山西省2025届高三数学考前适应性试题理二模含解析

PAGE19-山西省2025届高三数学考前适应性试题理（二模）（含解析）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x∈Z||x|﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B＝（）A．{0} B．{﹣1，0，1} C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|﹣2＜x≤2}2．已知i为虚数单位，复数z满意zi＝2+i，则|z|＝（）A． B． C．2 D．43．已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为100，数据0.1x1，0.1x2，…，0.1xn的方差为（）A．0.1 B．1 C．10 D．1005．椭圆C的焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），直线l与C交于A，B两点，若＝2，•＝0，则C的方程为（）A． B． C． D．6．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥BC且PA＝BC＝1，PB＝AC＝，PC＝，则下列命题不正确的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．平面PAB⊥平面ABC C．平面PAC⊥平面PBC D．平面PAC⊥平面ABC7．在△ABC中，已知•＝3，△ABC的面积为2，则边BC的长有（）A．最大值2 B．最小值2 C．最大值2 D．最小值28．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明白勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）．如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积S1与大正方形面积S2之比为1：25，则cos（）＝（）A． B．﹣ C． D．﹣9．已知F为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，以点F为圆心，1为半径的圆与C的渐近线相切于点P（，t），则C的离心率为（）A． B． C．2 D．310．（1+）5（1+）5的绽开式中的常数项为（）A．1 B．32 C．192 D．25211．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinC＝，则△ABC外接圆面积的最小值为（）A． B． C． D．π12．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞）时，若f（x）≥1恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．（﹣1，0] D．[0，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知不等式组表示的平面区域是一个三角形区域，则实数k的取值范围是．14．若曲线y＝ln（3x﹣8）与曲线y＝x2﹣3x在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为．15．在锐角△ABC中，D为BC的中点，AB＝3，AC＝，且BCsinBcosC+ABsinBcosA＝AC，则AD＝．16．欲将一底面半径为cm，体积为3πcm3的圆锥体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相切的模具，如图所示，则打磨成的圆柱体和球体的体积之和的最大值为cm3．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每道试题考生都必需作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17．已知公差为正数的等差数列{an}满意a1+a2+a3＝9，且a2是a1与a3+4的等比中项．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn＝an•，求数列{bn}的前n项和．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PD＝AB＝2，四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的大小．19．为了适应教化改革新形势，某试验中学新建试验楼、置办试验仪器、开设学生爱好课堂，将分子生物学学问和技术引入其中，激发了广高校生的学习和科研热忱．现已知该生物科研爱好小组共有9名学生．在一次制作荧光标记小鼠模型时，将9名学生分成3组，每组3人．（1）若将试验进程分为三个阶段，各个阶段由一个成员独立完成．现已知每个阶段用时1小时，每个阶段各成员胜利率为．若随意过程失败，则该试验须重新起先．求一个组在不超过4个小时完成试验任务的概率；（2）现某小组3人代表学校组队外出参与生物试验竞赛，其中一项赛程为小鼠灌注试验．该赛程规则为：三人同时进行灌注试验，但每人只有一次机会，每个队员胜利的概率均为．若单个队员试验胜利计2分，失败计1分．①设小组总得分为X，求X的分布列与数学期望；②主办方预料通过该赛程了解全国生物爱好课程的开设状况．现从全部参赛队员中抽取n人成果计入总得分，若总得分大于n的概率为Kn，求数列{Kn}的前15项和．20．已知P为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一动点，F为C的焦点，定点Q（3，1）在C的内部，若|PQ|+|PF|的最小值为4．（1）求C的方程；（2）不经过原点的直线l与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），若以线段AB为直径的圆经过点F，且圆心在直线y＝﹣1上．