2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第19讲压轴综合题（练习）(含详解)

第19讲压轴综合题（练习）

1.（2019•上海七年级月考）已知C+rl—R,求X+X-1

AIA-J

2.（2018•上海七年级期中）已知：ADXBC,垂足为D,EGXBC,垂足为点G,EG交AB于

点F,且AD平分/BAC,试说明NE=NAFE的理由.

3.（2018•上海七年级期中）如图，AE、BF、DC是直线，B在直线AC上，E在直线DF

上，Z1=Z2,ZA=ZF,

求证：ZC=ZD;

证明：因为N1=N2（己知），Z1=Z3（

得N2=N3（）

所以AE//（

得/4=/F（）

因为（已知）

得/4=/A

所以〃（）

所以/C=/D()

4.(2019•上海市江宁学校七年级期中)如图，BCE、AFE是直线，AB/7CD,/1=/2,Z

3=Z4,求证：AD//BE.

5.(2019•上海市民办新竹园中学七年级期中)如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D

的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点，DEXGF,交AB于点E,连接EG,EF.

(1)说明：BG=CF；

(2)BE,CF与EF这三条线段能否组成一个三角形？

6.(2019•上海)已知，AABC、AAED均为等边三角形，点E是AABC内的点

（1）如图①，说明6£>=CE的理由;

C

AB

（2）如图②，当点E在线段CD上时，求NCDB的度数;

图②

（3）当ADBE为等腰直角三角形时，ZABD=度（直接写出客案）.

7.（2018•华东理工大学附属中学七年级月考）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别

在边BC、AC、AB上，且FD=DE,BF=CD,々DE=4,请说明4=A

A

8.（2018•上海市第八中学七年级月考）如图，已知AABC和4CDE都是等边三角形，且

B、C、E在一直线上，AC、BD交于F点,AE、CD交于G点，试说明FG〃BE的理由.

9.（2018•上海市第八中学七年级月考）已知如图，DB±AB,DC±AC,且/1=/2,求证

ADXBCo

10.（2018•上海市第八中学七年级月考）如图，点E、F位于线段AC上，且AF=CE,AB

//CD,BE〃DF。试说明ZkABE和ACDF全等的理由。

11.(2019•上海七年级期中)如图，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AFXCB,垂足为

F.

(1)求证：△ABC之△ADE；

(2)求NFAE的度数;

(3)求证：CD=2BF+DE.

12.（2020•上海市中国中学）AABC是一块含有45°的直角三角板，四边形DEFG是长方

形，D、G分别在AB、AC上，E、F在BC上。BC=16,DG=4,DE=6,现将长方形DEFG向右沿

BC方向平移，设水平移动的距离为d,长方形与直角三角板的重叠面积为S,

(1)当水平距离d是何值时，长方形DEFG恰好完全移出三角板；

(2)在移动过程中，请你用含有d的代数式表示重叠面积S,并写出相应的d的范围。

第20讲压轴综合题（练习）

1.（2019•上海七年级月考）已知求X+一

AIA-J

【答案】7

【分析】根据题意，把已知的代数式两边分别求平方，化简即可.

【详解】因为

所以（1:J；）2=X+X-I+2=9

所以x+x-1=7.

2.（2018•上海七年级期中）已知：ADXBC,垂足为D,EGXBC,垂足为点G,EG交AB于

点F,且AD平分NBAC,试说明/E=/AFE的理由.

试题分析：利用垂直于同一条直线的两条直线互相平行、平行线的判定和性质进行证明.

试题解析：解：：ADLBC,£人a'（已知）

屐/灰氏90°（垂直的意义）

：.EG//AD（同位角相等，两直线平行）

斤/。，（两直线平行，同位角相等）

//降/历1〃（两直线平行，内错角相等）

49平分/物。（已知）

：.ABAD-ACAD（角平分线的意义）

:./隼/AFE（等量代换）

3.（2018•上海七年级期中）如图，AE、BF、DC是直线，B在直线AC上，E在直线DF

上，Z1=Z2,ZA=ZF,

求证：ZC=ZD;

证明：因为/1=/2（已知），Z1=Z3（）

得N2=N3（）

所以AE//（）

得N4=/F（）

因为（已知）

得N4=/A

所以//（）

所以NC=/D（）

试题分析：由平行线的判定与性质证明即可.

