2024秋高中数学模块综合评价一达标检测含解析新人教A版必修5

PAGE11-模块综合评价(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a＞b，则下列正确的是()A．a2＞b2 B．ac＞bcC．ac2＞bc2 D．a－c＞b－c解析：A选项不正确，因为若a＝0，b＝－1，则不成立；B选项不正确，c≤0时不成立；C选项不正确，c＝0时不成立；D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．答案：D2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，则B等于()A．45°或135° B．135°C．45° D．30°解析：因为A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq\f(\r(2),2).因为a＞b，所以A＞B，所以B＝45°.答案：C3．已知数列{an}，{bn}满意an＋1＝2an＋bn，bn＋1＝an＋2bn＋lneq\f(n＋1,n3)(n∈N*)，a1＋b1>0.给出下列四个命题，其中的真命题是()A．数列{an－bn}单调递增B．数列{an＋bn}单调递增C．数{an}从某项以后单调递增D．数列{bn}从某项以后单调递增解析：因为an＋1＝2an＋bn，bn＋1＝an＋2bn＋lneq\f(n＋1,n3)，所以an＋1－bn＋1＝an－bn－lneq\f(n＋1,n3)，当n＝1时，a2－b2＝a1－b1－ln2，所以a2－b2<a1－b1，所以A项错误；an＋1＋bn＋1＝3(an＋bn)＋lneq\f(n＋1,n3)，an＋1＋bn＋1－ln(n＋1)＝3(an－bn－lnn)，所以{an＋bn－lnn}是等比数列，an＋bn＝(a1＋b1)·3n－1＋lnn，所以B项正确；an＋1＝2an＋bn＝an＋lnn＋(a1＋b1)·3n－1，故an＋1－an＝lnn＋(a1＋b1)3n－1>0，C项正确；因为bn＋1＝bn＋an＋bn＋lneq\f(n＋1,n3)，所以bn＋1－bn＝ln(n＋1)－2lnn＋(a1＋b1)3n－1，依据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D项正确．答案：BCD4．若集合M＝{x|x2＞4}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3－x,x＋1)))＞0))，则M∩N＝()A．{x|x＜－2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|x＜－2或x＞3}D．{x|x＞3}解析：由x2＞4，得x＜－2或x＞2，所以M＝{x|x2＞4}＝{x|x＜－2或x＞2}．又eq\f(3－x,x＋1)＞0，得－1＜x＜3，所以N＝{x|－1＜x＜3}；所以M∩N＝{x|x＜－2或x＞2}∩{x|－1＜x＜3}＝{x|2＜x＜3}．答案：B5．下列各函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋eq\f(1,x)B．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))C．y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))D．y＝x－2eq\r(x)＋3解析：A中，当x<0时，y<0，不合题意；B中，y＝sinx＋eq\f(1,sinx)≥2，等号成立时，sinx＝eq\f(1,sinx)，即sinx＝1，与x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))冲突；C中，y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))＝eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))≥2，等号成立时，eq\r(x2＋2)＝eq\f(1,\r(x2＋2))，得x2＝－1，不合题意；D中，y＝(eq\r(x)－1)2＋2≥2.答案：D6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acosB＝bcosA，则△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形解析：因为eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R，即a＝2RsinA，b＝2RsinB，所以acosB＝bcosA变形得：sinAcosB＝sinBcosA，整理得：sinAcosB－cosAsinB＝sin(A－B)＝0.又A和B都为三角形的内角，所以A－B＝0，即A＝B，则△ABC为等腰三角形．答案：A7．若实数x，y满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤2，,y≤3，,x＋y≥1，))则S＝2x＋y－1的最大值为()A．6 B．4C．3 D．2解析：作出不等式组对应的平面区域(如图阴影部分)，由图可知，当目标函数过图中点(2，3)时取得最大值6.答案：A8．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于()A．18 B．24C．60 D．90解析：因为a4是a3与a7的等比中项，所以aeq\o\al(2,4)＝a3a7，即(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，整理得2a1＋3d＝0.①又因为S8＝8a1＋eq\f(56,2)d＝32，整理得2a1＋7d＝8.②由①②联立，解得d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋eq\f(90,2)d＝60.答案：C9．在坐标平面内，不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x－1，,y≤－3|x|＋1))所表示的平面区域的面积为()A．eq\r(2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(3\r(2),2) D．2解析：该不等式组所表示的平面区域是如图所示的阴影部分，可求得A(0，1)，B(0，－1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，D(－1，－2)，所以S△ACD＝S△ABD＋S△ABC＝eq\f(1,2)·|AB|·|xD|＋eq\f(1,2)|AB|·|xC|＝eq\f(3,2).答案：B10．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有()A．若数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)则数列{an}为等差数列B．