2025版高考数学一轮复习单元评估检测二含解析新人教B版

PAGE单元评估检测(二)(第四章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图,角α的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1)交于其次象限的点PQUOTE,则cosα+sinα= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.由随意角三角函数的定义知sinα=QUOTE,又α是其次象限角,所以cosα=-QUOTE=-QUOTE,因此cosα+sinα=-QUOTE.2.(2024·全国卷Ⅰ)tan255°= ()A.-2-QUOTE B.-2+QUOTE C.2-QUOTE D.2+QUOTE【解析】选D.tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=QUOTE=QUOTE=2+QUOTE.3.(2024·遵义模拟)若sinQUOTE=-QUOTE,且α∈QUOTE,则sin(π-2α)= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为sinQUOTE=cosα=-QUOTE,α∈QUOTE,所以sinα=QUOTE,所以sin(π-2α)=sin2α=2sinαcosα=2×QUOTE×QUOTE=-QUOTE.4.(2024·衡水模拟)若cosQUOTE=QUOTE,则cos(π-2α)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.由cosQUOTE=QUOTE,得sinα=QUOTE,所以cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×QUOTE-1=-QUOTE.5.(2024·威海模拟)函数y=sinQUOTE的图象可由y=cos2x的图象如何得到 ()A.向左平移QUOTE个单位B.向右平移QUOTE个单位C.向左平移QUOTE个单位D.向右平移QUOTE个单位【解析】选B.y=sinQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE,所以把y=cos2x的图象向右平移QUOTE个单位,得到y=cosQUOTE的图象.6.(2024·烟台模拟)设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,B=2A,则b的取值范围为 ()A.(0,4) B.(2,2QUOTE)C.(2QUOTE,2QUOTE) D.(2QUOTE,4)【解析】选C.因为a=2,B=2A,所以0<2A<QUOTE,A+B=3A,所以QUOTE<3A<π,所以QUOTE<A<QUOTE,所以QUOTE<A<QUOTE,所以QUOTE<cosA<QUOTE,因为a=2,B=2A,由正弦定理得QUOTE=QUOTEb=2cosA,即b=4cosA,所以2QUOTE<4cosA<2QUOTE,b的取值范围为(2QUOTE,2QUOTE).7.(2024·洛阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边经过点P(3,4),则sinQUOTE= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为角α的终边经过点P(3,4),所以sinα=QUOTE,cosα=QUOTE.所以sinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE=cosα=QUOTE.8.在△ABC中,AB=3,BC=QUOTE,AC=4,则边AC上的高为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.3QUOTE【解析】选B.由已知及余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE=QUOTE,边AC上的高h=ABsinA=QUOTE.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.下列函数中,是周期函数且最小正周期为2π的是 ()A.y=sinx+cosx B.y=sin2x-QUOTEcos2xC.y=cos|x| D.y=3sinQUOTEcosQUOTE【解析】选ACD.对于A,y=sinx+cosx=QUOTEsinQUOTE的最小正周期是2π,符合题意;对于B,y=sin2x-QUOTEcos2x=QUOTE(1-cos2x)-QUOTE(1+cos2x)=QUOTE-QUOTEcos2x的最小正周期是π,不符合题意;对于C,y=cos|x|=cosx的最小正周期是2π,符合题意;对于D,函数y=3sinQUOTEcosQUOTE=QUOTEsinx的最小正周期是2π,符合题意.10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个说法中正确的是 ()A.若QUOTE=QUOTE=QUOTE，则△ABC肯定是等边三角形B.若acosA=bcosB，则△ABC肯定是等腰三角形C.若bcosC+ccosB=b，则△ABC肯定是等腰三角形D.若a2+b2-c2>0，则△ABC肯定是锐角三角形【解析】选AC.由QUOTE=QUOTE=QUOTE，利用正弦定理可得QUOTE=QUOTE=QUOTE，即tanA=tanB=tanC，A=B=C，△ABC是等边三角形，A正确；由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB⇒sin2A=sin2B，2A=2B或2A+2B=π，△ABC是等腰或直角三角形，B不正确；由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinB，即sinQUOTE=sinB，sinA=sinB，则A=B，△ABC是等腰三角形，C正确；由余弦定理可得cosC=QUOTE>0，角C为锐角，角A，B不肯定是锐角，D不正确，故选AC.11.已知向量m=(sinx,-QUOTE),n=QUOTE,函数fQUOTE=m·n+QUOTE,下列说法正确的是 ()A.y=fQUOTE的最小正周期为πB.y=fQUOTE的图象关于点QUOTE对称C.y=fQUOTE的图象关于直线x=QUOTE对称D.y=fQUOTE的单调增区间为QUOTE(k∈Z)【解析】选AB.fQUOTE=m·n+QUOTE=sinxcosx-QUOTEcos2x+QUOTE=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x=sinQUOTE,其最小正周期为T=QUOTE=π,A正确;又sinQUOTE=0,因此f(x)图象关于点QUOTE对称,B正确;2x-QUOTE=kπ+QUOTE得x=QUOTE+QUOTE(k∈Z),因此x=-QUOTE是f(x)图象的一条对称轴,C错误;由2kπ-QUOTE≤2x-QUOTE≤2kπ+QUOTE,得kπ-QUOTE≤x≤kπ+QUOTE,即增区间为[kπ-QUOTE,kπ+QUOTE],k∈Z,D错误.12.将函数f(x)=2sinQUOTE-1的图象上各点横坐标缩短到原来的QUOTE(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法不正确的是 ()A.函数g(x)的图象关于点QUOTE对称B.函数g(x)的周期是QUOTEC.函数g(x)在QUOTE上单调递增D.函数g(x)在QUOTE上最大值是1【解析】选ABD.将函数f(x)=2sinQUOTE-1的图象上各点横坐标缩短到原来的QUOTE(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sinQUOTE-1的图象,由于当x=-QUOTE时,g(x)=-1,故函数g(x)的图象不关于点QUOTE对称,故A错误;函数g(x)的周期为QUOTE=π,故B错误;在QUOTE上,2x+QUOTE∈QUOTE,g(x)单调递增,故C正确;在QUOTE上,2x+QUOTE∈QUOTE,g(x)的最大值趋向于1,故D错误.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2024·雅安模拟)函数f(x)=QUOTEsin2x+QUOTE的图象在区间QUOTE上的对称轴方程为________.