试题解析：W：VZ1=Z2（已知），Nl=/3（对顶角相等）

/.Z2=Z3（等量代换）

：.AE//BF（同位角相等，两直线平行）

（两直线平行，同位角相等）

:/A=/F（已知）

"4=4

：.DF//AC（内错角相等，两直线平行）

：.A（=AD（两直线平行，内错角相等）

4.（2019•上海市江宁学校七年级期中）如图，BCE、AFE是直线，AB〃CD,Z1=Z2,Z

3=Z4,求证：AD〃BE.

试题分析：先根据平行线的性质得出N4=/物反再根据N3=/4可知N3=N的反由Nl=

Z2,得出Nl+N。氏/2+/。£即/的氏N。。，故N3=N。。，由此可得出结论.

试题解析：证明：'：AB//CD,；./4=/胡£.VZ3=Z4,AZ3=ZBAE.

VZ1=Z2,Z1+ZCA^Z2+ZCAE,即/胡卓/：.43=NCAD,：.AD//BE.

5.(2019•上海市民办新竹园中学七年级期中)如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D

的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点，DE±GF,交AB于点E,连接EG,EF.

(1)说明：BG=CF；

(2)BE,CF与EF这三条线段能否组成一个三角形？

【分析】(1)由BG〃AC得出/DBG=/DCF,从而利用ASA得出ABOD与4CFD全等，进一步

证得结论

(2)根据4BGD与4CFD全等得出GD=FD,BG=CF,再又因为DEJ_GF,从而得出EG=EF,从而

进一步得出结论

【详解】(1)VBG/7AC

ZDBG=ZDCF

又；D为BC中点

.\BD=CD

X'."ZBDG=ZCDF

/.ABGDSACFD(ASA)

/.BG=CF

(2)能

证明如下：

ABGDsACFD

/.BG=CF,GD=DF

XVDEIGF

.'.GE=EF

VBE,BG,GEMTABGE

ABE,BG,GE三边满足三角形三边的关系

同理，与BG,GE相等的两边CF,EF与BE三条线段亦满足三角形三边关系

...BE,CF,EF这三条线段可以组成三角形

【点睛】本题主要考查了三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判断及性质是关

键

6.（2019•上海）已知，AABC、AAED均为等边三角形，点£是418。内的点

（1）如图①，说明5£>=CE的理由；

（2）如图②，当点E在线段CD上时，求NCDB的度数;

图②

（3）当ADBE为等腰直角三角形时，ZABD二度（直接写出客案）.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45。或30。或15°.

【分析】（1）先理由等边三角形的性质得出=AC,AD=AE，ZBAC=ZDAE,

即可得出结论；

（2）同（1）得八CAEMABAD,再判断出NDEGM/BDE,进而求出

ZAEC=120°,即可得出结论；

（3）当ADBE为等腰直角三角形时，有三种情况：/.当NE户90°,小血时，H.当

NBED=90°,法龙时，当/应炉90°,小应时，分别作出图形，然后根据等腰三角形性

质即可求出.

