新高考数学一轮复习讲义第6章　§6.4　数列中的构造问题培优课（原卷版）

§6.4数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．题型一形如an＋1＝pan＋f(n)型命题点1an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)例1(1)数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2024等于()A．22023－1 B．42023－1C．22023＋1 D．42023＋1(2)已知数列{an}的首项a1＝1，且eq\f(1,an＋1)＝eq\f(3,an)＋2，则数列{an}的通项公式为__________．命题点2an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例2已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．命题点3an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)例3(1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{an}的通项公式为()A．an＝(2n＋1)·3n B．an＝(n－1)·2nC．an＝(2n－1)·3n D．an＝(n＋1)·2n(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝________.思维升华形式构造方法an＋1＝pan＋q引入参数c，构造新的等比数列{an－c}an＋1＝pan＋qn＋c引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}an＋1＝pan＋qn两边同除以qn＋1，构造新的数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,qn)))跟踪训练1(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.则数列{an}的通项公式an等于()A．n·2n－1 B．n·2nC．(n－1)·2n D．(n＋1)·2n(2)已知数列{an}满足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和为Sn，则a2023(S2023＋2023)的值为()A．22023－2 B．22023－1C．2 D．1(3)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝________.题型二相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)例4(1)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于()A．47 B．48C．49 D．410(2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)．则数列{an}的通项公式为an＝________.思维升华可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．跟踪训练2若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________.题型三倒数为特殊数列eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(形如an＋1＝\f(pan,ran＋s)型))例5(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,4an＋1)(n∈N*)，则满足an>eq\f(1,37)的n的最大取值为()A．7B．8C．9D．10(2)(多选)数列{an}满足an＋1＝eq\f(an,1＋2an)(n∈N*)，a1＝1，则下列结论正确的是()A.eq\f(2,a10)＝eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a17) B.SKIPIF1<0是等比数列C．(2n－1)an＝1 D．3a5a17＝a49思维升华两边同时取倒数转化为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(s,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(r,p)的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出eq\f(1,an)的表达式，再求an.跟踪训练3已知函数f(x)＝eq\f(x,3x＋1)，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________．课时精练1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为()A．15B．23C．32D．422．在数列{an}中，a1＝5，且满足eq\f(an＋1,2n－5)－2＝eq\f(an,2n－7)，则数列{an}的通项公式为()A．2n－3 B．2n－7C．(2n－3)(2n－7) D．2n－53．已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－2an＝n－1，其中n∈N*，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－n B．an＝2n＋nC．an＝3n－1 D．an＝3n＋14．已知数列{an}满足a2＝eq\f(1,4)，an－an＋1＝3anan＋1，则数列的通项公式an等于()A.eq\f(1,3n－2) B.eq\f(1,3n＋2)C．3n－2 D．3n＋25．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝aeq\o\al(2,n)，则an等于()A．2n－1 B.3n－1C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．设数列{an}满足a1＝1，an＝－an－1＋2n(n≥2)，则数列的通项公式an等于()A.eq\f(1,3)·2n＋eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)·2n＋eq\f(1,3)·(－1)nC.eq\f(2n＋1,3)＋eq\f(1,3) D.eq\f(2n＋1,3)＋eq\f(1,3)·(－1)n7．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2＋3an)(n∈N*)，则下列结论正确的是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋3))为等差数列B．{an}的通项公式为an＝eq\f(1,2n－1－3)C．{an}为递减数列D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和Tn＝2n＋2－3n－48．将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2023，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于()A．2023×22020 B．2024×22021C．2023×22021 D．2024×220229．已知数列{an}满足a1＝eq\f(3,2)，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，若cn＝eq\f(3n,an)，则cn＝____________.10．已知数列{an}满足an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，a6＝124，则a2＝________.11．在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝3an＋2n，则an＝________.12．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求