2025届高三天枢杯第二届线上联考数学试题+答案

第二次天枢杯线上联考一试未提交，不计人成绩. 7．已知：若a,b,c均为非负实数，则a+b+c≥33abc．取等当且仅当a=b=c下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是()2∈P，p1+p20B．}C．2∈P,x=p1+p2且∉N}=2．设复数z=1+0.2i，w=z8．那么如下说法中错误的是()C．若f2，那么f=2iD.n+an+1−anbn+1−bnnn4．已知平面上四个点A,B,C,D，其中任意三个不共线．若AB.AD=AC.AD，则直线AD一定经过三角形ABC的()5．已知椭圆过点其右顶点A，上顶点B．那么以下说法正确的是()），B．O到直线AB的距离dO−AB不是定值2+y2+xy=没有交点6．如下图所示，边长为A的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构．Ca和Al等部分金属就属于这种结构．若将原子认为是如此分布的等大分的体积是()两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）()8．已知：a=，b=2.8，c=e1.02，那么a,b,c三者的关系是()A．a<b<cB．a<c<bC．c<b<aD．b<c<a1τ4τ5τ7τA．cosB．cosC．cosD．cos法错误的是()12．已知在平面xOy上y=sinx和单位圆交 D．以2an−1，2an+1−2，2an+1−1为三边的三角形是直角三角形信息熵描述了一个事情的不确定度，或者说我知道某个信息所减少的不确定度．此处“度”代表我们度量不同的信息中“信息”的含量多少，熵的以X作为随机变量，则这些事件可以分别认为是X=1,…，X=n．则对于这些基本事件的总体的熵，我们用公式H(X)=−(P(X=1)log2P(X=1)+…+P(X=n)log2P(X=n)计算.（2）假设一枚硬币，其抛出正面的概率是p，请计算当p取值为何时其熵最大（3）在上一问中，假设．若A想将多次抛掷硬币的信息通过一串“0”和“1”构“0”、“11011”、“1010110”传（a）Es（b）E≤2并证明你不需要分别给出方案，b的方案自动满足a)已知一个平行六面体的最长体对角线长度是l，证明：:x证明：arccos当且仅当n=1,2,4 :x−y6=4均相切D是常量，并计算其正切值.2020分）设f(x)=ex3−x−ax（2）分析f(x)的零点数量和a的关系.第二次天枢杯线上联考一试数学答案A的意思是不存在偶数2n0是哥猜的反例D的意思是要么一个偶数不大于2，要么存在一个质数使得该偶数减去质数之后还是一综上，只有C和哥猜无关，而且C实际上是错的，因为2+3=5是两个质数的和，但不是偶数，和命题矛盾.44w=z2=1.0444B注意到z2=0.96+0.4i，z4=0.7616+0.768i，从而设z4=a+ai+bi，则z8=2a2i−b2+2abi−2ab，从而在第二象限．B正确.A注意到两个数列都是单调递增的，从而两个差都是正的B考虑an=n和c=−1，注意到其积是—1，和“同增减”矛盾．B正确.首先，考虑BE和CF分别垂直直线AD于E和F，注意到题设等价于AE=AF，也就是E,F重合，从B从而直线−1=0，计算dO−AB=B错误.解答题目创意和部分描述来自《暗杀教室》122话，有改动.，若将可以恰好染完整个正方体．而当b色固定的时候通过旋转就可以得到ac互换的正方体．从而只有三种不同的方案，也就是将面的中间分别染上红黄蓝三种颜色.解答先比较a和b，注意到214=16384，75=16807，从而a>b再比较b和c，注意到e<2.72，而又有从而只需要证明>0.02，这是显然的，因为有常用不等式从而答案是C解答注意到带入可以发现方程是=cos，其中a是答案中的选项.A是因为对于任意的奇质数p，有φ=p−1>C是因为当n>2的时候1和n−1都和n互素，从而φ(n)至少是2D错误是因为φ(m)=3是无解的．