【详解】

解：（1）;AABC和A4ED都是等边三角形（己知）

AAC^AB,AE=AD，ZCAB=ZEAD=60°（等边三角形的性质）。

A/CAB-/FAB=/FAD-/FAB（等式性质），即NC4E=44£）,

在ACLE和AS4D中，

AC=AB

<ZCAE=ZBAD,

AE=AD

：.ACAE=ABAD（SAS）

：.BD=CE（全等三角形对应边相等）

（2）:AAED是等边三角形（已知）。

...ZAED=ZADE=60°（等边三角形的性质）。

AZAEC+ZAED=1SQ°（邻补角的意义）

ZAEC=120°（等式性质）

同理（1）得AC4EMA5AD（S4S）

ZADB=ZAEC^120°（全等三角形对应角相等）

二NCDB=ZADB-ZADE=60°（等式性质）

（3）当ADB石为等腰直角三角形时，有三种情况：

，当/瓦炉90°,DE=DB的,如图③T：

c

图③-1

VZADE=60°,

:/ADB=/AD*/ED氏6G°+90°=150°,

又,：AADE,

：.AFBD,

：./如斤//盼工（180。-150。）；

2

n.当/BE庐9Q：B偿DB时,如图③-2：

图③-2

在△/庞和△/庞中：

AE=AD

<AB=AB,

EB=DB

:.△ABE^XADBCSSS）

：.ZABB=ZABD,

：.ZABD=-ZDBE=45°；

2

III.当/颜/90。,D&DB时,如图③-3：

图③-3

同/可得：NABE=15°,

,：NEBD=45。,

：./ABD=3O。.

综上所述：//的45°或30。或15°.

故答案为：45。或30。或15°.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判断和性

质，等腰直角三角形性质，（2）中求出NAEC=120。是解本题的关键.（3）中关键是根

据题意画出等腰直角三角形.

7.（2018•华东理工大学附属中学七年级月考）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别

在边BC、AC、AB上，且FD=DE,BF=CD,々DE=4,请说明4=4：

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得NFDC=NB+/DFB,再

根据NFDE=NB,证明NDFB=NEDC,然后根据边角边定理证明4DFB与△£口（：全等，根据此

思路进行解答即可.

【详解】

证明：•••/FDC=/B+/DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

即ZFDE+ZEDC=ZB+ZDFB

又•；/FDE=/B（已知）

NDFB=NEDC

在△DFB与4EDC中

FB=ED（已知），ZDFB=ZEDC,BF=CD（已知）

.,.△DFB^AEDC（SAS）

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定

理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键.

8.（2018•上海市第八中学七年级月考）如图，已知△ABC和ACDE都是等边三角形，且

B、C、E在一直线上，AC、BD交于F点，AE、CD交于G点，试说明FG〃BE的理由.

【分析】运用SAS证得4ACD@4ACE,得到NCAE=/CBD,NBCD=NACE;由公共部分/ACD,

利用角和差可确定/BCF=NDCF,结合BC=AC,判定△BCFgZkACG,可得NACD=/

BAC=60°,CF=CG;可以发现4CFG也是等边三角形，则/CFG=60°,即NCFG=/BCA=60°,

利用平行线判定定理，即可判定平行.

【详解】解：理由如下：

已知4ABC和4CDE都是等边三角形

.,.AC=AB,CD=CE,ZBAC=ZABC=ZBCA=ZDCE=ZCED=ZEDC=60°

ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,即NBCD=/ACE

在4ACD和4ACE中

BC=AC

</BCD=ZACE

CD=CE

.'.△ACD^AACE(SAS)

ZCAE=ZCBD,ZBCD=ZACE

/.ZBCD-ZACD=ZACE-ZACDBPZACD=ZBCA=60°；

在ABCF和AACG中

ZCAE=ZCBD

<AC=BC

ZACD=NBCA

.'.△BCF^AACG(ASA)

.•.CF=CG

.'.△CFG是等边三角形

.•.ZCFG=60°

，NCFG=NBCA=60°

.1.FG/7BE（内错角相等，两直线平行）

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及平行线的判定，其

中全等三角形的判定是解题的关键.

