2.2 基本不等式（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年高一数学人教版

人教版2019高一数学（必修一）第一章一元二次函数、方程和不等式第一课时基本不等式2.2

基本不等式1.基本不等式的概念重要不等式：一般地，∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab当且仅当a=b时，等号成立.

当且仅当a=b时，等号成立.通常把上式称为基本不等式.

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.概念归纳上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式.能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.

课本例题口诀简记一正、二定、三相等1.利用基本不等式求最值的步骤概念归纳1.A、B必须为正数2.（1）在A+B为定值时，便可以知道A·B的最大值2.（2）在A·B为定值时，便可以知道A+B的最大值3.当且仅当A、B相等时，等式成立.即

解：练一练

解：练一练

课本例题

2.基本不等式的使用条件和定积最大，积定和最小.【例1】若0<a<1,0<b<1,且a≠b.试比较出a+b,a2+b2,,2ab中的最大者.解:∵0<a<1,0<b<1,a≠b,∴a+b>,a2+b2>2ab,∴四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又0<a<1,0<b<1,∴a(a-1)<0,b(b-1)<0,∴a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b,∴a+b最大.典例剖析探究一

利用基本不等式比较代数式的大小1.运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即a+b≥成立的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b;a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立的条件是a=b.2.本题在比较a+b与a2+b2的大小时使用了作差法.概念归纳1.设0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是(

)∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大.练一练B典例剖析探究二用基本不等式求简单的最值练一练练一练典例剖析探究三利用基本不等式证明不等式练一练练一练1.此题多次使用,要注意等号能否成立,最后利用不等式性质累加的应用,此时也要注意等号成立的条件.2.在解决不能直接利用基本不等式证明的问题时,要重新组合,构造运用基本不等式的条件.若条件中有一个多项式的和为1,要注意“1”的代换.3.培养逻辑推理素养与数学运算素养.概念归纳随堂练D2.设a≥0,b≥0,且a+b=2,则下列不等式正确的是(

)A.ab≤1 B.ab≥1C.a2+b2≥4 D.a2+b2≤4随堂练A3.已知x>0,y>0,且xy=100,则x+y的最小值为

.

20随堂练4.已知a>0,b>0,如果ab=1,那么a+b的最小值为

;如果a+b=1,那么ab的最大值为

.

随堂练2随堂练课本练习课本练习课本练习课本练习5.已知直角三角形的面积等于50cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小?最小值是多少?课本练习忽视基本不等式成立的条件致错提示:上述解答中应用了基本不等式,却忽略了应用基本不等式的条件——两个数应都大于零,因而导致错误.错因分析∴函数值的取值范围为y≥2.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?错因分析1.由于

中x的取值范围为x>0或x<0,故要对x的符号加以讨论,否则不能用基本不等式.2.培养逻辑推理素养和数学运算素养.错因分析下列各式能用基本不等式直接求得最值的是(

)解析:选项A,B,D都不一定满足是正数,只有C满足基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”.C错因分析分层练习-基础AB分层练习-基础ABD分层练习-基础C分层练习-基础C分层练习-基础BBC分层练习-基础5

10分层练习-基础1.基本不等式的应用新知探究

（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

课本例题

课本例题典例剖析探究一

利用基本不等式求最值典例剖析概念归纳1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的条件进行,若具备这些条件,则可直接运用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当的变形.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般用函数的图象或性质.练一练典例剖析探究二

两个变量的最值问题分析:从形式上看不具备用基本不等式求最值的条件,但根据已知变形,消去一个变量,可构造成能使用基本不等式的形式,也可使用“1”的代换尝试解决.练一练练一练概念归纳1.本题给出的方法,用到了均值不等式,并且对式子进行了变形,配凑出满足基本不等式的条件,这是经常使用的方法,要学会观察、学会变形.2.常见的变形技巧有:(1)配凑系数;(2)变符号;(3)拆补项.常见形式有

型和y=ax(b-ax)型.典例剖析探究三

基本不等式的实际应用【例3】围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如下图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.典例剖析概念归纳应用基本不等式解决实际问题的方法一般分四步:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)构造相应的函数解析式,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,若将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用练一练因此,当x=15时,y取最小值2

000,即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.练一练随堂练AC随堂练随堂练大-1随堂练随堂练

故当矩形的长为15m，宽为7.5m时，菜园的面积最大，最大面积为112.5m2．当且仅当a＝2b＝15时取等号．则由题意得a＋2b＝30，所以

，1.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？课本练习

则由题意得2ab＝32，即ab＝16．当且仅当a＝b＝4时取等号．即当底面的长和宽均为4时，用纸最少．所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋

＝64

，2.做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？解：设底面的长为a，宽为b，课本练习

则由题意得2（a＋b）＝36，即a＋b＝18．所以要求侧面积最大，即求ab的最大值，因为旋转形成的圆柱的侧面积为：

，故当矩形的长宽都为9时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．由基本不等式得：

，当且仅当a＝b＝9时取等号．3.已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？解：设矩形的长为a，宽为b，课本练习以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?错因分析忽视基本不等式求最值的条件致错