVDM=1AC,

，DM=FN,

VDM/7AC,DN〃AB,

•••四边形AMDN是平行四边形，

，NAMD=NAND,

又,.•NEMA=NFNA=90°,

；.NEMD=NDNF,

在AEMD和Z\DNF中，

，EM=DN

-NEMD=NDNF，

MD=NF

/.△EMD^ADNF,

，DE=DF,

...结论③正确；

如图2,连接MD,EF,NF,图2

•.•三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分NAEB,

.•.M是AB的中点，EM_LAB,

，EM=MA,ZEMA=90°,ZAEM=ZEAM=45°,

•EM.gV2

•,^rsin45可，

OD是BC中点，M是AB中点,

ADM是AABC的中位线，

，DM〃AC,且DM蒋AC；

•••三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点,

AFN=1.AC，ZFNA=90°,NFAN=NAFN=45。，

XVDM=1AC,

，DM=FN=^FA,

2

VZEMD=ZEMA+ZAMD=90°+ZAMD,

ZEAF=360°-ZEAM-/FAN-ZBAC

=360°-45°-45°-(180°-ZAMD)

=90°+ZAMD

/.ZEMD=ZEAF,

在AEMD和A/EAF中，

,EMDMM

<EA=FA=2

ZEMD=ZEAF

.'.△EMD^AZEAF,

/.ZMED=ZAEF,

VZMED+ZAED=45",

，NAED+NAEF=45°,

即NDEF=45°,

XVDE=DF,

/.ZDFE=45°,

二NEDF=180°-45°-45°=90°,

；.DE_LDF,

...结论④正确.

，正确的结论有4个：①②③④.

故选：D.

【点评】（1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形

的判定和性质的应用，要熟练掌握.

（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关

键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还

具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是45。，斜边上中线、

角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径

R,而高又为内切圆的直径.

（3）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是

要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

10.（2010•武汉模拟）如图，ZXABC中，NABC、NEAC的角平分线PA、PB交于

点P,下列结论：

①PC平分NACF；

②NABC+NAPC=180°；

③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；

④NBAC=2NBPC.

其中正确的是（）

A.只有①②③B.只有①③④C.只有②③④D.只有①③

【分析】过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边

的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等

的点在角的平分线上即可证明①正确；

根据四边形的内角和等于360。可以证明②错误；

根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正

确；

利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用AABC与APBC写出

关系式整理即可得到④正确.

【解答】解：如图，过点P作PM_LAB,PN±BC,PD±AC,垂足分别为M、N、

D,

①YPB平分NABC,PA平分NEAC,

，PM=PN,PM=PD,

，PM=PN=PD,

...点P在NACF的角平分线上(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)，

故本小题正确；

②PN1BC,

/.ZABC+90°+ZMPN+90°=360°,

.,.ZABC+ZMPN=180°,

很明显NMPNWNAPC,

,NABC+NAPC=180°错误，

故本小题错误；

③在RSAPM与RQAPD中，［虹=AP,

lPM=PD

ARtAAPM^RtAAPD(HL),

；.AD=AM,

同理可得RtACPD^RtACPN,

；.CD=CN,

，AM+CN=AD+CD=AC,

故本小题正确；

④「PB平分/ABC,PC平分NACF,

NACF=NABC+NBAC,NPCN」NACF=NBPC+LNABC,

22

/.ZBAC=2ZBPC,

故本小题正确.

综上所述，①③④正确.

故选B.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两

边距离相等的点在角的平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一

个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只

要仔细分析便不难求解.

二.填空题（共10小题）

11.（2015•广州）如图，四边形ABCD中，ZA=90°,AB=3仃，AD=3,点M,N

分别为线段BC,AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E,F分别为

DM,MN的中点，则EF长度的最大值为3.

【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=4N,从而可知DN最大时，EF最大,

2

因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6,从而求得EF的

最大值为3.

【解答】解：YED=EM,MF=FN,

，EF=LDN,

2

，DN最大时，EF最大，

YN与B重合时DN最大，

止匕时

DN=DB=AyA[)2+AB2=6,

，EF的最大值为3.