因为显然对于任意的m>2．若a和m互素则m−a也和m互素，反之x0从而x0>0，cos>0，从而结合x>1可得x=ek,从而S100=取对数后就是ln(e101−e)−ln(e−1)注意到 14．43−6II’”的第275页，有改动.c从而bc+(λ−1)b2x=bc(1−λ)+c2x，λbc=x(c2+(1−λ)b2)也就是3，解出也就是λ2+12λ−12=0，带入得到 =±4−6．因为取正，从而λ=4−6，此时注意到c2=(1−λ)b2仍然能取到，从 而答案就是43−6.A就是计算：a2=3，a3=7，a4=43，a5=1807．所以B注意到an显然都是整数，从而an(an−1)必然是偶数，从而+1必然是奇数，B正确 16从而=−log2+log2，f 12 12fp)———f+□0−□f□1□从而p=时熵最大.（a我们的思路是尽量让更可能的事件用更短的s表示．从而考虑在例子的基础上作如三面正，100代表正正反，0001代表正反反，0000代表三面反.足要求.），117．解答首先，设三个边是a,b,c，那么对于任意的体对角线l2=a2+b2+c2+2cos<a，b>ab+2cos<a，c<acac+2cos<b，c>bc4注意到），应部分也是0，四个体对角线的平方和就是4(a2+b2+c2).方体），从而l2≥a2+b2+c2 注意到l2≥a2+b2+c2=2，从而l3≥3此处三边相等的时候取等）取等立方体.+1=−Ck−1 也就是Ak+1=2Ak−nAk−1．因为A0=cos0 )不是q的倍数.若Ak−1，Ak不是q的倍数，那么2Ak不是q的倍数，从而Ak总不是q的倍数，从而总不是n的倍数.若（其中s,t是整数），那么tτ=sφ,c\n若n=2p，p∈N，p≥3定义Bk而初始有B1=1是奇数从而cos2sφ=C2s=cos2tτ=1.更不可能是1，矛盾若Bk是奇数，那么Bk+1=Bk+2p−2Bk−1是偶数和奇数的和，从而是奇数从而Bk当k>0时总是奇数.命题成立.19．第一问：首先，注意到焦点和长轴顶点贡 2也就是c==，从而x2+2y2=a2，代入x=4+y，也就是16+6y2+8y+2y2=a2恰好有16−a2=0.代入x2+2y2=4得到x2+2k2(x−x0)2+2y+4ky0(x−x0)−4=0, x因为解只有x=x0，从而第二个因素的解也是x=x0，也就会2x0+4ky0=0，或者说是k=− x2y0从而2yy0=−xx0+x+2y，也就是lP:xx0+2yy0=4+=+=从而xc=4−2y0，yc=4(x0−1)，zc=x0−2y0xd=4+2y0，yd=−4(x0−1d=x0+2y0)注意到因为c=，从而F1,0．从而写出所求角度θ的正切值表达式.tanθ（1）YXd−−YdXc−)=Xc−2Xd−2)+YcYd（3）= (ycxd−xcyd)−(yczd−ydzc)xcxd+ycyd)+2zczd−2(xczd+xdzc)−2y00−1 0−1x0+2y0x0−2y02−x0−1+x0)+2y0−4(x0−1)0−1x0−2y0x0+2y0−−2y0x0+2y0+4+2y0x0−2y0=−2+x0) 当x0=1时候注意到能解出y0=，此时lP和lA重合，与它们只有交点相矛盾．而x−2不可能是0. 从而tanθ=2(−1)=−−,又注意到通过画图可知该角度在P变化的时候θ恒为锐角，从而其是定角.2f3x2−1x)=3x2−1ex2−x2.x的正负只和 −33(),|−,333f+0—0+fx)□ □ −e9e□3a=0时注意到ex−x>0恒成立，从而没有零点.x)=3x2−1，h−1|−1,− −·33|−0+++0 □0□ 239□00()|0,33|13 0+++0□ 23−9□0□ gx3>1，从而g(x)−h(x)单调递增，零点若有则至多有一个.注意到设x1=max时有，从而g>0>−1≥h设x2