证明：直线l与C在点A处的切线垂直．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2，a∈R．（1）探讨f（x）的单调性；（2）当a＞0时，函数f′（x）的最小值为﹣e（其中f′（x）为f（x）的导函数），求a的值．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：（t为参数），曲线C2：ρ＝ρcos2θ+cosθ．（1）求C1的一般方程与C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1，C2的公共点为A，B，O为坐标原点，求△OAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）证明：≥；（2）若a＞0，b＞0，求的最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A＝{x∈Z||x|﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B＝（）A．{0} B．{﹣1，0，1} C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|﹣2＜x≤2}解：∵A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：B．2．已知i为虚数单位，复数z满意zi＝2+i，则|z|＝（）A． B． C．2 D．4解：因为zi＝2+i，所以z＝＝，则|z|＝＝．故选：B．3．已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a解：∵20＞a＝＞2﹣1＝，∴＜a＜1，b＝＝log34＞log33＝1，c＝＜3﹣1＝，∴b＞a＞c．故选：C．4．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为100，数据0.1x1，0.1x2，…，0.1xn的方差为（）A．0.1 B．1 C．10 D．100解：∵数据x1，x2，…，xn的方差为100，∴数据0.1x1，0.1x2，…，0.1xn的方差为：0.12×100＝1．故选：B．5．椭圆C的焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），直线l与C交于A，B两点，若＝2，•＝0，则C的方程为（）A． B． C． D．解：由•＝0，知AF2⊥F1F2，∴A（1，），又∵＝2，∴B（﹣2，），∴且a2﹣b2＝1，解得a2＝5，b2＝4，故选：D．6．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥BC且PA＝BC＝1，PB＝AC＝，PC＝，则下列命题不正确的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．平面PAB⊥平面ABC C．平面PAC⊥平面PBC D．平面PAC⊥平面ABC解：由PA＝1，AC＝，PC＝，即PA2+AC2＝PC2，可得PA⊥AC，又PA⊥BC，AC∩BC＝C，所以PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，故B正确；PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，故D正确；由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AB，而PA＝1，PB＝，所以AB＝1，又BC＝1，AC＝，所以AB2+BC2＝AC2，即AB⊥BC，由PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，则BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB，故A正确；若平面PAC⊥平面PBC，过A作AH⊥PC，垂足为H，可得AH⊥平面PBC，则AH⊥BC，又BC⊥PA，所以BC⊥平面PAC，则BC⊥AC，与BC⊥AB冲突，故C错误．故选：C．7．在△ABC中，已知•＝3，△ABC的面积为2，则边BC的长有（）A．最大值2 B．最小值2 C．最大值2 D．最小值2解：•＝bccosA＝3①，∵S△ABC＝bcsinA＝2，∴bcsinA＝4②，由①②得＝，且sinA＞0，cosA＞0，又∵sin2A+cos2A＝1，∴sinA＝，cosA＝，∴bc＝5，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣6≥2bc﹣6＝10﹣6＝4，当且仅当b＝c＝时取等号，∴a2的最小值为4，即BC的最小值为2，无最大值．故选：D．8．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明白勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）．如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积S1与大正方形面积S2之比为1：25，则cos（）＝（）A． B．﹣ C． D．﹣解：设大正方形的边长为a，则正方形的面积，直角三角形的面积为：，由题意可得：，且：，∴，从而：．故选：D．9．已知F为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，以点F为圆心，1为半径的圆与C的渐近线相切于点P（，t），则C的离心率为（）A． B． C．2 D．3解：由题意，F（c，0），不妨设双曲线的渐近线方程为y＝，则F到y＝的距离为＝1，直线FP所在直线方程为y＝，联立，解得x＝，∴，得c＝，则a＝．∴e＝．故选：A．10．（1+）5（1+）5的绽开式中的常数项为（）A．1 B．32 C．192 D．