故答案为3.

【点评】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题

的关键.

12.(2013•烟台)如图，ZXABC中，AB=AC,ZBAC=54°,点D为AB中点，且

OD±AB,ZBAC的平分线与AB的垂直平分线交于点。，将NC沿EF(E在BC

上上，F在AC上)折叠，点C与点。恰好重合，则NOEC为108度.

【分析】连接OB、OC,根据角平分线的定义求出NBAO,根据等腰三角形两底

角相等求出NABC,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得

0A=OB,根据等边对等角可得NABO=NBAO,再求出/OBC,然后判断出点。是

△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC,再根据等边对等角求出N

OCB=ZOBC,根据翻折的性质可得OE=CE,然后根据等边对等角求出NCOE,再

利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.

【解答】解：如图，连接OB、OC,

VZBAC=54°,AO为NBAC的平分线，

，ZBAO=1ZBAC」X54°=27°,

22

XVAB=AC,

，/ABC=L(180°-ZBAC)=2(180°-54°)=63°,

22

...DO是AB的垂直平分线，

AOA=OB,

.,.ZABO=ZBAO=27°,

/.ZOBC=ZABC-ZABO=63°-27°=36°,

VAO为NBAC的平分线，AB=AC,

.,.△AOB^AAOC(SAS),

.,.OB=OC,

.•.点。在BC的垂直平分线上，

又YD。是AB的垂直平分线，

.•.点O是Z\ABC的夕卜心,

.,.ZOCB=ZOBC=36°,

•.•将NC沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点。恰好重合,

，OE=CE,

/.ZCOE=ZOCB=36°,

在△OCE中，ZOEC=1800-ZCOE-ZOCB=180°-36°-36°=108°.

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等

腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较

强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键.

13.（2015•广东）如图,AABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G,若SAABC=12,

则图中阴影部分的面积是4.

【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知4ABC的面积

即为阴影部分的面积的3倍.

【解答】方法1

解：:△ABC的三条中线AD、BE,CF交于点G,

•e•SACGE=SAAGE=-^SAACF，SABGF=SABGD=-^-SABCF，

33

**SAACF=SABCF=-^-SAABC=—12=6，

22

•e•SACGE=-^-SAACF=1X6=2,SABGF=4BCF=LX6=2,

3333

•"S阴影=SACGE+SABGF=4.

故答案为4.方法2

设^AFG,ABFG,ABDG,ACDG,ACEG,aAEG的面积分别为SI，S2,S3,S4,

S5,S6，根据中线平分三角形面积可得：S1=S2,S3=S4,S5=S6,S1+S2+S3=S4+S5+S6

①，S2+S3+S4=S1+S5+S6(2)

由①-②可得S1=S4,所以S1=S2=S3=S4=S5=S6=2,故阴影部分的面积为4.

【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，4BGF

的面积=4BGD的面积=4CGD的面积，4AGF的面积=Z^AGE的面积=Z\CGE的面

积.

14.（2015•黄冈）在AABC中，AB=13cm,AC=20cm,BC边上的高为12cm,则

△ABC的面积为126或66cn?.

【分析】此题分两种情况：NB为锐角或NB为钝角已知AB、AC的值，利用勾

股定理即可求出BC的长，利用三角形的面积公式得结果.

【解答】解：当NB为锐角时（如图1）,

在RtAABD中，

BD=VAB2-AD132-12，

在RtAADC中,

CD=VAC2-AD202-122=160,71，

.*.BC=21,

=x2

SAABc=y»BC*AD7r21X12=126cm；

当NB为钝角时（如图2）,

在RtAABD中，

BD=VAB2-AD132-12，

在RtAADC中，

CD=7AC2-AD202-122=160,71，

ABC=CD-BD=16-5=llcm,

SAABc=y«BC»AD=7rx11X12=66cm2,

故答案为：126或66.

【点评】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是

解答此题的关键.

15.（2012•通辽）如图，^ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三

条角平分线父于点。，则SAABO：SABCO：SACAC=4：5：6.

