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文档简介
第三节格林公式及其应用(2)一、曲线积分与路径无关定义二、曲线积分与路径无关条件三、二元函数全微分求积四、小结第1页一、曲线积分与路径无关定义假如对于区域
G内任意指定两点
A、B
以及
G内从点
A
到点
B
任意两条曲线L1,L2
有GyxoBA第2页二、曲线积分与路径无关条件定理
2证充分性在G内任取一条闭曲线C。C所围闭区域为D。第3页证充分性在G内任取一条闭曲线C。C所围闭区域为D。G是单连通,所以,于是,在D
内应用格林公式,有即,在G内曲线积分与路径无关。必要性用反证法假设在G内存在使点
M0,第4页必要性用反证法假设在G内存在使点
M0,即不妨设因为P,Q含有一阶连续偏导数,所以在G内必有点
M0一个小邻域D′,在D′内应用格林公式,有第5页于是,所以在G内必有点
M0一个小邻域D′,在D′内应用格林公式,有矛盾。所以,在G内恒有第6页两条件缺一不可相关定理说明:定理
2第7页L与路径无关第8页解所以,积分与路径无关。则P,Q在全平面上有连续一阶偏导数,且全平面是单连通域。第9页取一简单路径:L1+L2.所以,积分与路径无关。全平面是单连通域。第10页解所以,积分与路径无关。则P,Q在全平面上有连续一阶偏导数,且全平面是单连通域。第11页所以,积分与路径无关。全平面是单连通域。取一简单路径:L1+L2.第12页三、二元函数全微分求积定理3证略第13页第14页解例3验证:在xoy面内,是某个函数u(x,y)全微分,并求出一个这么函数。这里且在整个xoy面内恒成立。即,所以,在xoy面内,是某个函数u(x,y)全微分。第15页四、小结与路径无关
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