【解析】因为函数f(x)=QUOTEsinQUOTE,所以令2x+QUOTE=QUOTE+kπ,k∈Z,即x=QUOTE+QUOTE,k∈Z,所以当k=0时,函数f(x)=QUOTEsinQUOTE的图象在区间QUOTE上的对称轴方程为x=QUOTE.答案:x=QUOTE14.如图,某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°,乙山山顶B的仰角为45°,∠APB的大小为45°,山脚P到山顶A的直线距离为2km,在A处测得山顶B的仰角为30°,则乙山的高度为________【解析】假设甲山底部为C,乙山底部为D,过A作AE⊥BD于点E.由题意可知∠APC=30°,∠BPD=45°,AP=2km,所以AC=AP·sin30°=1(km),DE=AC=1km,设BD=hkm,则DP=BD=hkm,BE=(h-1)km,所以BP=QUOTEhkm.因为∠BAE=30°,所以AB=2BE=(2h-2)km.在△ABP中,由余弦定理得:cos45°=QUOTE=QUOTE=QUOTE.解得h=2.所以乙山的高度为2km.答案:215.已知△ABC中,A=QUOTE,cosB=QUOTE,AC=8.则△ABC的面积为________;AB边上的中线CD的长为________.

【解析】因为cosB=QUOTE,且B∈(0,π),所以sinB=QUOTE=QUOTE.所以sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得AB=7QUOTE,所以△ABC的面积为S=QUOTEAB·AC·sinA=QUOTE×7QUOTE×8×QUOTE=28.在△ACD中,AD=QUOTE,所以由余弦定理得CD2=82+QUOTE-2×8×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以CD=QUOTE.答案:28QUOTE16.(2024·潮州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,BC边上的高为QUOTE,则QUOTE+QUOTE的最大值是________. 世纪金榜导学号

【解析】因为BC边上的高为QUOTE,所以QUOTE×QUOTE×a=QUOTEbcsinA,即a2=2bcsinA,QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=sinA+cosA=QUOTEsinQUOTE≤QUOTE,故QUOTE+QUOTE的最大值是QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在①B=A+QUOTE，②cosC=QUOTE这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求(1)a的值；(2)cos2C的值.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3QUOTE，cosA=QUOTE，_________.