B

AC

【分析】首先过点0作OD±AB于点D,作OE±AC于点E,作OFLBC于点F,

由OA,OB,OC是4ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF,

又由的三边、、长分别为、、即可求得S^ABO：

AABCABBCCA405060,SABco：S

ACAO的值.

【解答】解：过点。作ODLAB于点D,作OE_LAC于点E,作OFLBC于点F,

VOA,OB,OC是AABC的三条角平分线，

，OD=OE=OF,

,.'△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,

ASAABO：SABCO：SACAO=(XAB«OD)：(J-BC*OF)：(LC・OE)=AB：BC：AC=40：

222

50：60=4：5：6.

故答案为：4：5：6.

【点评】此题考查了角平分线的性质.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法,

注意数形结合思想的应用.

16.(2013•乌鲁木齐)如图，ZiABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF1AE

于F,AB=5,AC=2,则DF的长为—旦

【分析】延长CF交AB于点G,证明4AFG0△AFC,从而可得aACG是等腰三

角形，GF=FC,点F是CG中点，判断出DF是4CBG的中位线，继而可得出答案.

【解答】解：延长CF交AB于点G,

VAE平分NBAC,

/.ZGAF=ZCAF,

VAF垂直CG,

，ZAFG=ZAFC,

在4AFG和4AFC中，

，ZGAF=ZCAF

'•'*AF=AF，

,ZAFG=ZAFC

.,.△AFG^AAFC(ASA),

；.AC=AG,GF=CF,

又•.•点D是BC中点，

ADF是Z\CBG的中位线，

.•.DF=1BG=L(AB-AG)=L(AB-AC)=W.

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，同学

们要注意培养自己的敏感性，一般出现即是角平分线又是高的情况，我们就需要

寻找等腰三角形.

17.（2015•河北）如图，ZBOC=9",点A在OB上，且OA=1,按下列要求画图:

以A为圆心，1为半径向右画弧交0C于点Ai，得第1条线段AAi；

再以Ai为圆心，1为半径向右画弧交0B于点A2,得第2条线段A1A2；

再以A2为圆心，1为半径向右画弧交0C于点A3,得第3条线段A2A3；…

这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得NAiAB的度数，

NA2Ale的度数，NA3A2B的度数，NA4A3c的度数，…，依此得到规律，再根据

三角形外角小于90。即可求解.

【解答】解：由题意可知：AO=AiA,A】A=A2AI，…，

则NA0Ai=N0AiA,ZAIAA2=ZAIA2A,...»

VZBOC=9°,

/.ZAiAB=18",NA2Ale=27°,NA3A2B=36°的度数，NA4A3c=45°,

.,.9°n<90°,

解得n<10.

由于n为整数，故n=9.

故答案为：9.

【点评】考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的

性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

18.（2015・南昌）如图，在^ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个

动点，ZAOC=60°,则当4PAB为直角三角形时，AP的长为2立或2区或2.

【分析】利用分类讨论，当NABP=90。时，如图2,由对顶角的性质可得NAOC=

ZBOP=60°,易得NBPO=30。，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当N

APB=90。时，分两种情况讨论，情况一：如图1,利用直角三角形斜边的中线等

于斜边的一半得出PO=BO,易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得

AP的长；易得BP,利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3,利用直角三角

形斜边的中线等于斜边的一半可得结论.

【解答】解:当NAPB=90。时（如图1）,

VAO=BO,

/.PO=BO,

VZAOC=60°,

.,.ZBOP=60°,

.•.△BOP为等边三角形，

VAB=BC=4,

.*.AP=AB«sin60°=4X醇2行；

当NABP=90。时（如图2）,

VZAOC=ZBOP=60°,

AZBPO=30°,

•*-BP=_0^_=方2代,

tan30°V3

3

在直角三角形ABP中，

AP1（距）2+产而,

情况二：如图3,..10=80,NAPB=90°,

.•.P0=A0,

*/ZA0C=60o,

...△A0P为等边三角形,

,-.AP=A0=2,

故答案为：2dm或2行或2.