252解：（1+）5（1+）5＝，它表示5个因式（2++）的乘积，故当其中有一个因式取，一个因数取，其余的3个因式都取2；或其中有2个因式取，2个因式取，剩下的一个因式取2，或全部的因式都取2，即可得到绽开式中的常数项．故绽开式中的常数项为••23+••2+25＝160+60+32＝252，故选：D．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinC＝，则△ABC外接圆面积的最小值为（）A． B． C． D．π解：因为2sinC＝＝＝a+b+≥2，当且仅当a+b＝1时取等号，所以sinC≥1，又sinC≤1，故sinC＝1，又＝，所以c2＝，所以△ABC外接圆面积即最小值．故选：A．12．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞）时，若f（x）≥1恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．（﹣1，0] D．[0，+∞）解：函数f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞），f（1）＝1．f′（x）＝ex﹣1﹣﹣a＝g（x），x∈[1，+∞），可得函数g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，f′（1）＝﹣a，令f′（1）＝﹣a≥0，解得a≤0．∴函数f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（1）＝1，满意题意．令f′（1）＝﹣a＜0，解得a＞0．存在x0＞1，使得f′（x0）＝0，∴函数f（x）在x∈[1，x0）上单调递减，∴f（x0）＜f（1）＝1，不满意题意，舍去．综上可得函数f（x）的取值范围为（﹣∞，0]．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知不等式组表示的平面区域是一个三角形区域，则实数k的取值范围是（﹣1，2）．解：约束条件作出可行域如图，直线kx﹣y+2＝0过定点（0，2），而不等式kx﹣y+2≥0表示的平面区域与坐标原点O在同侧，则要使不等式组表示的平面区域是一个三角形区域，则实数k的取值范围是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．14．若曲线y＝ln（3x﹣8）与曲线y＝x2﹣3x在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为y＝3x﹣9．解：曲线y＝ln（3x﹣8）与曲线y＝x2﹣3x的公共点为P（m，n），两曲线在公共点处相同的切线的斜率为k，因为y′＝[ln（3x﹣8）]′＝，（x2﹣3x）′＝2x﹣3，则k＝＝2m﹣3，解得m＝3或m＝，又3m﹣8＞0，故m＝3，代入n＝m2﹣3m得n＝0，所以k＝2×3﹣3＝3，于是该切线的方程为y﹣0＝3（x﹣3），整理得，y＝3x﹣9，故答案为：y＝3x﹣9．15．在锐角△ABC中，D为BC的中点，AB＝3，AC＝，且BCsinBcosC+ABsinBcosA＝AC，则AD＝．解：因为BCsinBcosC+ABsinBcosA＝AC，即asinBcosC+csinBcosA＝b，由正弦定理得，sinAsinBcosC+sinCsinBcosA＝sinB，因为sinB＞0，所以sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝，所以sinB＝，由题意得B为锐角，B＝60°，由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣ac，即7＝a2+9﹣3a，解得a＝1或a＝2，因为锐角三角形中，a2+b2＞c2，a＝1时明显不满意题意，故a＝2，BD＝1，所以AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcosB＝9+1﹣2×＝7，所以AD＝．故答案为：．16．欲将一底面半径为cm，体积为3πcm3的圆锥体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相切的模具，如图所示，则打磨成的圆柱体和球体的体积之和的最大值为cm3．解：如下轴截面图所示：设球的半径为r，圆锥的高为h，由圆锥的底面半径为3cm，所以，解得h＝3cm．则△ABC，△AFG为等边三角形，故可得FH＝，，，∵B＝，∴，∴圆锥体与球体体积之和为：V＝＝，则V′＝﹣23πr2+18πr，令V′＝0，解得r＝cm∴0＜r＜时，V′＞0，r＞时，V′＜0，∴r＝cm时，cm3，故答案为：．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每道试题考生都必需作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17．已知公差为正数的等差数列{an}满意a1+a2+a3＝9，且a2是a1与a3+4的等比中项．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn＝an•，求数列{bn}的前n项和．解：（1）设公差为d（d＞0）的等差数列{an}，由a1+a2+a3＝9，可得3a1+3d＝9，即a1+d＝3，①由a2是a1与a3+4的等比中项，可得a22＝a1（a3+4），即为（a1+d）2＝a1（a1+2d+4），②联立①②，可得a1＝1，d＝2，则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）bn＝an•＝（2n﹣1）•4n，数列{bn}的前n项和Sn＝1•4+3•42+5•43+...+（2n﹣1）•4n，4Sn＝1•42+3•43+5•44+...+（2n﹣1）•4n+1，两式相减可得﹣3Sn＝4+2（42+43+...+4n）﹣（2n﹣1）•4n+1＝4+2•﹣（2n﹣1）•4n+1，化简可得Sn＝•4n+1+．