若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，则数列{an}为等差数列C．数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列D．数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等比数列解析：依据题意，依次分析选项：对于A项，若数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c，若c＝0，由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列，若c≠0，则数列{an}从其次项起为等差数列，故A项不正确；对于B项，若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，可得a1＝4－2＝2，a2＝S2－S1＝8－2－2＝4，a3＝S3－S2＝16－2－6＝8，则a1，a2，a3成等比数列，则数列{an}不为等差数列，故B项不正确；对于C项，数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，即为a1＋a2＋…＋an，an＋1＋…＋a2n，a2n＋1＋…＋a3n，…，即为S2n－Sn－Sn＝S3n－S2n－(S2n－Sn)＝n2d为常数，仍为等差数列，故C项正确；对于D项，数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不肯定为等比数列，比如公比q＝－1，n为偶数，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，均为0，不为等比数列．故D项不正确．答案：ABD11．一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点干脆沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C.()A．北偏东50°；10eq\r(2) B．北偏东40°；10eq\r(3)C．北偏东30°；10eq\r(3) D．北偏东20°；10eq\r(2)解析：由已知得在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°，所以从A到C的航向为北偏东＝102＋102－2×10×10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝300，所以AC＝10eq\r(3).答案：B＝4，A＝eq\f(π,3)，则该三角形面积的最大值是()A．2eq\r(2) B．3eq\r(3)C．4eq\r(3) D．4eq\r(2)解析：a2＝b2＋c2－2bccosA≥2bc－bc＝bc，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时取等号，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA≤eq\f(1,2)×16×sineq\f(π,3)＝8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若△ABC的内角A满意sin2A＝eq\f(2,3)，则sinA＋cosA＝________．解析：由sin2A＝2sinAcosA＞0，可知A是锐角，所以sinA＋cosA＞0，又(sinA＋cosA)2＝1＋sin2A＝eq\f(5,3)，所以sinA＋cosA＝eq\f(\r(15),3).答案：eq\f(\r(15),3)14．已知a＜b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值为_______．解析：因为ab＝50＞0，所以a、b同号，从而|a＋2b|＝|a|＋2|b|≥2eq\r(|a|·|2b|)＝2eq\r(2)·eq\r(|ab|)＝20，其中“＝”成立的条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝10，,b＝5.))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－10，,b＝－5.))又因为a＜b∈R，所以a＝－10，b＝－5.所以|a＋2b|的最小值为20.答案：2015．不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤－x＋2，,y≤x－1，,y≥0))所表示的平面区域的面积为____．解析：＝2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2，,y＝x－1，))得yD＝eq\f(1,2)，所以S△BCD＝eq\f(1,2)×(xC－xB)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)16．对于使－x2＋2x≤M成立的全部常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界，则函数y＝2－3x－eq\f(4,x)(x>0)的上确界为________．解析：因为x>0，所以3x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(3x·\f(4,x))＝4eq\r(3)(当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＝\f(4,x)，,x>0，))即x＝eq\f(2\r(3),3)时取等号)．所以y＝2－3x－eq\f(4,x)＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(4,x)))≤2－4eq\r(3)，当且仅当x＝eq\f(2\r(3),3)时取等号．故y的上确界为2－4eq\r(3).答案：2－4eq\r(3)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集为A.(1)若a＝2，求集合A；(2)若集合A是集合{x|－4≤x≤2}的真子集，求实数a的取值范围．解：(1)由题意，当a＝2时，不等式x2－(a＋1)x＋a≤0，即x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，所以集合A＝{x|1≤x≤2}．(2)由x2－(a＋1)x＋a≤0，可得(x－1)·(x－a)≤0，当a<1时，不等式(x－1)(x－a)≤0的解集为{x|a≤x≤1}．由集合A是集合{x|－4≤x≤2}的真子集可得a≥－4，所以－4≤a≤1，当a＝1时，不等式(x－1)(x－a)≤0的解集为{x|x＝1}，满意题意；当a>1时，不等式(x－1)(x－a)≤0的解集为{x|1≤x≤a}，由集合A是集合{x|－4≤x≤2}的真子集，可得a≤2，所以1<a≤2.综上可得：－4≤a≤2，即实数a的取值范围为[－4，2]．18．(本小题满分12分)已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))的前n项和Tn.