【点评】本题主要考查了勾股定理，含30。直角三角形的性质和直角三角形斜边

的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键.

19.(2012•拱墅区二模)已知^ABC中，ZA=a.在图(1)中/B、/C的角平

分线交于点01，则可计算得NBOiC=9(T+La；在图(2)中，设/B、NC的两

2

条三等分角线分别对应交于01、02,则NB0Q60。+行；请你猜想，当NB、

3_―

ZC同时n等分时，(n-1)条等分角线分别对应交于01、5,…，0nl,如图

(3),则NB0rl姆-1)a逑。­(用含n和a的代数式表示).

nn

【分析】根据三角形的内角和等于180。用a表示出(NABC+NACB),再根据三

等分的定义求出(NO2BC+NO2CB),在AOzBC中，利用三角形内角和定理列式

整理即可得解；

根据三角形的内角和等于180。用a表示出(NABC+NACB),再根据n等分的定

义求出(NOn-iBC+NOniCB),在△OtviBC中，利用三角形内角和定理列式整理

即可得解.

【解答】解：在ZXABC中，♦.•NA=a,

.,.ZABC+ZACB=180°-a,

•.•O2B和02c分别是NB、NC的三等分线，

.,.ZO2BC+ZO2CB=-2(ZABC+ZACB)=2(180°-a)=120°-In；

333

，NB。2c=180。-(ZO2BC+ZO2CB)=180°-(120°-In)=60°+2a；

33

在△ABC中，VZA=a,

.,.ZABC+ZACB=180°-a,

VOn.iB和OnrC分别是NB、NC的n等分线，

/.Z0n-1BC+ZOn-ICB=2T±(ZABC+ZACB)=2T±(180°-a)=180°(n-1)-

nnn

(nT)。

n

/.ZBOn-iC=180°-(ZOn-iBC+ZOn-iCB)=180°-(180°(n-1)-(nT)a)

nn

=(n-l)a+180°

nn

故答案为：60°+2a；(n-1)a+180’.

3nn

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n

等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键.

20.(2015•珠海)如图，在△A1B11中，已知AiBi=7,BiJ=4,AQ=5,依次连

接△A1B1C1三边中点，得4A2B2c2,再依次连接4A2B2c2的三边中点得4A3B3c3,…,

则aAsB5c5的周长为1.

【分析】由三角形的中位线定理得：A2B2>B2c2、C2A2分别等于A$1、BICI、C1A1

的一半，所以4A2B2c2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出4

A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的」尸

24

【解答】解：•.•A2B2、B2c2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，

以此类推：AASB5c5的周长为△A1B1C1的周长的」「，

24

.•.则^AsB5c5的周长为(7+4+5)4-16=1.

故答案为：1

【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理

得：A2B2>B2c2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、QA］的一半,所以aAzB2c2的周长等

于△AiBiJ的周长的一半.

三.解答题(共10小题)

21.(2015•于洪区一模)如图1,在aABC中，ZACB为锐角，点D为射线BC

上一点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

(1)如果AB=AC,ZBAC=90°,

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2,线段CF、BD所在直线的位

置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3,①中的结论是否仍然成立，并说明

理由；

（2）如果ABWAC,NBAC是锐角，点D在线段BC上，当NACB满足什么条件

时，CF±BC（点C、F不重合），并说明理由.

【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.由正方形ADEF的性

质可推出4DAB丝△FAC,所以CF=BD,ZACF=ZABD.结合NBAC=90°,AB=AC,

得至【J/BCF=NACB+/ACF=90°.即CF1BD.

（2）当NACB=45。时，过点A作AGLAC交CB的延长线于点G,则NGAC=90。，

可推出NACB=NAGC,所以AC=AG,由（1）①可知CFLBD.

【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF,

VZBAC=ZDAF=90",

/.ZBAD=ZCAF,

又•；AB=AC,

.'.△DAB^AFAC,

，CF=BD,ZB=ZACF,

.,.ZACB+ZACF=90°,即CF_LBD.

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.

由正方形ADEF得AD=AF,