9.（2018•上海市第八中学七年级月考）已知如图，DB±AB,DC±AC,且N1=N2,求证

AD±BC„

【分析】首先根据已知条件证明三角形△ABDgZkACD,得到AB=AC,判定4ABC是等腰三角

形，最后结合N1=N2,用于等腰三角形三线合一即可完成证明。

【详解】

解：如图：设BC和AD交于0

VDB±AB,DC±AC

.\ZABD=ZACD=90o

VZ1=Z2,AD=AD

.'.△ABD^AACD（AAS）

.\AB=AC

.1.△ABC是等腰三角形

VZ1=Z2即AD是角平分线

.,.AD±BC（等腰三角形顶角平分线、底边上的高、中线三线合一）

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定以等腰三角形三线合一的

性质，其中等腰三角形三线合一是解答的关键。

10.（2018•上海市第八中学七年级月考）如图，点E、F位于线段AC上，且AF=CE,AB

〃CD,BE〃DF。试说明Z\ABE和ACDF全等的理由。

【分析】根据两组平行线的内错角相等形成两组对应角相等，然后再利用公用线段和线段

的和差确定对应边相等，即可说明利由。

【详解】解：理由如下：

VAB/7CD

/.ZA=ZC

同理可得：ZDFC=ZAEB

由：AF=EC

；.AF+FE=FE+EC,即AE=FC

在4ABE和4CDF中

Z=NC

<AE=FC

ZBEA=NCFD

：.AABE^ACDF（ASA）

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，利用平行线的性质和线段的和差确定判定条

件是解答的关键。

11.（2019•上海七年级期中）如图，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF±CB,垂足为

F.

(1)求证：△ABC乌△ADE；

(2)求＞FAE的度数；

(3)求证：CD=2BF+DE.

【答案】(1)证明见解析；(2)ZFAE=135°；(3)证明见解析.

【分析】(1)根据已知条件易证/BAC=NDAE,再由AB=AD,AE=AC,根据SAS即可证得4

ABC^AADE；

(2)已知NCAE=90°,AC=AE,根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得/

E=45°,由(1)知△BACgZ\DAE,根据全等三角形的性质可得/BCA=/E=45°,再求得/

CAF=45°,由NFAE=NFAC+NCAE即可得NFAE的度数；

(3)延长BF到G,使得FG=FB,易证△AFBg^AFG,根据全等三角形的性质可得AB=AG,

ZABF=ZG,再由△BACgaDAE,可得AB=AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED,所以AG=AD,ZABF=

ZCDA,即可得NG=/CDA,利用AAS证得△CGA0/\CDA,由全等三角形的性质可得

CG=CD,所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF.

【详解】

(1)VZBAD=ZCAE=90°,

.,.ZBAC+ZCAD=90°,ZCAD+ZDAE=90°,

NBAC=/DAE,

在ABAC和ADAE中，

AB=AD

<ZBAC=ZDAE,

AC=AE

.'.△BAC^ADAE(SAS)；

(2)VZCAE=90°,AC=AE,

・・・NE=45。,

由⑴知△BAC@ZkDAE,

・・・NBCA=NE=45°,

VAF±BC,

AZCFA=90°,

/.ZCAF=45°,

・・・NFAE=NFAC+NCAE=450+90°=135°；

(3)延长BF到G,使得FG二FB,

VAF±BG,

ZAFG=ZAFB=90°,

在AAFB和AAFG中，

BF=GF

<ZAFB=ZAFG,

AF二AF

.,.△AFB^AAFG(SAS),

二•AB=AG,NABF=NG,

VABAC^ADAE,

JAB=AD,NCBA=NEDA,CB=ED,

.\AG=AD,NABF=NCDA,

AZG=ZCDA,

在ACGA和ACDA中，

ZGCA=ZDCA

<NCGA=NCDA,

AG=AD

AACGA^ACDA,

.'.CG=CD,

CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

/.CD=2BF+DE.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G,使得

FG=FB,证得△CGAg^CDA是解题的关键.

12.(2020•上海市中国中学)AABC是一块含有45。的直角三角板，四边形DEFG是长方

形，D、G分别在AB、AC上，E、F在BC上。BC=16,DG=4,DE=6,现将长方形DEFG向右沿

BC方向平移，设水平移动的距离为d,长方形与直角三角板的重叠面积为S,

(1)当水平距离d是何值时，长方形DEFG恰好完全移出三角板；

(2)在移动过程中，请你用含有d的代数式表示重叠面积S,并写出相应的d的范围。

12

【答案】(1)10；(2)当0〈dW4时，s=24--J；当4〈dW6时，S=32-4d；当6〈dW10

12

时，S=-^--10J+50；当10〈d时，S=0.

【分析】(1)要使长方形完全移出，则