高二数学寒假作业5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

(1)i为虚数单位，复数二一的虚部是()

1-i

111.1.

A.—.B.C.—iD.-i

2222

(2)已知集合知=卜卜2<x<3},N={x|lg(x+2)>0},则Mp|N=()

A.(—2,4-oo)B.(—2,3)C.(-2,-1]D.[—1,3)

(3)向量7=(3,T),而=(6,—3),反=(2利,〃z+l).若4百//。6,则实数〃z的值为()

133

A.-3B.——C.——D.-

755

(4)已知命题p：VXGR.x2+x-l>0；命题q：BxeR,sinx+cosx=V2.

则下列判断正确的是()

A.—是假命题B.q是假命题C.是真命题D.(-是真命题

(5)若直线y=x+m与圆f+y2+4x+2=。有两个不同交点则实数机的取值范围是()

A.(2-V2,2+V2)B.(T,0)

C.(-2->/2,-2+^2jD.(0,4

(6)某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三

视图如图所示，则这个几何体的体积为

A.4B.4>/2C.60D.8

(7)抛物线y2=2px(〃>0)的焦点为尸，已知点A,B为卜-五十白

抛物线上的两个动点，且满足NAFB=120°.过弦AB的中点M

作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则\M*N」\的最大值为

I

.V32G

A.--B.1C.---D.2

33

(8)已知函数/(X)=2X+1,XGN.若mXo，〃eN,使/(/)+/(尤0+1)+-+/(/+〃)=63成

立，则称(为，〃)为函数/(x)的一个“生成点”.函数/(x)的“生成点”共有

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

(9)在等比数列｛4｝中，2/一4a4=°，则%=，｛d｝为等差数列，且4=生，则

数列｛〃｝的前5项和等于.

(10)在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边.已知角A为锐角，且人=3asin6,

则tanA=.

(11)执行如图所示的程序框图，输出的结果S=.

V-2

(12)以双曲线——：/=i的右焦点为焦点，顶点在原点

3

的抛物线的标准方程是.

(13)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足

/(x+2)=f(x).当X€[0川时，/(x)=2x.若在区间

[-2,3]上方程ax+2a-/(%)=0恰有

四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是.

(14)在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆

x2-4x+y2=0(2WxW4)上的一个动点，点C在线

段。4的延长线上.当土联花=20时，则点C的纵坐标

的取值范围地

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

(15)(本小题满分13分)

己知函数/O)=^sin④c—sin2詈+5(«>0)的最小正周期为限

(I)求o的值及函数/(x)的单调递增区间；

7T

(II)当xe[0,1]时，求函数/(x)的取值范围.

（16）（本小题满分13分）

国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表:

空气质量指数0-5051-100101-150151-200201-300300以上

空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染

由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用

茎叶图表示如下：

甲城市乙城市

52

431

73558

578

610

（I）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出

结果）；

（II）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；

（III）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率.

（注：?=-[（%,-I）?+（々-I）?+…+（X„-X）2],其中工为数据玉,马，…，当的平均数•）

n

(17)(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P-ABC。中，平面R4C_L平面A8C0,且Q4_LAC,PA=AD=2.四

边形ABC。满足BC〃AD,AB±AD,AB=BC=1.点瓦E分别为侧棱P&PC上的点，且

PEPF

PBPC

(I)求证：E/7〃平面PA。；

(II)当；1=,时，求异面直线5E与CD所成角的余弦值；

2

(III)是否存在实数4,使得平面AED_L平面PC。？若存在,

试求出；I的值；若不存在，请说明理由.

(18)(本小题满分13分)

数列｛4｝中，4=8,4=2，且满足为+2—2。,用+%=。

(1)求数列的通项公式；

⑵设S'=|“]|+|。21+…I，求S”.

(19)(本小题满分14分)

已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆。过点(1,日)，离心率为坐，点A为其右顶点.过点

B(LO)作直线/与椭圆C相交于E,尸两点，直线AE,AE与直线尤=3分别交于点M,N.

(I)求椭圆。的方程；

(II)求巨必•丽的取值范围.

(20)(本小题满分13分)

设r=(x,,x2,---,xl0)是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义

10

S(r)=Zl2xk-3x«+||,其中X]।=%.

t=i

(I)若i=(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1),求S(r)的值；

(ID求S(r)的最大值；

(HI)求使S(r)达到最大值的所有排列r的个数.

答案

一、选择题:

题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

答案ADADDDAB

二、填空题:

题号(9)(10)(11)(12)(13)(14)

V2

2()

答案2,1020y=8x?t[-5,5]

4

(注：两空的填空，第一空3分，第二空2分)

三、解答题：

(15)(本小题满分13分)

s、，/、V3.1-coscox1

解：(IT)/(x)=——sins-----------1--

222

G.1

=——sins+—coscox

22

Ti

=sin(s+—)..................................4分

6

因为/(幻最小正周期为兀，所以。=2.........................6分

所以/(幻=sin(2x+—).

6

ITJT7TJTIT

由2Z兀——<2x+—<2Zc7t+—,keZ,得女兀——<x<kn+-.