【解析】选①.(1)因为cosA=QUOTE，所以sinA=QUOTE=QUOTE=QUOTE，因为B=A+QUOTE，所以sinB=sinQUOTE=cosA=QUOTE.由正弦定理得a=QUOTE=QUOTE=3.(2)因为B=A+QUOTE，所以cosB=-sinA=-QUOTE.所以sinC=sinQUOTE=sinAcosB+cosAsinB=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE，所以cos2C=1-2sin2C=1-QUOTE=QUOTE.选②.(1)因为cosA=QUOTE，所以sinA=QUOTE=QUOTE，因为cosC=QUOTE，所以sinC=QUOTE=QUOTE，所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.由正弦定理得a=QUOTE=QUOTE=3.(2)cos2C=2cos2C-1=2×QUOTE-1=QUOTE.18.(12分)(2024·天津模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=QUOTE.(1)求b和sinA的值.(2)求sinQUOTE的值.【解析】(1)在△ABC中,因为a>b,故由sinB=QUOTE,可得cosB=QUOTE.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=QUOTE.由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE=QUOTE.所以b的值为QUOTE,sinA的值为QUOTE.(2)由(1)及a<c,得cosA=QUOTE,所以sin2A=2sinAcosA=QUOTE,cos2A=1-2sin2A=-QUOTE.故sinQUOTE=sin2AcosQUOTE+cos2AsinQUOTE=QUOTE.19.(12分)(2024·山东新高考模拟)在△ABC中,∠A=90°,点D在BC边上,在平面ABC内,过D作DF⊥BC且DF=AC.(1)若D为BC的中点,且△CDF的面积等于△ABC的面积,求∠ABC.(2)若∠ABC=45°,且BD=3CD,求cos∠CFB.【解析】(1)如图所示,D为BC的中点,所以BD=CD.又因为S△ABC=S△CDF,即QUOTEAB×AC=QUOTECD×DF=QUOTEBC×AC,从而BC=2AB,又∠A=90°,从而∠ACB=30°,所以∠ABC=90°-30°=60°.(2)由∠ABC=45°,从而AB=AC,设AB=AC=k.则BC=QUOTEk.由BD=3CD,所以BD=QUOTEBC=QUOTEk,CD=QUOTEk.因为DF=AC=k,从而BF=QUOTE=QUOTEk,CF=QUOTE=QUOTEk.(方法一)由余弦定理得cos∠CFB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(方法二)cos∠DFB=QUOTE=QUOTE,从而sin∠DFB=QUOTE=QUOTE;cos∠DFC=QUOTE=QUOTE,从而sin∠DFC=QUOTE=QUOTE.所以cos∠CFB=cos(∠CFD+∠DFB)=QUOTE.20.(12分)在△ABC中,AC=2QUOTE,D是BC边上的一点.(1)若AD=1,QUOTE·QUOTE=3,求CD的长.(2)若∠B=120°,求△ABC周长的取值范围.【解析】(1)在△ADC中,AD=1,AC=2QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=|QUOTE||QUOTE|cos∠DAC=1×2QUOTE×cos∠DAC=3,所以cos∠DAC=QUOTE.由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠DAC=12+1-2×2QUOTE×1×QUOTE=7,所以CD=QUOTE.(2)在△ABC中由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4,所以AB+BC=4(sinA+sinC)=4QUOTE=4sinQUOTE,因为0<A<QUOTE,所以sinQUOTE∈QUOTE.所以AB+BC∈(2QUOTE,4]所以△ABC的周长的取值范围为(4QUOTE,4+2QUOTE].21.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=QUOTE,B=2A,b=3. 世纪金榜导学号(1)求a.(2)已知点M在边BC上,且AM平分∠BAC,求△ABM的面积.【解析】(1)由0<A<π,cosA=QUOTE,得sinA=QUOTE,所以sinB=sin2A=2sinAcosA=2×QUOTE×QUOTE=QUOTE,又由正弦定理得a=QUOTE=2.(2)cosB=cos2A=2cos2A-1=2×QUO