解：(1)由题意，得a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13，所以由(a3＋1)2＝(a1＋1)·(a7＋1)得(a1＋5)2＝(a1＋1)·(a1＋13)，解得a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1.(2)由(1)知an＝2n＋1，则Sn＝n(n＋2)，eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋3,2（n＋1）（n＋2）).19．(本小题满分12分)制订投资安排时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人准备投资甲、乙两个项目，依据预料，甲、乙项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人安排投资金额不超过10亿元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8亿元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少亿元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x亿元、y亿元投资甲、乙两个项目，由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,0.3x＋0.1y≤1.8，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,3x＋y≤18，,x≥0，,y≥0，))目标函数为z＝x＋0.5y.上述不等式组表示平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．由图可知，当直线z＝x＋0.5y经过点M时，该直线在x轴上截距最大，此时z取得最大值，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,3x＋y＝18))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝6，))所以，点M的坐标为(4，6)．所以当x＝4，y＝6时，z取得最大值，此时，zmax＝1×4＋0.5×6＝7(亿元)．故投资人用4亿元投资甲项目，6亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8亿元的前提下，使可能的盈利最大．20．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满意(2a－c)cosB＝bcosC.(1)求内角B的大小；(2)设m＝(sinA，cos2A)，n＝(4k，1)(k>1)，m·n的最大值为5，求k的值．解：(1)由正弦定理及(2a－c)cosB＝bcosC，得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，整理得2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA，因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，故cosB＝eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(π,3).(2)m·n＝4ksinA＋cos2A＝－2sin2A＋4ksinA＋1，其中A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，设sinA＝t，t∈(0，1]，则m·n＝－2t2＋4kt＋1＝－2(t－k)2＋1＋2k2.由于k>1，故当t＝1时，m·n取得最大值．由题意得－2＋4k＋1＝5，解得k＝eq\f(3,2).21．(本小题满分12分)已知eq\r(x)，eq\f(\r(f（x）),2)，eq\r(3)(x≥0)成等差数列．又数列{an}(an＞0)中，a1＝3，此数列的前n项的和Sn(n∈N*)对全部大于1的正整数n都有Sn＝f(Sn－1)．(1)求数列{an}的第n＋1项；(2)若eq\r(bn)是eq\f(1,an＋1)，eq\f(1,an)的等比中项，且Tn为{bn}的前n项和，求Tn.解：因为eq\r(x)，eq\f(\r(f（x）),2)，eq\r(3)(x≥0)成等差数列，所以eq\f(\r(f（x）),2)×2＝eq\r(x)＋eq\r(3).所以f(x)＝(eq\r(x)＋eq\r(3))2.因为Sn＝f(Sn－1)(n≥2)，所以Sn＝f(Sn－1)＝(eq\r(Sn－1)＋eq\r(3))2.所以eq\r(Sn)＝eq\r(Sn－1)＋eq\r(3)，eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1)＝eq\r(3).所以{eq\r(Sn)}是以eq\r(3)为公差的等差数列．因为a1＝3，所以S1＝a1＝3.所以eq\r(Sn)＝eq\r(S1)＋(n－1)eq\r(3)＝eq\r(3)＋eq\r(3n)－eq\r(3)＝eq\r(3)n.所以Sn＝3n2(n∈N*)．所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝3(n＋1)2－3n2＝6n＋3.(2)因为数列eq\r(bn)是eq\f(1,an＋1)，eq\f(1,an)的等比中项，所以(eq\r(bn))2＝eq\f(1,an＋1)·eq\f(1,an)，所以bn＝eq\f(1,an＋1an)＝eq\f(1,3（2n＋1）·3（2n－1）)＝eq\f(1,18)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))．所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,18)[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))]＝eq\f(1,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,9（2n＋1）).22．(本小题满分12分)已知等差数列{an}和等比数列{bn}的各项均为整数，它们的前n项和分别为Sn，Tn，且b1＝2a1＝2，b2S3＝54，a2＋T2＝11.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式．(2)求Mn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn.(3)是否存在正整数m，使得eq\f(Sm＋Tm＋1,Sm＋Tm)恰好是数列{an}或{bn}中的项？若存在，求出全部满意条件的m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，因为b1＝2a1＝2，b2S3