26236

TTTT

所以函数/(x)的单调递增区间为[k兀—2,Zn+乙],左eZ.............8分

36

7TTT7t77r

(II)因为xw[0,1]9所以2%H—G[—,—],..........................10分

2666

1兀

所以——<sin(2x+—)<1................................12分

26

Tl1

所以函数/(x)在[0,^]上的取值范围是[―5,1].......................13分

(16)(本小题满分13分)

解：(I)甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差..........3分

3

(II)根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为二,

5

3

则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为g.............6分，

(III)设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相

同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记

为：

(29,43),(29,41),(29,55),(29,58)(29,78)

(53,43),(53,41),(53,55),(53,58),(53,78),

(57,43),(57,41),(57,55),(57,58),(57,78),

(75,43),(75,41),(75,55),(75,58),(75,78),

(106,43),(106,41),(106,55),(106,58),(106,78).

其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29,乙41,乙43,同为2

级良的为甲53,甲57,甲75,乙55,乙58,乙78.

则空气质量等级相同的为：

(29,41),(29,43),

(53,55),(153,58),(53,78),

(57,55),(57,58),(57,78),

(75,55),<(75,58),(75,78).共11个结果.

则尸(A)=—

25

所以这两个城市空气质量等级相同的概率为u.

13分

25

(17)(本小题满分14分)

PEPF,

证明：(I)由已知,---=----=A

PBPC

所以EF//BC.

因为5C〃AD,所以

而平面P4D,ADu平面B4O,

所以EF〃平面Q4O..................4分

(II)因为平面ABCDJL平面PAC,

平面ABCOQ平面Q4C=AC,且Q4JLAC,

所以。4_1_平面ABCD.

所以PA±AD.

又因为A6_LA£>,

所以PA,AB,AD两两垂

直............................

..........................5分

如图所示，建立空间直角坐标系，

因为AB=BC=1,PA=AD=2,

所以A(0,0,0),B(l,0,0),

C

x

C(l,l,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

当九=1时，/为PC中点,

2

所以心,，）,

22

所以丽=（」2/）,而=（-1,1,0）.

22

设异面直线8尸与CO所成的角为，,

所以异面直线BF与8所成角的余弦值为去

9分

(HI)设产(Xo，%,Zo),则Pf'=(x(J,%,z()—2),PC=(l,l,-21

由已知PF=APC,所以(x0,y0,z0-2)=2(1,1,-2),

Xo=Z

所以■%=4,所以而=Gl,Z2-22).

z0=2-2A.

设平面AED的一个法向量为n1=(x，,，4),因为正=(0,2,0),

fn1-AF=0,fAx,+Ay,+(2-22)z,=0,

所以<—.即<cc

■.AO=0.2y=0.

令4=2,得ii]=(2A—2,0,2).

设平面PC。的一个法向量为%=(々,%，22)，因为丽=(0,2,-2),诙=(-1,1,0),

叫•丽=0,即12%-2Z2=0,

所以

%.丽=0.\-x2+y2=°-

令尤2=1，则%=(1,1,1).

2

若平面AED_L平面PC0,则n「%=0,所以(24—2)+4=0,解得;1=§.

2

所以当4=一时，平面AED_L平面尸CQ......................................................14分

3

(18)(本小题满分13分)

解：⑴%+2-2%+]+4=0。〃+2-4+1=”〃+1一%

・•・｛。〃+1-。〃｝为常数列，・・・｛2｝是以％为首项的等差数列，

2-8

设口〃=%+(〃-1)4,2=a\+3。，，d=3=-2，**-a〃=10—2〃.

(2)Van=10-2n,令。〃=0,得〃=5.

当〃>5时，。〃<。；当〃=5时，。〃=0;当〃<5时，。〃>0.

，当〃>5时，Sn=|%|+1。/+…+1a〃|=4+4+…+%—(4+%+…+。〃)

=4-(T〃-&)=24-&7；=4+%+・・・+〃〃・

当〃《5时，S〃=|q|+1a21T-----卜Ia〃I=4+4+…+4=人，

.S」9〃-"2'545)

”"一[〃2-9〃+40,(〃>5).

(19)(本小题满分14分)

22

解：(I)设椭圆的方程为二+5=1(。>人>0),

ab

a2^b2+c2,

c_G

依题意得《,解得。2=4,〃=1

a2

13

la24b2=1

所以椭圆的方程喘』.

C+y4分

(II)显然点A(2,0).

(1)当直线/的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，易得E(l,2—

2

M(3,--),/V(3,—),所以目面.标=1.6分

22

(2)当直线/的斜率存在时，由题意可设直线/的方程为y=Z(x-1),显然攵=0时，不符合题意.

由《/'得(4/+1)/—8/x+41-4=0.

2

X+4/-4=0

8k24/一4

设E(X|,X)/(/，％)，则%+々=.,2，九*12=.,2

^rK十1^TK十1

必

直线AE,AE的方程分别为：yX(x-2),y=(x-2),

%—2X-,一2

令x=3,则M(3,-^),N(3,%).

x,-2x,-2

所以由=(3—/』生里)，F7V=(3-X,~V2(3—2)).

210分

X-24—2

所以丽•丽=(3—百)(3—x,)+/(3—xj%(3-％2)

玉一2%2—2

=(3-xt)(3-x2)(l+)

(x,-2)(X2—2)

=(3—内)(3-x,)(1+k2-g-DL。)

■(%-2)(4-2)

、%工，一(%+

=[r尤-r3/(玉+9)+c9i]X口ri+人;2-।-।——X,)-+1-]1

%x9—2(2+%,)+4

4r48公

+1

4/_4=,、、“,24/+14女2+1

—z------3•—A-+9>(1+H・—)

4/+14公+14二一4c8k2

—2-+--4-----

4F+14r+1

=O+一3公

43)

16公+5,1

----；l"1-----i-----12分

16公+416/+4