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PD＝AB＝2，四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】（1）证明：设AC交BD于O，连接PO，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，O为BD中点，又因为PB＝PD，所以BD⊥OP，又因为AC∩OP＝O，AC、OP⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC．（2）解：取AC中点M，连接MB、MD，因为PB＝AB＝BC，所以PC⊥MB，同理PC⊥MD，于是∠BMD为二面角B﹣PC﹣D的平面角，因为OP＝OA＝OC，所以AP⊥PC，PC＝，PM＝，MD＝MB＝，由余弦定理得，所以∠BMD＝90°，故二面角B﹣PC﹣D的大小为90°．19．为了适应教化改革新形势，某试验中学新建试验楼、置办试验仪器、开设学生爱好课堂，将分子生物学学问和技术引入其中，激发了广高校生的学习和科研热忱．现已知该生物科研爱好小组共有9名学生．在一次制作荧光标记小鼠模型时，将9名学生分成3组，每组3人．（1）若将试验进程分为三个阶段，各个阶段由一个成员独立完成．现已知每个阶段用时1小时，每个阶段各成员胜利率为．若随意过程失败，则该试验须重新起先．求一个组在不超过4个小时完成试验任务的概率；（2）现某小组3人代表学校组队外出参与生物试验竞赛，其中一项赛程为小鼠灌注试验．该赛程规则为：三人同时进行灌注试验，但每人只有一次机会，每个队员胜利的概率均为．若单个队员试验胜利计2分，失败计1分．①设小组总得分为X，求X的分布列与数学期望；②主办方预料通过该赛程了解全国生物爱好课程的开设状况．现从全部参赛队员中抽取n人成果计入总得分，若总得分大于n的概率为Kn，求数列{Kn}的前15项和．解：（1）一个组失误0次的概率为，仅第一步失误一次的概率为，则一个组在不超过4小时完成任务的概率为P＝P0+P1＝；（2）①X的可能取值为3，4，5，6，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝，所以X的分布列为：X3456PE（X）＝．②总分大小n的概率为，所以{Kn}的前15项和为．20．已知P为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一动点，F为C的焦点，定点Q（3，1）在C的内部，若|PQ|+|PF|的最小值为4．（1）求C的方程；（2）不经过原点的直线l与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），若以线段AB为直径的圆经过点F，且圆心在直线y＝﹣1上．证明：直线l与C在点A处的切线垂直．解：（1）过P作C的准线x＝﹣1的垂线，垂足为N，连接NQ，由抛物线的定义，可得|PN|＝|PF|，则|PQ|+|PF|＝|PQ|+|PN|≥|NQ|，当N，P，Q三点共线时，|NQ|取得最小值，所以3+＝4，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；（2）证明：设直线l的方程为x＝my+n（n≠0），且直线l与抛物线C交于A（x1，y1），B（x2，y2），由可得y2﹣4my﹣4n＝0，则△＝16m2+16n＞0，即m2+n＞0，又y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，可得x1+x2＝m（y1+y2）+2n＝4m2+2n，x1x2＝＝n2，所以圆心坐标为（2m2+n，2m），因为圆心在直线y＝﹣1上，所以2m＝﹣1，即m＝﹣．又因为以线段AB为直径的圆经过点F（1，0），所以•＝（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＝n2﹣（4m2+2n）+1﹣4n＝0，化简可得n2﹣6n＝0，可得n＝6（0舍去），所以直线l的方程为x＝﹣y+6，即2x+y﹣12＝0，且直线l的斜率为k1＝﹣2，由解得A（4，4），因为当y＞0时，抛物线y2＝4x在x轴上方曲线方程为y＝2，所以y′＝，则抛物线y2＝4x在A处的切线的斜率为k＝＝，因为直线l与切线的斜率的乘积为﹣2×＝﹣1，所以直线l与抛物线在A处的切线垂直．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2，a∈R．（1）探讨f（x）的单调性；（2）当a＞0时，函数f′（x）的最小值为﹣e（其中f′（x）为f（x）的导函数），求a的值．解：（1）f′（x）＝xex﹣2ax＝x（ex﹣2a），（i）当a≤0时，ex﹣2a＞0，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，（ii）当0＜a＜时，由ex﹣2a＝0，得x＝ln（2a）＜0，f（x）在区间（﹣∞，ln（2a））上单调递增，在（ln（2a），0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，（iii）当a＝时，由ex﹣2a＝0，得x＝ln（2a）＝0，f（x）在R上单调递增，（iV）当a＞时，由ex﹣2a＝0，得x＝ln（2a）＞0，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，在区间（0，ln（2a））上单调递减，在（ln（2a），+∞）上单调递增，综上：当a≤0时，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，当0＜a＜时，f（x）在区间（﹣∞，ln（2a））上单调递增，在（ln（2a），0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，当a＝时，f（x）在R上单调递增，当a＞时，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，在区间（0，ln（2a））上单调递减，在（ln（2a），+∞）上